三角函数求值、图像和性质 讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

全国新高考数学核心考点解读--三角函数求值、图像和性质 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，三角函数求值、图像和性质也是每年必考的绝对主力，有的年份知考1题，有的年份考2题，其中1题为三角函数求值，另一题为三角函数图像或性质，基本都是中档为主，个别难一点的年份考了三角函数含“”问题 ，本考点属于考生要必拿分的考点，具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第10题 第11题 2021年 第4题和第6题 2022年 第6题 第6题 2023年 第8题第和15题 第7题和第16题 2024年 第4题和第7题 第9题和第13题 2025年 第4题 第8题和第15题 （二）．历年真题常考题型 题型一：知值求角或知角求值 题型二：知值求值 题型三：齐次化结合“1”的逆代 题型四：三角函数图像及变换 题型五：三角函数性质 题型六：三角函数含“”问题 （三）备考建议 预计三角函数求值、图像和性质在未来的高考中一定是必考的考点，具体每一年考1题还是2题的区别．出现在解答题的概率相对小于考选择填空的概率，单解答题多年未考，说不定明年或后年考解答题也完全有可能，如果考解答题，应该会出现在解答题前三题为主，属于必拿分的考点．突破本考点的关键首先要把相关公式掌握牢，公式是学好三角函数的基石，会利用公式熟练变形． 二．真题再现 题型一：知值求角或知角求值 例1．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第15题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 题型二：知值求值 例2．（2025年新高考全国Ⅱ卷第8题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 例3．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第4题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 例4．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学13题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 例5．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第8题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 例6．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第7题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 例7．（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第6题）若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 题型三：齐次化结合“1”的逆代 例8．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 题型四：三角函数图像及变换 例9．（2024年新高考全国Ⅰ卷第7题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 例10．（多选）（2020年新高考全国Ⅰ卷第10题、Ⅱ第11题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 例11．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第16题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 题型五：三角函数性质 例12．（2024年新高考全国Ⅱ卷第9题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC 例13．(2021年新高考全国Ⅰ卷4题)下列区间中，函数单调递增的区间是 (　　) A． B． C． D． 解析:因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件,故选A． 例14．(2025年新高考全国Ⅰ卷4题)若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：C 题型六：三角函数含“”问题 例15．(2022新高考全国I卷第6题)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则 (　　) A．1 B． C． D．3 解析: 由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以． 故选：A 例16．(2023年新高考全国Ⅰ卷第15题)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：． 3． 专项训练 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 5．(2021年高考全国甲卷)若，则 (　　) A． B． C． D． 【解析】 ， ，，，解得， ，故选：A． 6．(2020年高考课标Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 【解析】，， 令，则，整理得，解得，即．故选：D． 7．（2024·全国·高考甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，所以，故选：B. 8．(2021高考北京·)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 【解析】与关于轴对称，即关于轴对称， ，则，当时，可取的一个值为． 故答案为：(满足即可)． 9．(2023年北京卷)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【解析】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则． 不妨取，即满足题意．故答案为：． 10．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以.故选：B. 11．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【详解】，由得， 即，当时，， 画出图象，如下图， 由图可知，在上递减， 所以，当时， 故选：A 12．(2023年全国乙卷)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则 (　　) A． B． C． D． 【解析】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则，故选：D． 14．(2023年全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为．故选：C． 15．(2022高考北京卷·)已知函数，则 (　　) A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 解析:因为． 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．故选,C． 16．(2021高考北京·)函数是 (　　) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【解析】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值． 故选：D． 17．（2024·全国·高考甲卷）函数在上的最大值是 ． 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 18．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 19．(2021年高考全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 【解析】由图可知，即，所以； 由五点法可得，即；所以． 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整数为2． 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．故答案为：2． 20．(2020年高考课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=有如下四个命题： ①f(x)的图像关于y轴对称． ②f(x)的图像关于原点对称． ③f(x)的图像关于直线x=对称． ④f(x)的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【解析】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误．故答案为：②③． 21．(2022年高考全国甲卷数学)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，图象如下所示： 则，解得，即．故选：C． 22．(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是 (　　)． A． B． C． D． 【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ，则．故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读--三角函数求值、图像和性质 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，三角函数求值、图像和性质也是每年必考的绝对主力，有的年份知考1题，有的年份考2题，其中1题为三角函数求值，另一题为三角函数图像或性质，基本都是中档为主，个别难一点的年份考了三角函数含“”问题 ，本考点属于考生要必拿分的考点，具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第10题 第11题 2021年 第4题和第6题 2022年 第6题 第6题 2023年 第8题第和15题 第7题和第16题 2024年 第4题和第7题 第9题和第13题 2025年 第4题 第8题和第15题 （二）．历年真题常考题型 题型一：知值求角或知角求值 题型二：知值求值 题型三：齐次化结合“1”的逆代 题型四：三角函数图像及变换 题型五：三角函数性质 题型六：三角函数含“”问题 （三）备考建议 预计三角函数求值、图像和性质在未来的高考中一定是必考的考点，具体每一年考1题还是2题的区别．出现在解答题的概率相对小于考选择填空的概率，单解答题多年未考，说不定明年或后年考解答题也完全有可能，如果考解答题，应该会出现在解答题前三题为主，属于必拿分的考点．突破本考点的关键首先要把相关公式掌握牢，公式是学好三角函数的基石，会利用公式熟练变形． 二．真题再现 题型一：知值求角或知角求值 例1．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第15题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 题型二：知值求值 例2．（2025年新高考全国Ⅱ卷第8题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第4题）已知，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学13题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 例5．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第8题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 例6．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第7题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 例7．（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第6题）若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：齐次化结合“1”的逆代 例8．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角函数图像及变换 例9．（2024年新高考全国Ⅰ卷第7题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 例10．（多选）（2020年新高考全国Ⅰ卷第10题、Ⅱ第11题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 例11．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第16题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    题型五：三角函数性质 例12．（2024年新高考全国Ⅱ卷第9题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 例13．(2021年新高考全国Ⅰ卷4题)下列区间中，函数单调递增的区间是 (　　) A． B． C． D． 例14．(2025年新高考全国Ⅰ卷4题)若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六：三角函数含“”问题 例15．(2022新高考全国I卷第6题)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则 (　　) A．1 B． C． D．3 例16．(2023年新高考全国Ⅰ卷第15题)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 3． 专项训练 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 5．(2021年高考全国甲卷)若，则 (　　) A． B． C． D． 6．(2020年高考课标Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 7．（2024·全国·高考甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．(2021高考北京·)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 9．(2023年北京卷)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 10．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 12．(2023年全国乙卷)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则 (　　) A． B． C． D． 14．(2023年全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 15．(2022高考北京卷·)已知函数，则 (　　) A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 16．(2021高考北京·)函数是 (　　) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 17．（2024·全国·高考甲卷）函数在上的最大值是 ． 18．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 19．(2021年高考全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 20．(2020年高考课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=有如下四个命题： ①f(x)的图像关于y轴对称． ②f(x)的图像关于原点对称． ③f(x)的图像关于直线x=对称． ④f(x)的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 21．(2022年高考全国甲卷数学)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 22．(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是 (　　)． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$