21.3 实际问题与一元二次方程 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 2.设：设元，即设出未知数。 3.列：列方程，这是关键步骤。一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，得到含有未知数的等式，即方程。 4.解：解方程，求出未知数的值。 5.验：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 6.答：写出答案。 二、常见应用题型及解题技巧 1.三个连续整数问题：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 2.三个连续偶数（奇数）问题：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2。 3.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数是100a+10b+c。 4.平均增长率或降低率问题：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)²=b。 5.利润问题：常用的相等关系式有，总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润×总销售量；利润=成本×利润率。 6.几何图形问题：根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 7.传播问题：包括疾病传染问题和分裂增长问题等，需要根据题意建立等量关系，列出一元二次方程进行求解。 巩固课内例1:一元二次方程的应用——传染问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 2．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 3．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 巩固课内例2:一元二次方程的应用——平均变化率问题 1．2024年12月4日，春节申遗成功．伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，承载了无数家庭的欢乐与记忆．据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年约21亿人次．设这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查一元二次方程的实际应用． 根据题意列方程即可． 【分析】解：设年平均增长率为，则： 2024年的规模为亿人次， 2025年的规模为亿人次． ∵2025年的规模为21亿人次， ∴， 故选C． 2．某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，则月平均降价率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用． 设月平均降价率为x，新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，据此列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月平均降价率为． 故答案为： 3．某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为 【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得， 解得：（舍去） 答：单台服务器运行成本的月平均降低率为． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——图形问题 1．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得，再解方程并检验即可. 【详解】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴金色纸边的宽为1分米； 故选：A． 2．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为，再根据整个挂图的长与宽之比为列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为， 依题意得：或． 故答案为：或． 3．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； （2）花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 类型一、一元二次方程的应用——数字问题 1．淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟练掌握解一元二次方程的求根公式是解题关键． 根据题意，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，即， 解得：， 或， ， ， ∵a为正数， ． 故选：A． 2．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有 ， ， ， 解得． 故答案为：． 3．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 类型二、一元二次方程的应用——循环问题 1．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 2．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），即可列出关于一元二次方程． 【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得： ． 故答案为： ． 3．某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 【答案】有支球队参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请支球队参加比赛，根据计划安排171场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设有支球队参加比赛，由题意得， ， 解得， 又 有支球队参加比赛． 类型三、一元二次方程的应用——握手问题 1．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（    ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程． 设这次聚会的同学共n人，则每人与其他人各握手一次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解． 【详解】解设有名同学参加聚会，每人与其他人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为．根据题意，得： 解得（舍去负根）． 因此，参加聚会的同学共有10人， 故选：B． 2．有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据每两人都握手一次手，有人共握手66次，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 3．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 类型一、一元二次方程的应用——直角三角形问题 1．已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（        ） A．7 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要利用三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设一直角边为x，则另一直角边为，可得面积是，根据“面积为10”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长． 【详解】解：设一直角边为x，则另一直角边为，根据题意得 解得：，， ∴另一直角边为或， ∴直角三角形两直角边为4，5， ∴直角三角形的斜边为． 故选：D． 2．若直角三角形三边长分别是n，，，则该三角形的面积是 ． 【答案】54 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，正确求出该直角三角形的两条直角边长是解题关键．根据直角三角形斜边最长结合勾股定理可求出n的值，再计算其面积即可． 【详解】解：∵， ∴该直角三角形的两条直角边分别为n，， ∴， 解得：（舍），， ∴该直角三角形的两条直角边分别为9，12， ∴该三角形的面积是． 故答案为：54． 3．已知直角三角形三边长为三个连续整数，请求出这个三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据直角三角形三边长是连续整数可设三边长分别为，由勾股定理列出方程，求出的值，再根据面积公式求解即可 【详解】解：设三边分别为a，， 三角形为直角三角形 （舍去） 三角形三边为：3，4，5 三角形面积 类型二、一元二次方程的应用—菱形问题 1．一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为x，可列方程(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用菱形面积的求法结合题意即可列出一元二次方程． 【详解】解：设长对角线为x，则短对角线为， 则可列方程：． 故选D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 2．一个菱形两条对角线长的和是，周长为，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理及解一元二次方程．根据菱形的性质可知边长再利用勾股定理求出对角线的长，然后根据菱形的面积计算公式可解． 【详解】解：菱形的周长为，则边长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分，一个菱形两条对角线长的和是 设一其中条角线的一半为，则另一条角线的一半长为， ， 解得：或， 菱形的两条对角线长分别为和， 则菱形的面积为． 故答案为：24． 3．如图，菱形的边长为6，对角线、交于，且，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若四边形的周长为16，求菱形的面积． 【答案】(1)四边形为矩形，理由见详解 (2)28 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握矩形的判定以及菱形的性质是解题关键． （1）首先根据菱形的性质可得，即有，再根据平行线的性质可得，即可证明结论； （2）首先根据矩形的性质可得，可设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，进而可求得，然后由菱形的面积求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为矩形，且周长为16， ∴， 设，则， 则在中，由勾股定理可得 即， 解得或， ∴， ∴菱形的面积． 类型三、一元二次方程的应用——矩形问题 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 2．一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 故答案为：． 3．已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形对角线长，求该矩形的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根， 列出关于的不等式求解； (2)先根据方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，求得两根之和与两根之积，再利用矩形对角线长，得到关于的方程求解，然后求得矩形的面积． 【详解】（1）解∶∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （2）设矩形两邻边分别为，， ∵方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长， ∴，， ∵矩形对角线长 ， ， ， 即， 解得：，， ∵， ∴， ∴矩形面积． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判断式求参数，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 类型四、一元二次方程的应用——小球速度问题 1．小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则速度为5﹣1.25x． 【详解】小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得： x•=5 整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2． ∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间． 2．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ． 【答案】 【分析】根据题意设，则，在中，用含的式子表示出，根据两个小球的速度相等，时间相等，即可求解． 【详解】解：，，，设，则， 在中，， ∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等， ∴，则， ∴，解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系列方程，解方程是解题的关键． 3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为 米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)4 (3)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动24米约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， 故答案为：2，． （2）解：设小球滚动24米约用了秒，此时速度为米/秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ． 答：小球滚动24米用了4秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 类型一、一元二次方程的应用——规律问题 1．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案： 结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多28台，此时正整数n为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律．根据所给图形，分别求出图形中〇和△的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中〇的个数为，△的个数为； 第个图案中〇的个数为，△的个数为； 第个图案中〇的个数为，△的个数为； …， 所以第个图案中〇的个数为个，△的个数为个． 由得， （舍去），， 所以的值为． 故选：C． 2．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键． 根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解． 【详解】解：第1个图中棋子的个数为：， 第2个图中棋子的个数为：， 第3个图中棋子的个数为：， 第4个图中棋子的个数为：， 则第个图中棋子的个数为：， ， 解得：，（不合题意，舍去） 第个图中共有个棋子． 故答案为：． 3．阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 【答案】(1)21；45 (2) (3)要悬挂25串气球 【分析】本题考查了有理数的图形类规律，解一元二次方程的应用． （1）直接把前面6行、9行点分别相加即可求解； （2）把前n行点数相加即可； （3）根据题意列出方程，利用（2）的结论解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：前6行点数和为：； 前9行点数和为：； 故答案为：21；45； （2）解：前n行点数和为：； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 即 ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球． 类型二、一元二次方程的应用——销售问题 1．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 2．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润销售的数量获得的利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每个口风琴的定价应该是元， ， 解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者， ∴， 故答案为：． 3．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (1)设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； (3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】(1) (2)54元或56元 (3)不能达成这个“小目标”，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为： （2）解∶ 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴或 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额 （3）解∶ 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： ∴ ∴不能达到这个“小目标”． 类型三、一元二次方程的应用——几何动点问题 1．如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 2．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【答案】10 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出，的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则，，根据图形知，根据勾股定理列出方程，解出即可． 【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 3．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 实际问题与一元二次方程 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 2.设：设元，即设出未知数。 3.列：列方程，这是关键步骤。一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，得到含有未知数的等式，即方程。 4.解：解方程，求出未知数的值。 5.验：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 6.答：写出答案。 二、常见应用题型及解题技巧 1.三个连续整数问题：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 2.三个连续偶数（奇数）问题：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2。 3.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数是100a+10b+c。 4.平均增长率或降低率问题：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)²=b。 5.利润问题：常用的相等关系式有，总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润×总销售量；利润=成本×利润率。 6.几何图形问题：根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 7.传播问题：包括疾病传染问题和分裂增长问题等，需要根据题意建立等量关系，列出一元二次方程进行求解。 巩固课内例1:一元二次方程的应用——传染问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 3．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 巩固课内例2:一元二次方程的应用——平均变化率问题 1．2024年12月4日，春节申遗成功．伴随着中国春节除夕夜必不可少的春晚，承载了无数家庭的欢乐与记忆．据相关统计，2023年春晚在新媒体端直播规模约8亿人次，2025年约21亿人次．设这两年春晚在新媒体端直播规模的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，则月平均降价率为 ． 3．某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——图形问题 1．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 2．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为 ． 3．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 类型一、一元二次方程的应用——数字问题 1．淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 3．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 类型二、一元二次方程的应用——循环问题 1．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 3．某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 类型三、一元二次方程的应用——握手问题 1．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（    ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 2．有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 3．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 类型一、一元二次方程的应用——直角三角形问题 1．已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（        ） A．7 B．9 C． D． 2．若直角三角形三边长分别是n，，，则该三角形的面积是 ． 3．已知直角三角形三边长为三个连续整数，请求出这个三角形的面积． 类型二、一元二次方程的应用—菱形问题 1．一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为x，可列方程(　　) A． B． C． D． 2．一个菱形两条对角线长的和是，周长为，则菱形的面积为 ． 3．如图，菱形的边长为6，对角线、交于，且，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若四边形的周长为16，求菱形的面积． 类型三、一元二次方程的应用——矩形问题 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 2．一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 3．已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形对角线长，求该矩形的面积． 类型四、一元二次方程的应用——小球速度问题 1．小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（       ） A． B． C． D． 2．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ． 3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为 米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 类型一、一元二次方程的应用——规律问题 1．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案： 结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多28台，此时正整数n为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 3．阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 类型二、一元二次方程的应用——销售问题 1．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 2．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 3．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (1)设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； (3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 类型三、一元二次方程的应用——几何动点问题 1．如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 3．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$