课时跟踪检测（二十二）利用导数研究不等式恒成立问题（练习）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

课时跟踪检测（二十二） 利用导数研究不等式恒成立问题 1.已知f(x)=2xln x，g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数f(x)的最小值； (2)若存在x∈(0，+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围. 解：(1)依题意，f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)=2(ln x+1)， 所以当0<x<时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 所以当x=时，f(x)取得最小值f=2··ln=-. (2)因为存在x∈(0，+∞)，使f(x)≤g(x)成立， 即2xln x≤-x2+ax-3能成立，即a≥2ln x+x+能成立，令h(x)=2ln x+x+(x>0)，则h'(x)=+1-=， 所以当x∈(0，1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以当x=1时，h(x)取得最小值h(1)=4，所以a≥4. 故实数a的取值范围为[4，+∞). 2.(2024·全国甲卷)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x. (1)当a=-2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 解：(1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，x∈(-1，+∞)，f'(x)=2ln(1+x)+-1=2ln(1+x)-+1. 易知f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，且f'(0)=0， 所以当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 所以当x=0时，f(x)取得极小值，为f(0)=0，f(x)无极大值. (2)由f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x，x∈(-1，+∞)， 得f'(x)=-aln(1+x)-. 设g(x)=-aln(1+x)-， 则g'(x)=--. 因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)=0，f'(0)=0， 所以g'(0)=-2a-1≥0，得a≤-， 故a≤-是原不等式成立的一个必要条件. 下面证明其充分性： 当a≤-，x≥0时，g'(x)≥-=≥0， 所以f'(x)在[0，+∞)上单调递增，且f'(x)≥f'(0)=0， 所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)=0.综上，a的取值范围是. 3.(2025·莆田模拟)设a为实数，函数f(x)=x3-3x2+a，g(x)=xln x. (1)求f(x)的极值； (2)对于∀x1∈[1，3]，∀x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，试求实数a的取值范围. 解：(1)函数f(x)=x3-3x2+a的定义域为R，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)， 令f'(x)=0，可得x=0或x=2，列表如下： x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 故函数f(x)的极大值为f(0)=a，极小值为f(2)=a-4. (2)对于∀x1∈[1，3]，∀x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，则f(x1)min≥g(x2)max. 由(1)可知，函数f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 故当x∈[1，3]时，f(x)min=f(2)=a-4. 因为g(x)=xln x，且x∈， 则g'(x)=1+ln x≥0且g'(x)不恒为零， 故函数g(x)在上单调递增， 故g(x)max=g(e)=e，由题意可得a-4≥e，故a≥e+4.故实数a的取值范围为[e+4，+∞). 4.设函数f(x)=ex-ax，a∈R，g(x)=. (1)讨论g(x)在区间(0，π)上的单调性； (2)若f(2x)≥g(x)在x∈[0，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 解：(1)由题意得g'(x)=，x∈(0，π). 由g'(x)<0，得x∈，由g'(x)>0，得x∈， 即g(x)在上单调递减，在上单调递增. (2)由x≥0时，f(2x)≥g(x)，得e2x-2ax≥，即+e2x-2ax≥0. 设h(x)=+e2x-2ax，x≥0， 则h'(x)=+2e2x-2a， 设φ(x)=h'(x)，则φ'(x)=+4e2x=，当x∈[0，+∞)时，4e3x≥4，2sin≤2，所以φ'(x)>0，所以φ(x)即h'(x)在[0，+∞)上单调递增，则h'(x)≥h'(0)=4-2a. ①当a≤2时，则h'(x)≥h'(0)=4-2a≥0， 且h'(x)不恒为0. 所以h(x)在[0，+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(0)=0恒成立，符合题意. ②当a>2时，则h'(0)=4-2a<0，且x→+∞时，h'(x)→+∞，则必存在正实数x0满足当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，h(x)在(0，x0)上单调递减， 此时h(x0)<h(0)=0，不符合题意. 综上，a的取值范围是(-∞，2]. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$