21.1—21.2一元二次方程 解一元二次方程 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

21.1—21.2一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 一、一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。需要注意的是，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。 二、一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。其中，ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。在判断一个方程是否为一元二次方程时，需要特别注意二次项系数a不能为0。 三、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。这是解方程过程中验根的依据。 在学习一元二次方程时，还需要掌握如何根据实际问题列出一元二次方程，以及如何通过观察和化简，将方程转化为一般形式，并正确识别出二次项、一次项和常数项以及它们的系数。 解一元二次方程 一、直接开平方法 利用平方根的定义，通过直接开平方求一元二次方程的解。例如，对于方程x²=p： 当p>0时，方程有两个不等的实数根； 当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； 当p<0时，方程没有实数根。 二、配方法 配方是为了把方程变成左边是平方，右边是数的形式，即(x+n)²=p。用配方法解一元二次方程的一般步骤包括： 化1：把二次项系数化为1； 移项：把与未知数有关的项放在等式左边，其他项放在等式右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程变为(x+n)²=p； 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 三、公式法 利用公式法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤包括： 利用一元二次方程整理成一般形式； 确定公式中a，b，c的值； 求出b²-4ac的值； 当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值及b²-4ac的值代入求根公式即可；当b²-4ac<0时，方程无实数根。 四、因式分解法 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。因式分解法包括提取公因式法等方法。 巩固课内例1:一元二次方程的一般形式 1．已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 2．把一元二次方程：，化成一般式是 ． 3．当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 巩固课内例2:解下列方程——配方法 1．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成的形式为 ． 3．用配方法解方程： (1)． (2)； 巩固课内例3:解下列方程——公式法 1．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 2．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 3．解方程：． 巩固课内例4:解下列方程——因式分解法 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 2．方程的解为 3．解方程：． 巩固课内例5:根与系数关系求和与积 1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两个根是，则的值为 ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 3．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 类型二、解下列方程——直接开平方法 1．方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、一元二次方程根的情况 1．若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 2．一元二次方程根的情况是 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 类型四、解下列方程——换元法 1．已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．若实数x，y满足，则的值为 ． 3．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 类型五、解下列方程—十字相乘法 1．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．解方程： (1)． (2)． 类型一、一元二次方程的根求参 1．若关于的方程没有实数根，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 类型二、一元二次方程变形求值 1．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（     ） A．1，0 B．，0 C．1， D．2， 2．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 3．阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 类型三、一元二次方程与三角形结合 1．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 2．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 3．已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 类型四、一元二次方程与四边形结合 1．已知菱形的边长是一元二次方程的一个根，且两条对角线长的和为，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D．或 2．已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 3．已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为2，求的值； (2)当为何值时，是菱形？ 类型一、降次法 1．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 3．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 类型二、一元二次方程整体带入 1．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 3．阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 类型三、配方法的应用 1．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 2．当 时，代数式的值最小． 3．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 类型四、黄金分割数 1．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，线段的长为1，线段上的点C满足关系式，则线段的长度为 ．（用含有根号的式子表示） 3．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1—21.2一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 一、一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。需要注意的是，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。 二、一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。其中，ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。在判断一个方程是否为一元二次方程时，需要特别注意二次项系数a不能为0。 三、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。这是解方程过程中验根的依据。 在学习一元二次方程时，还需要掌握如何根据实际问题列出一元二次方程，以及如何通过观察和化简，将方程转化为一般形式，并正确识别出二次项、一次项和常数项以及它们的系数。 解一元二次方程 一、直接开平方法 利用平方根的定义，通过直接开平方求一元二次方程的解。例如，对于方程x²=p： 当p>0时，方程有两个不等的实数根； 当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； 当p<0时，方程没有实数根。 二、配方法 配方是为了把方程变成左边是平方，右边是数的形式，即(x+n)²=p。用配方法解一元二次方程的一般步骤包括： 化1：把二次项系数化为1； 移项：把与未知数有关的项放在等式左边，其他项放在等式右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程变为(x+n)²=p； 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 三、公式法 利用公式法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤包括： 利用一元二次方程整理成一般形式； 确定公式中a，b，c的值； 求出b²-4ac的值； 当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值及b²-4ac的值代入求根公式即可；当b²-4ac<0时，方程无实数根。 四、因式分解法 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。因式分解法包括提取公因式法等方法。 巩固课内例1:一元二次方程的一般形式 1．已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．先将原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：D． 2．把一元二次方程：，化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 3．当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 巩固课内例2:解下列方程——配方法 1．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法，将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式即可． 【详解】解：原方程：． 移常数项：将移到右边，得． 配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方得： 化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数，得： 因此，原方程变形为． 故选：C 2．将一元二次方程化成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为． 3．用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 巩固课内例3:解下列方程——公式法 1．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 2．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，方程整理后运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为． ，，， ， ， ，， 巩固课内例4:解下列方程——因式分解法 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解∶原方程变形为 ∴， ∴， 解得：， 故选∶C． 2．方程的解为 【答案】2或3 【分析】本题主要考查了利用因式分解解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解解一元二次方程的步骤． 先对方程进行因式分解，再求方程的解即可． 【详解】解： ∴， 故答案为：2或3． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键． 通过移项、提公因式，先将原方程化为，再运用因式分解法解此方程即可得出结果． 【详解】解：， 原方程可化为：， 分解因式，得， 则或， 解得，． 巩固课内例5:根与系数关系求和与积 1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 2．若一元二次方程的两个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是， ∴， 故答案为：． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【答案】(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设为方程的另一个根，根据根与系数的关系可得出，，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 类型一、一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是熟悉一元二次方程的定义． 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，按照定义逐一分析即可． 【详解】解：A、中含有两个未知数，是二元一次方程，则A不符合题意， B、不是整式方程，则B不符合题意， C、符合一元二次方程的定义，则C符合题意， D、中，未知数的次数是1，是一元一次方程，则D不符合题意． 故选：C． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 3．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 类型二、解下列方程——直接开平方法 1．方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】移项得， ∴， ∴方程 的正根为， 故选：． 2．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：，． 3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 类型三、一元二次方程根的情况 1．若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 【详解】解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 类型四、解下列方程——换元法 1．已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方程形式，再解出对应的x值即可． 【详解】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 2．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ∴ ， ， 或， 或（舍去）， ∴． 故答案为：4． 3．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 类型五、解下列方程—十字相乘法 1．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质，利用勾股定理求出边长即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， ∵菱形两条对角线的长度是方程的两根， ∴菱形两条对角线的长度为，， ∴菱形的边长． 故选：A． 2．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看做一个整体，把方程左边因式分解得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 3．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． （1）利用因式分解法解方程． （2）先把方程变形得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． （2）解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 类型一、一元二次方程的根求参 1．若关于的方程没有实数根，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根，计算判别式并建立不等式求解m的范围，再结合选项判断，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴ ∴， 故选：D 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 类型二、一元二次方程变形求值 1．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（     ） A．1，0 B．，0 C．1， D．2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，； ∴方程的根是或， 故选：C 2．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的加减法、分式的化简求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据已知易得即，则，然后代入式子中计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程一个解， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：2． 3．阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 【答案】(1)4，18 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； （2）解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型三、一元二次方程与三角形结合 1．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．先求出方程的解，结合第三边，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：， ∴， ∴，， 解得：，， 一个三角形两边的长是3和5， 第三边， ∴三角形的第三边为， ， 该三角形的形状是直角三角形． 故选：C． 2．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 【答案】10或12 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形周长计算，先根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的长的取值范围，再解方程求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和3， ∴第三边的长， 解方程得或， ∴第三边的长为3或5， ∴该三角形的周长为或， 故答案为：10或12． 3．已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，则，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵的两边长恰好是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵三角形的一边， ∴的周长为． 类型四、一元二次方程与四边形结合 1．已知菱形的边长是一元二次方程的一个根，且两条对角线长的和为，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出，求出方程的解，利用三角形的三边关系确定解即可． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 解， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质，设出对角线长，利用菱形面积公式和勾股定理得到关于对角线长的两个等式，再结合根与系数的关系确定一元二次方程． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，． ∵菱形面积等于对角线乘积的一半，且面积为 ∴，即 又∵菱形对角线互相垂直平分，边长为，根据勾股定理，，化简得 由完全平方公式，把，代入，可得， ∴（因为对角线长为正，舍去负根） ∵，是一元二次方程的两根，根据韦达定理，两根之和，两根之积 ∴，即； ∴这个一元二次方程为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、完全平方公式以及根与系数的关系，熟练掌握菱形性质和根与系数的关系是解题的关键． 3．已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为2，求的值； (2)当为何值时，是菱形？ 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根的判别式；熟练根据一元二次方程根的情况列出对应的等式是解题的关键． （1）将代入方程即可解出的值； （2）先根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列等式求解即可． 【详解】（1））解：当时， 将代入方程得： 解得：； （2）∵是菱形， ∴关于方程有两个相等的实数根， 解得：， 故当时，是菱形． 类型一、降次法 1．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵， ∴，， ∴ = = = = =， ∵，且， ∴， ∴原式=， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次． 2．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 当， ． 当， 此时方程无解； 故答案为：或． 3．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三 (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 类型二、一元二次方程整体带入 1．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的看做一个整体，根据已知方程的解可得或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 2．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程换元法，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：，． 3．阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 【答案】(1)18 (2)或1 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得：， ， ， ． （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得：， 或1， 或1． 类型三、配方法的应用 1．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用、配方法的应用，正确求得a、b值是解答的关键．根据“同族二次方程”的定义，第二个方程可表示为，展开后与题目给出的方程比较系数，求出和的值，再利用配方法求代数式的最小值． 【详解】解：由题意，方程可表示为，展开得：， 则，，， 解得，，， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式取得最小值， 故选：B． 2．当 时，代数式的值最小． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式的最小值问题，利用配方法及平方的非负性是解答的关键. 对代数式进行配方，利用平方的非负性解答. 【详解】解： ∵ ∴ ∴当时，原式有最小值 即当时，代数式取得最小值. 故答案为： 3．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 【答案】(1) (2)8 (3)13 【分析】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“美丽数”的定义即可求解； （2）先通过配方求出m和n的值，再求的值； （3）通过配方将变形为，再根据“美丽数”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 故 （2）解：， ，， ， （3）解： ， 为“美丽数”， ， ． 类型四、黄金分割数 1．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m， 由题意得：， 即， 整理得： 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程． 2．科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，线段的长为1，线段上的点C满足关系式，则线段的长度为 ．（用含有根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据，结合线段的长为1，，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：或（舍去）； 故答案为：． 3．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （）设正方形的边长为，则，由中点及勾股定理得，从而求得，即可证明结论成立； 【详解】（1）解：将代入得， ，， ∴ 解得， ∵黄金分割数大于， ∴黄金分割数为． （2）证明：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是黄金矩形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，矩形，勾股定理，正方形的性质，中点定义．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．熟练掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$