课时跟踪检测（二十七）两角和与差的正弦、余弦和正切公式（练习）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

课时跟踪检测（二十七） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.若sin α=，则cos 2α= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选B　∵sin α=， ∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×=. 2.sin 110°cos 40°-cos 70°sin 40°= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选A　sin 110°cos 40°-cos 70°sin 40°=sin 70°cos 40°-cos 70°sin 40°=sin(70°-40°)=sin 30°=. 3.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htan θ.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且tan=，则第二次“晷影长”是“表高”的 (　　) A.倍 B.1倍 C.倍 D.倍 解析:选A　由题意可得tan α=2.5=，tan(α-β)=，所以tan β=tan===，即第二次的“晷影长”是“表高”的倍. 4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选B　因为所以sin αcos β=，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=，所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=，故选B. 5.已知sin=，α∈，则cos α= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由α∈，得α+∈，则cos=-=-，cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=，故选A. 6.已知α∈，cos2=，则sin= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由已知可得cos=2cos2-1=2×-1=，∵α∈，∴α+∈，∴sin=，∴sin=sin=sin·cos -cos·sin=. 7.已知函数f(x)=-4sin x+3cos x在x0处取到最大值，则sin的值为 (　　) A.-- B.- C.-+ D.+ 解析:选A　因为f(x)=-4sin x+3cos x=-5=-5sin，其中sin φ=，cos φ=，又f(x)在x0处取到最大值，所以x0-φ=-+2kπ(k∈Z)，即x0=φ-+2kπ(k∈Z)，则sin x0=-cos φ=-，cos x0=sin φ=，所以sin=sin x0-cos x0=--. 8.若sin=3sin，则tan= (　　) A.5-6 B.5+6 C. D. 解析:选D　因为sin=3sin，所以sin=3sin，所以cos=3sin，所以tan==，所以tan=tan===. 9.[多选]已知α，β，γ∈，sin β+sin γ=sin α，cos α+cos γ=cos β，则下列说法正确的是 (　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)= C.β-α= D.β-α=- 解析:选BD　由已知可得 所以1=sin2γ+cos2γ=(sin α-sin β)2+(cos β-cos α)2=2-2(cos βcos α+sin βsin α)=2-2cos(β-α)，所以cos(β-α)=.因为α，β，γ∈，则-<β-α<，因为sin γ=sin α-sin β>0，函数y=sin x在上单调递增，则α>β，则-<β-α<0，故β-α=-. 10.(2025·湛江一模)=　　　　.  解析:由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得===-. 答案:- 11.(2025·哈尔滨模拟)随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适.“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4∶3，设∠CAB=α，则-tan α=　　　　.  解析:由题意得BC=3×，AB=4×，所以tan α==. 所以-tan α=-tan α=-tan α=-=-=. 答案: 12.已知α，β∈，α>β，且cos α(cos α-cos β)+sin α=，sin αcos β=，则sin(α+β)=　　　　　.  解析:因为cos α+sin α(sin α-sin β)=，cos2α-cos αcos β+sin2α-sin αsin β=，即1-cos(α-β)=，所以cos=.因为α，β∈，α>β，所以0<α-β<，所以sin(α-β)=，即sin αcos β-cos αsin β=.又sin αcos β=，所以cos αsin β=，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=. 答案: 13.已知α，β均为锐角，且sin α=，tan(α-β)=-. (1)求sin(α-β)的值； (2)求cos β的值. 解:(1)∵α，β∈，∴-<α-β<. 又∵tan(α-β)=-<0， ∴-<α-β<0.∴sin(α-β)=-. (2)由(1)可得，cos(α-β)=. ∵α为锐角，且sin α=，∴cos α=. ∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+× =. 14.已知函数f(x)=2cos，x∈R. (1)求f(π)的值； (2)若f=，α∈，求f(2α)的值. 解:(1)f(π)=2cos=-2cos=-2×=-. (2)因为f=2cos=-2sin α=， 所以sin α=-.又α∈， 所以cos α===， 所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-， cos 2α=2cos2α-1=2×-1=. 所以f(2α)=2cos=2cos 2αcos+2sin 2αsin=2××+2××=. 15.已知0<β<<α<，cos=，sin=. (1)求cos α的值； (2)求sin(α-β)的值. 解:(1)因为<α<，所以-<-α<0.又cos=， 则sin=-=-， 所以cos α=cos=cos cos+sin sin=×+×=-. (2)因为0<β<，所以0<-β<. 又sin=， 则cos==， 所以sin(α-β)=sin =sincos-cossin =×-×=. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$