第五章 万有引力与宇宙航行（教师用书）-【创新方案】2026年高考物理一轮复习（福建专版）

第五章　万有引力与宇宙航行 第一讲　万有引力定律 |纲举目张|·|精要回顾| [微点判断] (1)(鲁科版课后习题)在相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积。 (×) (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。 (×) (3)(2024·全国甲卷)嫦娥六号探测器从月球背面采集的样品如果放置在月球正面，则样品对月球表面压力等于零。 (×) (4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F=G计算物体间的万有引力。 (×) (5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 (√) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 (×) (7)(2024·安徽高考)我国鹊桥二号中继星在绕月的椭圆轨道上运行时，其在近月点的速度大于远月点的速度。 (√) (8)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。 (√) (9)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。 (×) (10)(鲁科版课后习题)可以将同步卫星定点在北京上空。 (×) |关键知能|·|升维学习| 逐点清(一)　开普勒行星运动定律(基础点速过) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[开普勒行星运动定律](2025·南平模拟)战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道 (　 ) A.恒星都是静止不动的 B.行星绕太阳做圆周运动 C.行星绕太阳运行的速率不变 D.各行星绕太阳运行的周期不同 解析：选D　恒星都是运动的，故A错误；根据开普勒第一定律可知行星绕太阳做椭圆运动，故B错误；根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行的速率与行星和太阳的距离有关，故C错误；根据开普勒第三定律可知，各行星绕太阳运行的周期不同，故D正确。 2.[开普勒第二定律](2024·上海高考，节选)如图所示，太阳系中木星沿着椭圆轨道绕太阳运行，其中a、c为椭圆长轴上的两个端点，b、d为椭圆短轴上的两个端点。木星绕太阳的运行周期为T。某时刻木星沿逆时针绕过a点，从该时刻起，经过后，木星位于 (　 ) A.ab间 B.b点 C.bc间 D.c点 解析：选C　木星从a点经b点运动到c点的过程中，根据开普勒第二定律可知，该过程中木星的速率一直减小，则木星在ab段的平均速度大于在bc段的平均速度，又tac=，所以tab<，tbc>，故从该时刻起，经过后，木星位于bc间。故选C。 3.[开普勒第三定律](2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为 (　 ) A. B. C. D. 解析：选D　根据万有引力公式=mr，整理得M=，因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等，故=，故选D。 　　对开普勒行星运动定律的三点说明 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 (3)开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 逐点清(二)　万有引力定律的理解(基础点速过) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[引力常量的理解]我国华中科技大学引力中心团队在引力常量的测量中作出了突出贡献，关于G的表述，下列说法正确的是 (　 ) A.G的值随距离的增大而增大 B.G的值随距离的增大而减小 C.G的值是卡文迪什最先测出的 D.G是比例常量且没有单位 解析：选C　引力常量G的值是个定值，不会随距离的变化而变化，故A、B错误；G的值是卡文迪什最先测出的，故C正确；G是比例常量但有单位，其单位由万有引力定律可以推导出来，为N·m2/kg2，故D错误。 2.[万有引力的计算](2025·莆田模拟)将地球看成均匀球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球(R为地球半径)，如图所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前、后受到的万有引力的比值为 (　 ) A. B. C. D. 解析：选A　挖空前，在A处的质点受到的万有引力为F1=G，挖去的部分对A处质点的万有引力为F2=G=G，故A处的质点在挖空前、后受到的万有引力的比值为=，故A正确。 3.[万有引力的对比]从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为 (　 ) A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1 解析：选B　在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受着陆平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力，则F祝=G，F玉=G，其中，===，代入数据解得F祝∶F玉=9∶2， 故B正确，A、C、D错误。 　　公式F=G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算： (1)当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心间的距离，引力的方向沿两球心的连线。 (2)当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，r为两物体间的距离。 　　　　　　逐点清(三)　万有引力与重力的关系(重难点疏通) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 在赤道上 G=mg1+mω2R 在两极上 G=mg0 在一般 位置 万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和 说明：越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg 2.不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极(或不计自转) 赤道 g== (R-h) g= = g= g= -R 题点1　万有引力与重力的大小关系 1.地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在离地面6400 km的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为(已知地球自身半径为6400 km) (　 ) A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.1∶1 解析：选C　根据万有引力在数值上等于重力，物体在地球表面时G=mg，在离地面高度6 400 km的轨道上=mg'，解得=，故C正确。 题点2　天体表面的重力加速度的计算 2.(2025·晋江模拟)被誉为“中国天眼”的500 m口径球面射电望远镜(FAST)已取得一系列重大科学成果，发现新脉冲星数量超过800颗。脉冲星就是旋转的中子星，某中子星的质量是太阳质量的20倍，自转周期为0.01 s，半径是地球绕太阳运动的轨道半径的。已知地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度约为6.0×10-3 m/s2，则该中子星两极表面的重力加速度大小约为 (　 ) A.4.0×108 m/s2 B.6.0×1010 m/s2 C.1.2×1011 m/s2 D.2.0×1013 m/s2 解析：选C　在该中子星两极表面的万有引力等于重力，有mg中=G，地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有man=G，根据题意有m中=20m太，R中=r=10-6r，联立可得，该中子星两极表面的重力加速度大小约为g中=1.2×1011 m/s2，故选C。 题点3　两极与赤道处重力的比较 3.(2025·泉州模拟)假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则该质点位置的向心加速度为 (　 ) A.(g0-g) B.(g0-g) C.(g0-g) D.g0-g 解析：选A　根据重力和万有引力的关系，在两极有G=mg0，在赤道有G-mR=mg，则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度为an=Rcos 60°，解得an=(g0-g)，故A正确。 题点4　天体表面某深度处的重力加速度 4.(2024·三明模拟)地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是 (　 ) A. B. C. D. 解析：选D　如果将球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区的重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时为kmg，故空腔填满后引起的万有引力为(1-k)mg，由万有引力定律有(1-k)mg=G，解得球形空腔的体积为V=。 [课时跟踪检测] 1.(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在 (　 ) A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 解析：选A　根据万有引力公式F=G可知，题图中a处距离月球最近，单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。 2.(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是 (　 ) A.在环月飞行时，样品所受合力为零 B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 解析：选D　在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误；若将样品放置在月球正面，它对月球表面的压力大小等于它在月球表面的重力大小，由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确；样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 3.(2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们 (　 ) A.所受地球引力的大小近似为零 B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 解析：选C　航天员在空间站中所受地球引力完全提供其做圆周运动的向心力，故C正确，A、B错误；根据万有引力公式F万=G，可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面上所受引力的大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。 4.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的万有引力的比值约为 (　 ) A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5 解析：选B　设物体质量为m，则在火星表面受到的万有引力为F1=G，在地球表面受到的万有引力为F2=G，由题意可知==，故联立各式可得==×=0.4，故选B。 5.(2025·宁德模拟)在长期天文观测中，人们发现一些星体运行过程中物理量的观测值和理论值之间往往存在稍许偏差。为了解释这种现象，科学家们认为，宇宙中存在一种望远镜看不到的物质，叫暗物质。在对一个绕质量为M的恒星做半径为r的匀速圆周运动的行星观测中发现，行星实际所受万有引力值是恒星对其万有引力理论值的k(k>1)倍。假设暗物质均匀分布在以恒星中心为球心、以r为半径的球内。那么，暗物质的质量应为 (　 ) A.(k-1)M　 B.kM　 C.(k+1)M　 D. 解析：选A　设暗物质的质量为M'，则有F实=+，F理=，又F实=kF理，联立解得暗物质的质量为M'=(k-1)M，故A正确。 6.“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，若该卫星远地点离地心的距离为a，近地点离地心的距离为b，过远地点时卫星的速率为va，则过近地点时卫星的速率为 (　 ) A.vb=va B.vb=va C.vb=va D.vb=va 解析：选C　如图所示，设A、B分别为远地点、近地点，由开普勒第二定律可得avaΔt=bvbΔt，所以vb=va，故选C。 7.如图所示，t时刻神舟十九号载人飞船从A点开始沿顺时针方向运动，运动半个椭圆到B点变轨，恰好与天和核心舱成功对接，则t时刻，天和核心舱可能在轨道Ⅱ上的 (　 ) A.B点　　B.C点　　C.D点　　D.E点 解析：选D　对接前，神舟十九号载人飞船与天和核心舱运行方向应相同，沿顺时针方向运动，根据开普勒第三定律可知k=，轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，可知载人飞船在轨道Ⅰ的周期小于天和核心舱在轨道Ⅱ的周期，由题图可知天和核心舱在轨道Ⅱ上从E点到B点的时间可能等于载人飞船在轨道Ⅰ的周期的一半，故天和核心舱可能在轨道Ⅱ上的E点。故D正确。 8.(2025年1月·八省联考内蒙古卷)紫金山-阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为 (　 ) A.1.5×103 B.1.5×104 C.1.5×106 D.1.5×107 解析：选A　由开普勒第三定律=，可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为==≈1.5×103，故选A。 9.在未来世界，人类已经可以自由穿梭地球与月球之间，并且在月球开办星际工厂，将月球上的矿石经过冶炼不断运往地球，导致了月球的质量不断变小，已知月球绕地球做匀速圆周运动，环绕半径不变，开采前月球质量小于地球质量的，以下说法正确的是 (　 ) A.月球受到的地球引力不断变小 B.月球受到的地球引力不断变大 C.月球受到的地球引力保持不变 D.月球受到的地球引力先变大再变小 解析：选A　地球与月球间的万有引力为F=G，地球质量M大于月球质量m的情况下，M逐渐增大而m逐渐减小，根据数学知识可知M、m的乘积越来越小，F不断减小。故A正确。 10.(2025·建瓯模拟)假设宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F'。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为 (　 ) A.T B.T C.T D.T 解析：选D　设星球和探测器质量分别为m、m'，在两极点，有：G=F，在赤道，有：G-F'=MR，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：G=m'R；联立以上三式解得T自=T。故D正确，A、B、C错误。 11.(2025·永安模拟)已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。一个质量均匀分布的半径为R的球体对离球心r=处的物体的引力为F。若把该物体移到球体外面，球体对该物体的引力仍为F，此时物体距离球心的距离为(球体的体积公式为V=πr3，其中r为球体半径) (　 ) A.R　　B.2R　　C.2R　　D.4R 解析：选A　球体的半径为R，则质量M=πρR3，半径为r=的球体的质量为M'=，由题意可知F=G，F=G，解得x=R，故A正确。 12.质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为 (　 ) A.m0.4g- B.m0.4g+ C.m0.2g- D.m0.2g+ 解析：选B　由G=mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值==0.4，着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由运动学公式v0-at0=0可得a=，对着陆器由牛顿第二定律有F-mg火=ma，解得F=m0.4g+，B正确。 13.如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为 (　 ) A.F，2F B.F，0 C.F，2F D.F，F 解析：选B　将甲图圆环看成是三个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，由题知圆环对球的万有引力大小为F，所以圆环对球的万有引力大小为F；将乙图半圆环看成是两个圆环的组合，根据平行四边形定则，乙图半圆环对球的万有引力大小为F，方向向上；将丙图完整圆环看成是4个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，因此丙图整个圆环对球的引力为0。故选B。 14.（4分）(2024·浙江6月选考，改编)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则小行星甲在远日点的速度 在近日点的速度，小行星乙在远日点的加速度 地球公转加速度。（均选填“大于”“小于”或“等于”） 解析：根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度；根据万有引力提供向心力有=ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度。 答案：小于 等于 第二讲　万有引力定律的应用 第1课时　天体运动与人造卫星(题型研究课) 　　由近几年的考情分析可知，对本专题的考查内容主要有：中心天体的质量和密度、第一宇宙速度、卫星运行中的各种运动参量与卫星轨道半径的关系及同步卫星等知识。解题方法主要有：公式法、比例法和估算法，试题题型以选择题为主，多为容易或中等难度。 题型(一)　天体质量、密度的计算 　　　　　　　　　　　　　　　　 方法1　“自力更生”法(g-R) 　　若不考虑天体自转的影响，利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 (3)GM=gR2称为黄金代换公式。 　　[例1]　(2025·南平模拟)(双选)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列表述正确的是 (　 ) A.月球表面的自由落体加速度g月= B.月球的质量M= C.月球的密度ρ= D.月球的密度ρ= [解析]　月球表面附近的物体做自由落体运动，有h=g月t2，则月球表面的自由落体加速度g月=，故A正确；不考虑月球自转的影响，有G=mg月，解得月球的质量M=，故B错误；月球的密度ρ===，故C错误，D正确。 [答案]　AD 　　[针对训练] 1.(2025·福州模拟)在中国航天领域迅猛发展的当下，发射卫星进一步探测火星及周边的小行星带，能为我国航空探测打下基础。若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度的，小行星的半径为地球半径的，地球和小行星均视为质量分布均匀的球体，则地球的密度是该小行星密度的 (　 ) A. B.5倍 C. D.2倍 解析：选A　根据G=mg，ρ=，V=πR3，可得ρ=，可知地球的密度是该小行星密度的，故A正确，B、C、D错误。 方法2　“借助外援”法(T-r) 　　测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G=mr，得天体的质量M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 　　[例2]　(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为 (　 ) A. B. C. D.(1+k)3 　　[解析]　设月球的半径为R，质量为M，对嫦娥六号分析，根据万有引力提供向心力有G=m·(k+1)R，月球的体积V=πR3，月球的平均密度ρ=，联立可得ρ=(1+k)3。故选D。 [答案]　D 　　[针对训练] 2.(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 (　 ) A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍 解析：选B　设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，周期为T1；太阳质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳的距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有G=m1r1，G=m2r2，联立可得=·，由于行星轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得≈0.1，故选B。 题型(二)　卫星运行参量的分析 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.物理量随轨道半径变化的规律 变化规律越高越慢 2.静止在赤道上空的同步卫星的六个“一定” 轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同，即T=24 h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 由G=m(R+h)得同步卫星离地面的高度h=-R≈6R(恒量) 速率一定 运行速率v=≈3.1 km/s 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 　　[典例]　 (2024·福建高考)(双选)据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约400 km的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约550 km的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号” (　 ) A.角速度大小比“哈勃”的小 B.线速度大小比“哈勃”的小 C.运行周期比“哈勃”的小 D.向心加速度大小比“哈勃”的大 [解析]　根据万有引力提供向心力可得=mω2r=m=mr=ma，可得ω=，v=，T=，a=，由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有ω巡>ω哈，v巡>v哈，T巡<T哈 ，a巡>a哈 ，故C、D正确。 [答案]　CD [针对训练] 1.(2024·江西高考)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是 (　 ) A.== B.== C.== D.== 解析：选A　由万有引力提供向心力，可得=mr=m，解得T=，v=，则=，又Ek=mv2，所以=，故A正确。 2.(2025·龙岩模拟)(双选)目前，北斗全球卫星导航系统已服务全球200多个国家和地区，正式进入服务全球的新时代。北斗系统空间段由多种类卫星组合而成，其中卫星A处于地球静止轨道，卫星B每天都会经过新乡市正上方，地球可看作质量分布均匀的球体，关于卫星A、B，下列说法正确的是 (　 ) A.卫星A不一定位于赤道正上方 B.卫星B一定位于倾斜地球同步轨道上 C.两卫星的速度大小可能相等 D.两卫星的向心加速度大小可能相等 解析：选CD　卫星A处于地球静止轨道，一定位于赤道正上方，A错误；倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，使其能够覆盖地球的大部分区域，如果某时刻在新乡正上方，则24小时后又在新乡正上方，若卫星B的周期为地球自转周期的约数，则卫星B也会每天经过新乡市正上方，B错误；若卫星B为倾斜地球同步轨道卫星，则卫星A、B的速度大小相等，向心加速度大小也相等，C、D正确。 题型(三)　宇宙速度的理解与计算 1.第一宇宙速度的推导 方法一：由G=m得 v1== m/s≈7.9×103 m/s。 方法二：由mg=m得 v1== m/s≈7.9×103 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin=2π ≈5 075 s≈85 min。 2.宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发=7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 　　[典例]　(2024·湖南高考)(双选)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是 (　 ) A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 　　[解析]　返回舱在该绕月轨道上运动时，万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有G=m，在月球表面万有引力和重力的关系为G=mg月，联立解得v月=，同理可得v地=，代入题中数据可得v月=v地，故A错误，B正确；根据线速度和周期的关系有T=r，根据以上分析可得T月=T地，故C错误，D正确。 [答案]　BD [针对训练] 1.(2025年1月·八省联考四川卷)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为81∶1，半径之比约为4∶1。若在地球表面抛射绕地航天器，在月球表面抛射绕月航天器，所需最小抛射速度的比值约为 (　 ) A.20　　　B.6　　　C.4.5　　　D.1.9 解析：选C　在天体上抛射航天器，所需要的最小速度为天体的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力G=m，可得天体的第一宇宙速度为v=，已知地球和月球质量之比约为81∶1，半径之比约为4∶1，则地球和月球的第一宇宙速度之比为===4.5，即所需最小抛射速度的比值约为4.5。故选C。 2.(2024·广东高考)(双选)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的 和 。地球表面重力加速度大小取g=10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有 (　 ) A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2 B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s C.“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为 80 m/s2 D.“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW 解析：选AC　在星球表面，根据G=mg，可得g=，该行星的质量和半径分别为地球的和，地球表面重力加速度大小取g=10 m/s2，可得该行星表面的重力加速度大小为g'=4 m/s2，故A正确；在星球表面上空，根据万有引力提供向心力有G=m，可得星球的第一宇宙速度v=，该行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度v行=v地，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，所以该行星的第一宇宙速度为v行=×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分析，可知探测器与保护背罩之间的作用力F=mg'=4 000 N，“背罩分离”后瞬间，背罩所受的合力大小为4 000 N，根据牛顿第二定律F=m'a，解得背罩的加速度大小为a=80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为P=mg'v=1 000×4×60 W=240 kW，故D错误。 [课时跟踪检测] 1.(2024·甘肃高考)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是 (　 ) A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C.从高处释放一个重物、测量其下落高度和时间 D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 解析：选D　在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力，故选项A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg=G=mr，解得天宫实验室轨道处的重力加速度为g=r，故可行的是测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径，D正确。 2.(2025年1月·八省联考晋陕宁青卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站在2024年10月顺利实现第五次“太空会师”，飞船太空舱与空间站对接成为整体，对接后的空间站整体仍在原轨道稳定运行，则对接后的空间站整体相对于对接前的空间站 (　 ) A.所受地球的万有引力变大 B.在轨飞行速度变大 C.在轨飞行周期变大 D.在轨飞行加速度变大 解析：选A　对接后的空间站质量变大，轨道半径不变，根据万有引力表达式F=G可知空间站所受地球的万有引力变大，故A正确；根据万有引力提供向心力G=ma=m=mr，可得a=，v=，T=2π，空间站运行的轨道半径不变，则在轨飞行速度不变，在轨飞行周期不变，在轨飞行加速度不变，故B、C、D错误。故选A。 3.(2025年1月·八省联考河南卷)水星是太阳系中距离太阳最近的行星，其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的，则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为 (　 ) A.64∶9 B.8∶3 C.3∶8 D.9∶64 解析：选C　由万有引力提供向心力G=m，解得v===，所以===。故选C。 4.(2025·福清模拟)我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是 (　 ) A.火星表面的重力加速度大小是 B.火星的半径是 C.火星的质量是 D.火星的密度是 解析：选C　设物体在火星表面附近做平抛运动的时间为t，水平方向x=v0t，竖直方向h=g't2，联立得g'=，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T，可得加速度为g'=ω2R=R，联立得R=，A、B错误；在火星表面有mg'=G，解得M=，C正确；火星的密度ρ==，D错误。 5.(2024·河北高考)(双选)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是 (　 ) A.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h B.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1 C.鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s 解析：选BD　鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12 h，故A错误；鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有G=maA，同理在B点有G=maB，代入题中数据联立解得aA∶aB=81∶1，故B正确；由于鹊桥二号做曲线运动，可知鹊桥二号的速度方向应为轨道的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误；由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故D正确。 6.(2024·福州一中月考)(双选)利用万有引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是 (　 ) 信息 内容 地球公转周期约365天 地表重力加速度约为9.8 m/s2 火星的公转周期为687天 日地距离大约是1.5亿km 地球半径6 400 km 地球近地卫星的周期90 min A.地球的密度 B.太阳的密度 C.近地卫星的质量 D.火星公转的线速度 解析：选AD　对地球近地卫星有G=mR，由于ρ=，解得ρ=，可估算出地球的密度，近地卫星作为环绕天体，根据题中条件无法求出其质量，A正确，C错误；地球绕太阳做匀速圆周运动有G=Mr，可得M0=，利用地球公转周期T0、日地距离r只能求出太阳的质量，由于不知道太阳的半径，则不能求出太阳的密度，B错误；根据开普勒第三定律有=，可以估算出火星到太阳的距离，根据v火=，则可以估算出火星的线速度，D正确。 7.(2025·晋江模拟)一颗在低圆轨道上运行的卫星，轨道平面与赤道平面的夹角为30°，卫星运行到某一位置时恰好能观测到南极点或北极点，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。则该卫星运行的周期为 (　 ) A.4π B.4π C.4π D.4π 解析：选D　设该卫星的轨道半径为r，根据题意结合几何关系可得sin 30°=，可得r=2R，根据万有引力提供向心力可得=mr，在地球表面有=m'g，联立解得该卫星运行的周期为T=4π，故D正确。 8.(2025年1月·八省联考云南卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400 km(高于近地轨道高度)的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，则该组合体 (　 ) A.运行速度大于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 B.运行速度大于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 C.运行速度小于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 D.运行速度小于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 解析：选C　根据G=m=mr，可得v=，T=2π ，组合体的轨道半径大于地球半径，可知组合体的运行速度小于7.9 km/s；组合体的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，可知组合体的运行周期小于地球同步卫星的周期。故选C。 9.(2024年1月·九省联考河南卷)若两颗人造卫星M、N绕地球做匀速圆周运动，M、N到地心的距离之比为k，忽略卫星之间的相互作用。在时间t内，卫星M与地心连线扫过的面积为SM，卫星N与地心连线扫过的面积为SN，则SM与SN的比值为 (　 ) A.1 B.k C. D. 解析：选D　根据G=m，可知v=，则卫星在时间t内与地心的连线扫过的面积为S=vtr=t，则==。故选D。 10.(2025·厦门模拟)已知一个星球X的密度与地球的密度相同，星球X与地球的半径之比为1∶4，假设卫星A与卫星B分别绕地球和星球X做匀速圆周运动，且两卫星的轨道半径相同，如图所示。则下列说法正确的是 (　 ) A.卫星A与卫星B的加速度大小之比为4∶1 B.卫星A与卫星B的线速度大小之比为2∶1 C.卫星A与卫星B的环绕周期之比为1∶8 D.地球与星球X的第一宇宙速度之比为1∶4 解析：选C　星球的质量为M=ρ·πR3，卫星环绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G=ma，联立得a=，则卫星A与卫星B的加速度大小之比为64∶1，故A错误；由G=m，得v=，则卫星A与卫星B的线速度大小之比为8∶1，故B错误；由G=mr，得T=，可知卫星A与卫星B的环绕周期之比为1∶8，故C正确；当R=r时环绕速度最大，该速度为第一宇宙速度，此时v=，地球与星球X的第一宇宙速度之比为4∶1，故D错误。 11.(2025·泉州二模)(双选)已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为零。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是 (　 ) A.质量相同 B.密度相同 C.第一宇宙速度大小之比为2∶1 D.同步卫星距星球表面的高度之比为1∶2 解析：选BD　由题图可知，两星球的重力加速度大小和半径之比都是1∶2，由=mg，可得M=，则两星球的质量之比=，故A错误；由ρ==，可得 ρ=，故两星球密度相同，故B正确；由mg=m，可得 v=，则两星球的第一宇宙速度大小之比=，故C错误；由=mr，可得r=，则两星球同步卫星的轨道半径之比=，又因为两星球的半径之比为1∶2，故同步卫星距星球表面的高度之比也为1∶2，故D正确。 12.(双选)在外星生命的搜寻中，水的确是不可或缺的条件之一。在距离地球200光年的红矮星K2-155周围，有一颗行星K2-155d，这颗系外行星可能含有液态水，因此可能有生命存在。若这颗行星的半径与地球的半径之比为k，密度与地球的密度相同，则行星K2-155d与地球 (　 ) A.表面的重力加速度大小的比值为 B.表面的重力加速度大小的比值为k C.第一宇宙速度的比值为 D.第一宇宙速度的比值为k 解析：选BD　在星球表面G=mg，M=ρV=πR3ρ，解得g==πGRρ，可知当行星的半径与地球的半径之比为k、密度相同时，该行星与地球表面的重力加速度大小的比值为k，故A错误，B正确；第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，即G=m，解得v==R，可知当行星的半径与地球的半径之比为k、密度相同时，该行星与地球的第一宇宙速度的比值为k，故C错误，D正确。 13.(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为 (　 ) A.k3 B.k3 C. D. 解析：选D　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G=mr，可得G=m月r1，G=m地r2，由几何关系得==，密度ρ=，联立可得=，故选D。 14.(2025·三明模拟)(双选)某国产手机实现了卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，就可以实现通话。如图所示，赤道上空的三颗通信卫星恰好实现环赤道全球通信，已知三颗卫星离地高度相同，均绕地球做匀速圆周运动，且转动方向与地球自转方向相同。地球的半径为R，地球同步卫星离地球表面的高度为6R，地球表面的重力加速度大小为g，下列说法正确的是 (　 ) A.三颗通信卫星运行的周期相等 B.三颗卫星离地球表面的高度为R C.其中一颗质量为m的通信卫星的动能为 D.卫星运行的周期和地球自转周期之比为∶2 解析：选AB　三颗通信卫星在相同的高度，运行周期一定相等，故A正确；若要三颗通信卫星发射的信号能全面覆盖地球的赤道，则其位置关系如图所示，由几何关系可知，∠AOB=120°，∠AOC=60°，OA为地球半径R，有cos 60°=，解得OC=2R，所以卫星离地球表面的高度为R，故B正确；卫星受到地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，有=，在地球表面有=mg，其动能Ek=mv2==，故C错误；地球的自转周期与地球同步卫星相同，由开普勒第三定律有=，解得=，故D错误。 第2课时　天体运动中的三类典型问题(综合应用课) 　　本课时学习万有引力定律在天体运动中的三类典型问题：卫星(航天器)的变轨及对接问题、卫星或天体的追及相遇问题、双星或多星模型，近年来常以选择题形式在高考中出现。学好本课时有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解。 类型(一)　卫星(航天器)的变轨及对接问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.卫星发射及变轨过程概述 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 (2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。 2.三个运行物理量的大小比较 速度 设卫星在上图圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB 加速度 因为在A点卫星只受到万有引力作用，故不论从上图轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同 周期 设卫星在上图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律=k可知T1<T2<T3 　　[典例]　(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时 (　 ) A.周期约为144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 　　[解析]　冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得=，解得在捕获轨道运行的周期T2=T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 [答案]　B [针对训练] 1.(2023·海南高考，改编)(双选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是 (　 ) A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B.飞船在1轨道的周期大于2轨道的 C.飞船在1轨道的速度小于2轨道的 D.飞船在1轨道的加速度大于2轨道的 解析：选AD　飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动，A正确；根据G=m=mr=ma，可得a=，v=，T=2π，可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故B、C错误，D正确。 2.(2025·宁德模拟)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则 (　 ) A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 解析：选A　在P点变轨前、后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度大小不变，因此合速度变大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，空间站变轨后在近地点的速度最大，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 类型(二)　卫星或天体的追及相遇问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [科学思维] 　　某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上，由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时，就是出现最近或最远的时刻。 1.相距最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA-ωB)t=2nπ(n=1，2，3，…)。 2.相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA-ωB)t'=(2n-1)π(n=1，2，3，…)。 　　[典例]　(2025·福州模拟)(双选)地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。如图所示，火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，地球与火星的质量之比约为10∶1，地球与火星的半径之比约为2∶1，已知半径为R的球的体积V=，取=2.45，根据以上信息结合生活常识可知 (　 ) A.火星与地球的平均密度之比约为5∶4 B.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 C.火星与地球表面的重力加速度大小之比约为2∶5 D.相邻两次“火星冲日”的时间约为801天 [解析]　根据G=mr， T=2π，代入数据可知，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3∶2，故B错误；根据密度ρ=，V=，联立得ρ=，代入数据可知，火星与地球的平均密度之比约为4∶5，故A错误；根据G=m0g，g=，代入数据可知，火星与地球表面的重力加速度大小之比约为2∶5，故C正确；根据火星与地球绕太阳运动的周期之比约为=，地球的公转周期为T地=1年，可得火星的公转周期为 T火≈1.84年，设经过时间t出现下一次“火星冲日”，则有 t=2π，解得t=2.19年，即约为801天。故D正确。 [答案]　CD [针对训练] 1.(2025·漳平模拟)如图所示，某周期为8 h的卫星绕地心做匀速圆周运动，其轨道与赤道不共面。某时刻卫星恰好经过赤道上P点的正上方，则该卫星连续两次经过P点正上方的时间间隔为 (　 ) A.12 h B.24 h C.36 h D.48 h 解析：选A　卫星连续两次经过P点正上方 ，有Δt=2π，且Δt为的整数倍，解得Δt=12 h，故A正确。 2.(2024·南安第三中学模拟)2024年9月8日发生“土星冲日”现象，如图所示，“土星冲日”是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，土星约29.5年绕太阳一周。则 (　 ) A.土星的运行速度比地球的运行速度大 B.根据题目中的数据可知土星表面重力加速度的数值比地球表面的大 C.下一次出现“土星冲日”现象是在2025年 D.在相同时间内，土星—太阳中心连线扫过的面积与地球—太阳中心连线扫过的面积相等 解析：选C　根据万有引力提供向心力有=m，解得v=，土星的公转半径较大，所以土星的运行速度比地球的运行速度小，故A错误；根据星球表面万有引力与重力的关系有=mg，解得g=，题中土星和地球的质量、半径均未知，无法分析重力加速度的大小，故B错误；设每隔Δt时间出现一次土星冲日现象，则有-=1，解得Δt≈1.04年，下一次出现“土星冲日”现象是在2025年，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一个行星在相同的时间内和中心天体的连线扫过的面积相等，故D错误。 类型(三)　双星、三星模型 　　　　　　　　　　　　　　　　 (一)双星模型 情景导图 运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力 解题规律 =m1ω2r1，=m2ω2r2 解题关键 m1r1=m2r2，r1+r2=L 　　[例1]　(2023·福建高考)(双选)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r(r ≪R)，在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是可能用到的近似≈ (　 ) A.ω= B.ω= C.r=R D.r=R [解析]　设O点距离太阳为r1，O点距离地球为r2，根据万有引力提供向心力可知，有G=Mω2r1，G=mω2r2，r1+r2 = R，联立解得ω=，故A错误，B正确；由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，设航天器的质量为m'，则有G+G=m'ω2(r+r2)，再根据以上分析可知Mr1 = mr2，r1+r2 = R，ω=，联立解得r=R，故C错误，D正确。 [答案]　BD 　　[规律方法]　双星模型的“两等”与“两不等” 双星 问题的 “两等” 2 它们的角速度相等。 ②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的 双星 问题的 “两不等” ①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。 ②由m1ω2r1=m2ω2r2知，由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等 　　[针对训练] (双选)在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统，在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，如图甲就是黑洞吞噬恒星的过程，该过程也被称为“潮汐瓦解事件”。如图乙是一个由质量较小的黑洞和质量较大的恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，在黑洞刚开始吞噬恒星的较短时间内，恒星和黑洞的距离保持不变，则在这段时间内，结合图乙判断以下说法正确的是 (　 ) A.两者之间的万有引力变大 B.两者之间的万有引力变小 C.图中m1为黑洞 D.该双星系统的周期不变 解析：选AD　设二者间距为L，二者间的万有引力为F=G，恒星和黑洞的距离L不变，随着黑洞吞噬恒星，m1与m2的乘积变大，两者间的万有引力变大，故A正确，B错误；双星做匀速圆周运动，设r1、r2分别为m1、m2的轨道半径，由万有引力提供向心力得G=m1r1ω2=m2r2ω2，可得m1r1=m2r2，由题图乙知r1<r2，所以m1>m2，即质量小的m2为黑洞，质量大的m1为恒星，故C错误；对双星由G=m1r1=m2r2，解得T=2π，因为双星的质量之和不变，间距不变，所以周期不变，故D正确。 (二)三星模型 情景 导图 运动 特点 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力 特点 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 解题 规律 +=ma向 ×cos 30°×2=ma向 解题 关键 两边星体绕中间星体做半径相同的圆周运动 r= 　　[例2]　(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m≪M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则 (　 ) A.c的线速度大小为a的倍 B.c的向心加速度大小为b的一半 C.c在一个周期内的路程为2πr D.c的角速度大小为 　　[解析]　a、b、c三个天体角速度相同，由于m≪M，则对a天体有G=Mω2r，解得ω=，故D 错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α=mω2，解得α=30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由an=ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。 [答案]　A [规律方法] 多星模型的运行规律 　　被研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力。除中央星体外，各星体的角速度、周期相等，三星和四星系统的存在形式有： [课时跟踪检测] 1.(2025·南平模拟)在“天宫课堂”上，同学们与航天员进行互动交流，航天员给同学们解答了与太空垃圾相关的问题。所谓太空垃圾是指在宇宙空间中的各种人造废弃物及其衍生物。假设在空间站观察到如图所示的太空垃圾P、Q、M、N(P、Q、M、N均无动力运行，轨道空间存在稀薄气体)，假设空间站和这些太空垃圾均绕地球近似做顺时针方向的圆周运动，则最可能对空间站造成损害的是 (　 ) A.P B.Q C.M D.N 解析：选A　太空垃圾无动力运行，由于轨道空间存在稀薄气体，太空垃圾会因气体的阻力作用而减速，从而做近心运动，所以太空垃圾的轨道会逐渐降低，根据G=mr，可得T=，所以太空垃圾P、N的运行周期大于空间站的运行周期，在轨道降低过程中，P最有可能对空间站造成损害，N会在空间站的后方，故A正确。 2.2024年1月18日1时46分，天舟七号与空间站天和核心舱成功对接，在交会对接的最后阶段，天舟七号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟七号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟七号喷射燃气的方向可能正确的是 (　 ) 解析：选A　要想使天舟七号与空间站在同一轨道上对接，则需要使天舟七号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据Fn=m，则必须增加向心力，即喷气时产生的推力有沿轨道向前的分量，还要有指向地心的分量，因为喷气产生的推力与喷气方向相反，故A正确。 3.(2025·福州模拟)如图所示，A、B是围绕地球运转的两颗卫星，其中A卫星的轨道半径为RA，B卫星的轨道半径为RB，经过相同的时间，A卫星与地心O的连线扫过的面积为SA，B卫星与地心O的连线扫过的面积为SB，已知SB∶SA=1∶2，则RB∶RA的值为 (　 ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶8 解析：选C　设卫星的周期为T，t时间内卫星与地心O的连线扫过的面积为S=πR2，根据题意有SB∶SA=π∶π=∶=1∶2，根据万有引力提供向心力可得=mR，可得T=，可得=，联立可得RB∶RA=1∶4，故C正确。 4.(2025·莆田模拟)如图所示，发射一个高轨道人造地球卫星一般需要三步走，第一步在地球表面的A点把卫星发射到圆轨道1上，第二步在B点喷火让卫星在椭圆轨道2上运行，第三步在C点喷火让卫星在圆轨道3上运行，已知轨道1、3的半径分别为R、5R，卫星在轨道1上运行的周期为T，下列说法正确的是 (　 ) A.卫星的发射点A的纬度越高越好 B.卫星在轨道2上运行经过B点时的线速度小于在轨道1上运行经过B点时的线速度 C.卫星从轨道2变轨到轨道3，需要在C点喷火来减小动能 D.卫星在轨道2上运行的周期为3T 解析：选D　卫星的发射方向从西向东，需要借助地球的自转线速度，所以发射点A的纬度越低越好，故A错误；卫星从轨道1变轨到轨道2，需要在B点喷火来增加线速度，所以卫星在轨道2上运行经过B点时的线速度大于在轨道1上运行经过B点时的线速度，故B错误；同理，卫星从轨道2变轨到轨道3，需要在C点喷火来增加线速度实现变轨，即增加动能，故C错误；椭圆轨道2的半长轴为r==3R，由开普勒第三定律可得=，解得T椭=3T，故D正确。 5.依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕二者的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为8M0，M0为太阳的质量；恒星与黑洞的距离约为1.5R0，R0为日地距离；恒星做圆周运动的周期约为0.21T0，T0为地球绕太阳的运动周期。由以上数据可估算这个黑洞的质量约为 (　 ) A.30M0 B.50M0 C.70M0 D.90M0 解析：选C　由万有引力提供向心力，对地球绕太阳做匀速圆周运动G=m地球R0，对恒星G=m恒星R恒星，对黑洞G=M洞R洞，且R恒星+R洞=1.5R0，联立解得M洞≈70M0，故C正确。 6.(2024·龙岩模拟)如图所示，火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动。为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时(地球位于太阳与火星之间，且三者共线)为最佳发射期。若下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过n1年，则地球公转半径的立方和火星公转半径的立方的比值为 (　 ) A. B. C. D. 解析：选B　地球绕太阳的运行周期为T1=1年，设火星绕太阳的运行周期为T2，由开普勒第三定律有=，地球与火星再一次最近至少经过n1年，则有n1-n1=2π，由以上三式解得=。故B正确。 7.(2025·永安模拟)(双选)“嫦娥六号”探测器发射到月球上要经过多次变轨，如图所示为探测器的飞行轨道示意图，在器箭分离后，探测器将经历约112 h的转移飞行，进入高度为200 km的圆形轨道，然后主发动机点火，进入周期为12 h的椭圆环月轨道，两轨道相切于P点，下列说法正确的是 (　 ) A.变轨过程，“嫦娥六号”和月球组成的系统机械能不守恒 B.“嫦娥六号”在椭圆环月轨道上P点的速度大于在200 km的圆形轨道上P点的速度 C.“嫦娥六号”在200 km的圆形轨道上运行的周期大于12小时 D.“嫦娥六号”在200 km的圆形轨道上处于完全失重状态，且不受月球引力作用 解析：选AC　变轨过程，需要向前喷气减速，“嫦娥六号”和月球组成的系统机械能不守恒，故A正确；在200 km的圆形轨道需要减速进入椭圆环月轨道，因此“嫦娥六号”在椭圆环月轨道上P点的速度小于在200 km的圆形轨道上P点的速度，故B错误；根据开普勒第三定律，“嫦娥六号”在200 km 的圆形轨道上运行的周期大于椭圆环月轨道的周期12小时，故C正确；“嫦娥六号”在200 km的圆形轨道上仍受月球引力作用，故D错误。 8.如图所示为北斗三号全球卫星导航系统的55颗卫星绕地球在不同轨道上运动的lg r-lg T图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径，1和2对应其中的两颗卫星。下列说法正确的是 (　 ) A.a0与地球质量有关 B.图像的斜率与地球质量有关 C.卫星2的机械能大于卫星1的机械能 D.卫星2的向心加速度大于卫星1的向心加速度 解析：选A　由万有引力提供向心力可得G=mr，两边同时取对数，整理得lg r=lg T+lg，当lg T=0时，由题图可得lg=a0，故a0与地球质量有关，图线斜率为，与地球质量无关，A正确，B错误；卫星的机械能等于动能与势能之和，由于两颗卫星的质量关系未知，故无法比较两颗卫星的机械能，C错误；由万有引力提供向心力可得G=ma，解得a=G，由lg r1=a1，lg r2=a2可知，卫星2的轨道半径较大，故卫星2的向心加速度较小，D错误。 9.(2025·宁德模拟)在轨运行26年的哈勃太空望远镜，曾拍摄到天狼星A和天狼星B组成的双星系统在轨运行图像，如图所示。它们在彼此间的万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀速圆周运动，已知mA=bmB，且b>1，则下列结论正确的是 (　 ) A.天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反 B.天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在重心连线上 C.天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b∶1 D.天狼星A和天狼星B的线速度大小之比为1∶b 解析：选D　双星系统由彼此之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，二者角速度相同，且绕行方向相同，公共圆心必须在重心连线上，两星才能稳定运行，故A、B错误；双星系统由彼此之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，二者角速度相同，有G=mAω2rA=mBω2rB，则mArA=mBrB，得==，根据an=ω2r，得==，根据v=ωr，得==，故C错误，D正确。 10.(2025·晋江模拟)(双选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是 (　 ) A.太阳的轨道半径为L B.木星的轨道半径为L C.这个“双星系统”运行的周期为2πL D.若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为2πL 解析：选CD　双星是同轴转动模型，其角速度相等，有相同的运行周期，根据万有引力提供向心力，对太阳有=m1R，对木星有=m2r，其中L=R+r，联立解得R=L，r=L，T=2π=2πL·，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则有=m2L，解得T'=2πL，故D正确。 11.(2024·龙岩模拟)一颗国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”，以表彰樊锦诗为中国石窟考古与保护作出了重大贡献。该小行星是中科院紫金山天文台发现的，国际天文学联合会(IAU)批准命名，其绕日运行一周需5.7年。现把“樊锦诗星”及地球绕太阳的运动视为逆时针匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离为R0，若“樊锦诗星”与地球绕行轨道共面且绕行方向相同，图示时刻地球及“樊锦诗星”与太阳连线的夹角为120°，则下列说法正确的是 (　 ) A.“樊锦诗星”的绕行加速度大于地球的绕行加速度 B.“樊锦诗星”到太阳的距离约为R0 C.从图示位置起，地球与“樊锦诗星”下次相距最近的时间约为年 D.“樊锦诗星”的绕行速度大于地球的绕行速度 解析：选B　由万有引力提供向心力G=ma，可得a=，由题图可知“樊锦诗星”的轨道半径大于地球的轨道半径，所以“樊锦诗星”的绕行加速度小于地球的绕行加速度，故A错误；由开普勒第三定律可得=，解得“樊锦诗星”到太阳的距离约为r=R0≈R0，故B正确；设从图示位置起，地球与“樊锦诗星”下次相距最近的时间为t，则t-t=×2π，解得t=年，故C错误；由万有引力提供向心力G=m，可得v=，由题图可知“樊锦诗星”的轨道半径大于地球的轨道半径，所以“樊锦诗星”的绕行速度小于地球的绕行速度，故D错误。 12.(2025·福州高级中学月考)2024年10月30日，神舟十九号载人飞船采用自主快速交会对接模式，经过多次自主变轨，成功对接于核心舱前向端口，对接过程历时约6.5小时。若某载人飞船沿圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，轨道半径为r，空间站沿圆轨道Ⅱ做匀速圆周运动，轨道半径为R，载人飞船和空间站运动方向相同。载人飞船运动到轨道Ⅰ的位置A时，加速变轨到椭圆轨道，此时空间站在轨道Ⅱ的位置B，∠AOB=θ，当载人飞船第一次运动至远地点时恰好与空间站相遇，再次加速变轨实现对接，此过程中，空间站转过的角度小于π。则θ的大小为 (　 ) A.π B.π C.π D.0 解析：选B　根据开普勒第三定律得=，整理得=，载人飞船从近地点第一次到达远地点所用的时间为t=T1=T2，在这段时间，空间站运行的角度为π-θ=ω2t=t=π·，整理得θ=π，故选B。 13.（4分）如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内的两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。则A、B的线速度大小关系为vA vB，B、C的线速度大小关系为vB vC。（均选填“＞”“＜”或“=”） 解析：对卫星B、C，根据G=m得，v=，C的轨道半径大于B的轨道半径，则vB>vC，A、C的角速度相等，根据v=rω得vC>vA，所以vB>vA。 答案：＜ ＞ 15 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$