精品解析：山东省青岛市第三十九中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

青岛第三十九中学（海大附中） 2024-2025学年度高一下学期期末考试数学试题 2025.07 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．请按照题目要求将选择题选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，其他题目将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样的定义即可得解. 【详解】女生应抽取的人数是. 故选：C. 2. 在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由大前提推得，再利用菱形的几何性质即可判断. 【详解】在四边形中，由，可得四边形为平行四边形， 若，则平行四边形对角线垂直，所以为菱形，反之也成立， 故“”是“四边形是菱形”的充要条件． 故选：D. 3. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 故选：A. 4. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论: 由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则， 又数据分布图右拖尾，则平均数大于中位数，即， 因此有. 故选：D. 5. 若函数在上单调递减，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数在上是单调递减的，结合相位的整体思想，即可得到不等式求解的范围，从而可判断选项. 【详解】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 6. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直观图的面积，再根据斜二测画法的性质求解原三角形面积. 【详解】因为轴，所以直观图的面积为, 原图形面积为直观图面积的倍，所以原图面积为. 故选：B. 7. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，， 平面，则它的外接球半径和内切球半径的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】 根据已知条件可以将三棱锥放在正方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为正方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， ，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 则它的外接球半径和内切球半径的比值为 故选：A. 8. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解.  解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的性质判断A；确定线面位置关系判断BC；利用面面垂直的判定判断D. 【详解】对于A，若，，，则，A正确； 对于B，若，，则或相交或是异面直线，B错误； 对于C，若，，则或，C错误； 对于D，由于，则内存在直线，而，于是，，D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断. 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹中包含的中点 B. 点的轨迹与侧面的交线长为 C. 的最大值为 D. 直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据动点满足的条件及正方体的结构特征得到动点的轨迹，然后利用轨迹的特征判断选项A，B，C，对于选项D，要先将线线角问题转化为线面角问题，再利用空间向量法求解． 【详解】如图，取的中点，分别取，上靠近，的四等分点，，连接，，，， 易知且，所以，，，四点共面．连接， 因为，，， 因此，所以，易知，所以平面， 即点的轨迹为四边形（不含点），易知点的轨迹与侧面的交线为， 由不过的中点，所以A选项错误 又，B选项正确； 根据点的轨迹可知，当与重合时，最大，易知平面，则， 连接，所以，故C选项正确； 由于点的轨迹为四边形（不含点），所以直线与直线所成的最小角就是直线与平面所成的角， 又向量与平面的法向量的夹角等于， 且，所以直线与平面所成角的余弦值为， 即直线与直线所成角的余弦值的最大值等于，故D选项正确． 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是由条件探索出动点的轨迹，以及由线面角的定义和性质得到直线与直线所成的最小角就是直线与平面所成的角，从而转化为向量与平面的法向量的夹角求解，属于中档题. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．（注意：在试题卷上作答无效） 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 13. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，， 即纪念碑高为米. 故答案为：. 14. 将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，并整理得到如图所示的频率分布直方图： （1）求样本中停车时长在区间上的频率； （2）若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及33%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 【答案】（1）0.03 （2）410 （3）免费停车时长为不超过162.5分钟 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，列式计算求参，再得出频率即可； （2）根据已知得出频率继而得出车辆数即可； （3）应用频率分布直方图列方程计算频率即可求解. 【小问1详解】 根据频率分布直方图中所有频率和为1， 设的频率为，可列等式为 ． 所以， 所以样本中停车时长在区间上的频率为0.03． 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知在区间上的频率为 ， 所以估计该天停车时长在区间上的车辆数为：． 【小问3详解】 设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间． 则满足， 所以，确定免费停车时长为不超过162.5分钟． 16. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得. 【小问1详解】 由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; 【小问2详解】 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 17. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知面积为，为7，求边上中线长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. 【小问2详解】 由得① 由得② 由①②得 由， 得. 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为的中点，，且． （1）证明：平面； （2）若F为线段上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为为中点，是等边三角形，所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 已知，则， 又，，在等边中，，所以， 由勾股定理逆定理，所以， 因为，，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断，结合，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）先根据的面积最小，确定点的位置，再确定与平面所成的角，利用余弦定理解三角形，求出线面角的余弦，再利用同角三角函数的基本关系，求线面角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：连接， 由（1）知平面，平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小， 在中，若最小，则， 此时，， 因为，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为. 因为平面平面，所以平面， 所以（或其补角）是与平面所成的角. 在中，由余弦定理可得， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）. 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集内的根为，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）对于方程在复数集内的根为，求的值； （2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系； （3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中阅读材料按公式求得三个根之间的关系，再计算的值； （2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系； （3）由题有的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得，计算结合求最大值； 【小问1详解】 由阅读材料可知：，且 有：； 【小问2详解】 由材料可知：一元四次方程可改写为 展开得： 故可得： 【小问3详解】 由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为-3； 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由题有的三个实根为， 设，右侧展开利用对应系数相等得，计算结合求最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛第三十九中学（海大附中） 2024-2025学年度高一下学期期末考试数学试题 2025.07 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．请按照题目要求将选择题选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，其他题目将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 2. 在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，， 平面，则它的外接球半径和内切球半径的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 11. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹中包含的中点 B. 点的轨迹与侧面的交线长为 C. 的最大值为 D. 直线与直线所成角的余弦值的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．（注意：在试题卷上作答无效） 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 13. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 14. 将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，并整理得到如图所示的频率分布直方图： （1）求样本中停车时长在区间上的频率； （2）若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及33%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 16. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 17. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知面积为，为7，求边上中线长. 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为的中点，，且． （1）证明：平面； （2）若F为线段上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值． 19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）. 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集内的根为，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： （1）对于方程在复数集内的根为，求的值； （2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系； （3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $