专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 4 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 8 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 2.如图1，在中，是的角平分线； (1)填写下面的表格． 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； 的度数 的度数 3.模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 4．如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 5．如图、在四边形中、平分，且与四边形的外角的角平分线交于点，若，求的度数． 6．他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，探索、之间的数量关系． 9．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 10．如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度． 11．如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 12．如图，在中，，是的角平分线，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)爱动脑的慧慧发现，当P点在线段上运动时，若是锐角，则，请聪明的你说说结论成立的理由． 一、单选题 1．（24-25八年级上·青海果洛·期末）如图，点O在内，且点O是两个角平分线的交点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，分别是的角平分线和高，若，，则 ． 6．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 7．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条角平分线交于点；作和的平分线交于点；以此类推得到点，则的大小为 ． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知，如图1，在，、的角平分线交于点O，则．如图2，在中，、的两条三等分角线分别对应交于、，则，． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ； ． 三、解答题 9．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）中，，是高，是三角形的角平分线． (1)当，时，求的度数； (2)根据第（1）问得到的启示，与之间有怎样的等量关系，并说明理由． 10．如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． (1)若是的高，且，则的度数为 ； (2)若是的角平分线，，求的度数． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 13．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 14．综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 15．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 16．（24-25七年级下·河南南阳·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点A在射线上运动，点在射线上运动，点A、点均不与点重合． (1)如图①，平分平分，若，求的度数； (2)如图②，平分平分的反向延长线交于点； ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点A、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图③，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 4 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 8 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：，，平分，平分， ， ． 故选：C． 2.如图1，在中，是的角平分线； (1)填写下面的表格． 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，得到，逐一进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，； 时，； 时，； 填表如下： 的度数 的度数 （2），证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 3.模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 4．如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 5．如图、在四边形中、平分，且与四边形的外角的角平分线交于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，延长交于点，先根据计算出的度数，根据三角形外角的性质可得，根据角平分线的定义可得，进而可得． 【详解】解∶如图，延长交于点． ， ． ． ， 又平分平分， ， ． 6．他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 【答案】(1)；；；或 (2) 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得出，再由三角形内角和定理计算即可得解；分两种情况：当，时，当，时，结合三角形内角和定理，分别计算即可得解； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的三等分线相交于点， ∴当，时， ， ∴； 当，时， ， ∴； 故和的三等分线相交于点，则或； （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 8．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，探索、之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出，，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出； （2）由三角形内角和定理和角平分线定义可求出，再根据角平分线的定义得出，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出．由此可得． 【详解】（1）解：在中，， ； 平分平分； ； ； ； （2）平分平分； 设； ； 得：； 平分平分； 设； ，，， ； ； ； ； ， 、之间的数量关系为． 9．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点， ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）解：平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， ， 此时， 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 10．如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度． 【答案】13 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理及外角的性质，先利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，由即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：13． 11．如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，根据三角形外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可； （）根据三角形内角和先得到，再根据角平分线的定义得到，再根据内角和定理以及对顶角的性质求出，继而利用直角三角形两锐角互余即可证得结论； 本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】（）∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，是的角平分线，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)爱动脑的慧慧发现，当P点在线段上运动时，若是锐角，则，请聪明的你说说结论成立的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得到，可得，然后利用直角三角形的两锐角互余解题； （2）根据角平分线和三角形的内角和得到证明，再证明，然后再利用直角三角形的两锐角互余解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，     ∵AD平分， ∴， ∵是△ABD的外角 ∴，     ∵ ∴ ∴； （2）证明：∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是△ABD的外角， ∴， ，     ∵， ∴， ∴， ， 即． 一、单选题 1．（24-25八年级上·青海果洛·期末）如图，点O在内，且点O是两个角平分线的交点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，解一元一次方程． 设，则，再根据分别平分和得，则，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵平分和， ∴， ∴， 解之得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，首先根据三角形内角和与得出，然后根据角平分线的性质得出和的外角和，进而得出，即可得解． 【详解】 、是的外角角平分线 （） 故选：D． 3．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，解题的关键是找出规律： 先根据内角和定理求出，根据角平分线即可得到半角和，再结合内角和定理即可求出中间角的关系，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∵与的角平分线交于， ∴， 同理可得， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（22-23七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵是角平分线， ∴，故①符合题意； ∵是边上的高， ∴，故②符合题意； ∵是角平分线，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不符合题意； ∵，， ∴ ，故④符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键． 二、填空题 5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，分别是的角平分线和高，若，，则 ． 【答案】/10度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，在中，由与的度数求出的度数，根据为角平分线求出的度数，由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 则， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，延长交于点，设，利用三角形外角的性质表示出的度数，结合角平分线的等腰得到度数，根据列出等式，即可求出． 【详解】解：延长交于点，设交于F， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条角平分线交于点；作和的平分线交于点；以此类推得到点，则的大小为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的外角性质，规律型：图形的变化类，应用三角形的外角性质，由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知，如图1，在，、的角平分线交于点O，则．如图2，在中，、的两条三等分角线分别对应交于、，则，． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ； ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．根据三角形内角和得求出，，，，问题得解． 【详解】解： ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：；． 三、解答题 9．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）中，，是高，是三角形的角平分线． (1)当，时，求的度数； (2)根据第（1）问得到的启示，与之间有怎样的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理： （1）由三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义求得，进而根据角的和差关系即可得到答案； （2）由三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义求得，进而根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵是高，是三角形的角平分线．， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∵是的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ． 即． 10．如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． (1)若是的高，且，则的度数为 ； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，由三角形高的定义得，进而根据三角形外角性质即可求解； （）由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形的角平分线，三角形的高，三角形的外角性质和内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 【答案】探究1：①；②；探究2结论：，理由见解析；探究3：，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 探究1：根据步骤，三角形的内角和定理，进行作答即可； 探究2：根据角平分线的定义，三角形的外角的性质，进行推导即可； 探究3：根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行推导即可． 【详解】解： 探究1：∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴． 探究2结论： ，        理由如下： ∵和分别是和的角平分线， ∴， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； 探究3：． ∵，，O是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ∴， ， ． 12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，由角平分线定义得，由三角形外角定理得，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）延长交于，延长交于，先求出，再根据得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， ∵平分平分， ， ， ， 整理得：， ∴当时，； （2）∵和是邻补角， ， ∵平分平分， ， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）延长交于，延长交于，如下图所示： ， ， ， 即， 同理：， ， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 13．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： (4) 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理． （1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解； （2）结合（1）的过程得，即可作答． （3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明； （4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解． 【详解】（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由（2）得出， 故答案为：． （3）解：依题意，，， ，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， ； （4）解：依题意，，，， ∴，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， 由（3）可知： ， ， 同理得 ， 以此类推，得， 故答案为：． 14．综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，， ，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】[问题发现] （1），分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； [问题探究] （2），分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， [问题拓展] （3）①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即，， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 15．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2）（i），；（ii） （3） （4）或 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． （1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可； （2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可； （ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可； （3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可； （4）分为，，，，这四种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 16．（24-25七年级下·河南南阳·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点A在射线上运动，点在射线上运动，点A、点均不与点重合． (1)如图①，平分平分，若，求的度数； (2)如图②，平分平分的反向延长线交于点； ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点A、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图③，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①45；② (3)或 【分析】本题主要三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角、角的和差等知识，掌握分类讨论的思想思是解题的关键． （1）先求出，再根据求解即可； （2）①根据，只要求出即可．②由已知条件和角平分线的定义可得，再根据计算即可． （3）首先证明，再分、、、四种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：如图①： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴． （2）解：如图②： ①∵， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴点A、B在运动的过程中，． （3）解：如图③： ∵的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点D、F， ∴， ∴， ∴， ①当时，即， ∴． ②当时，即， ∴（不合题意舍弃）． ③当时， ∵，即， ∴． ④当时，， ∴（不合题意舍弃）． 综上所述，当或时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$