22.1 二次函数的图象和性质 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 一、二次函数的定义 一般地，如果y=ax²+bx+c（其中a,b,c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。 二、二次函数的图象 1.抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴。 2.二次函数y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 三、二次函数的性质 1.a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同。 2.在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴。 3.c决定了抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方；当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点；当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方。 4.顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 巩固课内例1:画出函数y=ax²的图象 1．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 3．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，轴； (2)； (3)画图见解析，． 【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解； （）据二次函数的性质即可求解； （）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得：，， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，即轴， 故答案为：，轴； （2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴， ∴点在该图象上对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：列表： 如图， 根据图象可知：当时， ∴的取值范围， 故答案为：． 巩固课内例2:画出函数y=ax²+k的图象 1．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 2．已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数． 【详解】解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 3．【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 巩固课内例3:画出函数y=a(x-h)²+k的图象 1．已知抛物线，下列结论中错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A：抛物线中，系数，故开口向下，正确； B：顶点式为，对称轴为，此处，故对称轴为直线，正确； C：开口向下时，顶点处取得最大值，最大值为顶点纵坐标，当时，正确； D：开口向下时，对称轴右侧（），随增大而减小，而非增大，故错误． 故选：D． 2．设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用号连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据得出抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值，即越靠近对称轴的所对应的函数值越大，再结合，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值， 即越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵是抛物线上的三点，且 ∴ 故答案为： 3．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)，，0，， (3)作图见详解 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点坐标为，对称轴直线为，即可求解； （2）把自变量的值代入计算即可求解函数值； （3）根据表格信息，描点、连线即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把自变量的值代入求解， x … 1 3 5 … y … 0 … 故答案为：，，0，，； （3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下， 巩固课内例4:喷水问题 1．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键； 将抛物线化为顶点式即可解决问题. 【详解】解：∵， ∴当时，； 故选：B. 2．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 【答案】6． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键． 根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，即， 解得，（不合题意，舍去）， 该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米． 故答案为：6． 3．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 巩固课内例5:求二次函数解析式 1．若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，顶点坐标的运用，掌握二次函数图象顶点坐标的计算是解题的关键．根据题意，结合二次函数图象的顶点坐标可设顶点式为，再将点代入解析式求解即可． 【详解】解：已知二次函数顶点为， 可设顶点式为，将点代入顶点式： ， 解得：． 故选：C． 2．若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 【详解】解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图像过点， ． 故答案为：． 3．已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． (1)求函数表达式； (2)若点在图像上，且，求的取值范围． 【答案】(1)​或​ (2)当函数表达式为时，的取值范围是；当函数表达式为时，的取值范围是或 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． （1）先由题意得出抛物线的顶点是或，再分别利用顶点设出函数表达式，将已知点代入即可得解； （2）分情况讨论：当函数表达式为时，当函数表达式为时． 【详解】（1）解：依题得，该抛物线的顶点是或， 设该二次函数解析式为， ①当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； ②当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； 故函数表达式为或． （2）解：①当函数表达式为时， 即， ， ， 解得； ②当函数表达式为时， 即， 解得或， 综上，当函数表达式为时，的取值范围是； 当函数表达式为时，的取值范围是或． 类型一、二次函数的定义 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 2．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 类型二、列二次函数关系式 1．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 2．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 类型三、二次函数的顶点坐标与对称轴 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 2．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解∶ 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 3．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为y轴 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质： （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数函数解析式的知识进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， （2）解：由（1）得：二次函数的解析式为， ∵， ∴此函数的开口向上，对称轴为y轴． 类型四、二次函数一般式化为顶点式 1．二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 2．将化成的形式为 ． 【答案】 【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质． （1）根据二次函数的顶点式，进行配方即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，找出的范围对应的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴改写形式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示， ∴当时，二次函数与轴的交点坐标为； 当时，二次函数； 当时，二次函数； ∴当时，，有最小值；，有最大值， 故答案为：，． 类型一、二次函数的增减性 1．若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 2．已知二次函数的图象上有两点，当时，始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线，当或时，，由，得到函数值离对称轴越远函数值越小．可分①恒成立，则；②恒成立，则；然后进行作答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ∵在抛物线上， ∴当或时，， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小． 分类讨论：①恒成立，则， ∴； ②恒成立，则． ∴．即． 综上所述．m的取值范围是或． 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点、在抛物线上，当时，求的取值范围； (3)点在抛物线上．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）抛物线开口向上，对称轴为直线，结合其性质进行分析； （3）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ， 顶点为； （2）解：由题意可得，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， ∵点、在抛物线上，且，即点距离对称轴比点近， ∴，即； （3）解：抛物线， 点，，在抛物线上， ，，， ， ，即， 解可得或， 或， ， 或， 解， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 综上所述，或． 类型二、二次函数的对称性 1．如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 2．已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 3．已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是______，______，______； (2)求二次函数的表达式； 【答案】(1)，0； (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，二次函数的图象和性质等知识．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，即可得出，即可求出n． （2）由待定系数法即可求解； 【详解】（1）解∶由表格数据知，顶点坐标为∶，即对称轴为直线 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称， 则， 解得： 故答案为∶ ，0； （2）解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； 类型三、二次函数与一次函数函数图象结合 1．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 3．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 【答案】(1)一次函数表达式为，二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点B的坐标． （1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像相过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为， ∵过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得，， ． 类型一、最值问题 1．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 2．已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．将二次函数进行配方，利用二次函数的图像和性质确定最大值． 【详解】解：， ， 当时，该函数有最大值，最大值是， 故答案为：． 3．已知某抛物线的解析式为，为实数． (1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）把解析式化为顶点式得到对称轴和开口方向，从而得到离对称轴越远，函数值越大，进而可确定当时，，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，的最大值为4， ∴当时，， ∴， 整理得：， ∴或， 故的值为或． 类型二、二次函数各项系数关系 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 2．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③ ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)①直线   ② (2)或 【分析】（1）①由的图象与性质即可直接得出答案；②由二次函数的图象与系数的关系可得该抛物线开口向上，由的图象与性质可得当时，随的增大而增大，进而根据函数的增减性即可得出m和n的大小关系； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据抛物线开口方向及函数的增减性建立关于的一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 该抛物线的对称轴为直线； ②， 抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 对于，，都有， ， ； ②当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， 对于，，都有， 且关于对称轴的对称点的取值范围是：， ， ； 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，轴对称的性质，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 类型三、二次函数的周长问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接，P为抛物线对称轴上动点，则当的周长取最小值时，点P坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、运用待定系数法求函数解析式、轴对称-最短路线问题的求解等知识与方法，正确地求出直线的解析式是解题的关键．由抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，求得，，，再求出该抛物线的对称轴为直线，连结交直线于点L，连结，当点P与点L重合时，的周长，此时的周长的值最小，可求得直线的解析式为，进而求得当的周长取最小值时，点的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：抛物线，当时，， 当时，则， 解得，， ∴，，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 连接交直线于点L，连接， ∵点A与点B关于直线对称， ∴当点P与点L重合时，的周长，此时的周长的值最小， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴当的周长的值最小时，点P的坐标为， 故选：B 2．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，正方形的性质，根据二次函数的性质得出、关于对称轴对称，根据点的横坐标得出长，再根据正方形的性质求出即可． 【详解】点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴， 的横坐标为，、关于对称轴对称， 点的横坐标是，则 即正方形的边长是， 所以正方形的周长是， 故答案为：． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的性质及图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题 （1）由抛物线与x轴交点，得到方程的两根，然后利用根与系数即可确定b、c的值，即可得出解析式， （2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点M的坐标； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点． ∴方程的两根为或， ∴，， ∴，， ∴该抛物线的解析式 （2）∵点A、B关于对称轴对称， ∴点M为与对称轴的交点时，的值最小， 设直线的解析式为， 解得∶， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴把代入，得 ． ∴抛物线对称轴上存在点符合题意． 类型四、二次函数的面积问题 1．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上，且．设正方形的面积是，的长是，则下列说法正确的是（　　） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，有最小值， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，解决本题的关键是证明． 2．如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】连接，设，则，证明，得出，根据，由此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴当时，最大，且最大值为， 即面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 二次函数的图象和性质 一、二次函数的定义 一般地，如果y=ax²+bx+c（其中a,b,c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。 二、二次函数的图象 1.抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴。 2.二次函数y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 三、二次函数的性质 1.a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同。 2.在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴。 3.c决定了抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方；当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点；当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方。 4.顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 巩固课内例1:画出函数y=ax²的图象 1．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 2．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 3．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 巩固课内例2:画出函数y=ax²+k的图象 1．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 2．已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 3．【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 巩固课内例3:画出函数y=a(x-h)²+k的图象 1．已知抛物线，下列结论中错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值3 D．当时，y随x的增大而增大 2．设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用号连接） 3．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 巩固课内例4:喷水问题 1．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 3．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 巩固课内例5:求二次函数解析式 1．若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 3．已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． (1)求函数表达式； (2)若点在图像上，且，求的取值范围． 类型一、二次函数的定义 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的二次函数，则的值为 ． 3．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 类型二、列二次函数关系式 1．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 3．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 类型三、二次函数的顶点坐标与对称轴 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线 ． 3．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴． 类型四、二次函数一般式化为顶点式 1．二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 2．将化成的形式为 ． 3．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 类型一、二次函数的增减性 1．若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象上有两点，当时，始终有，则m的取值范围是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点、在抛物线上，当时，求的取值范围； (3)点在抛物线上．若对于，都有，求的取值范围． 类型二、二次函数的对称性 1．如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 3．已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是______，______，______； (2)求二次函数的表达式； 类型三、二次函数与一次函数函数图象结合 1．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第 象限． 3．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 类型一、最值问题 1．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 2．已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 3．已知某抛物线的解析式为，为实数． (1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 类型二、二次函数各项系数关系 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 类型三、二次函数的周长问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接，P为抛物线对称轴上动点，则当的周长取最小值时，点P坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为 ． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 类型四、二次函数的面积问题 1．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上，且．设正方形的面积是，的长是，则下列说法正确的是（　　） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 2．如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$