课时跟踪检测（二十八）简单的三角恒等变换（练习）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

课时跟踪检测（二十八） 简单的三角恒等变换 1.已知sin 2α=，则cos2= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为sin 2α=，所以cos2====，故选D. 2.已知sin=，则sin 2θ的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选B　由sin=，得sin=sin θcos -cos θsin =(sin θ-cos θ)=，即sin θ-cos θ=，等式两边同时平方，得1-sin 2θ=，所以sin 2θ=-. 3.式子化简的结果为 (　　) A. B.1 C.2sin 9° D.2 解析:选B　原式= ====1. 4.已知α是钝角，且sin-cos=，则tan α= (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选D　因为sin-cos=，等式两边平方可得=sin2+cos2-2sincos=1-sin α=，所以sin α=.又因为α是钝角，则cos α=-=-=-，因此，tan α==×=-.故选D. 5.(2025·宜春模拟)已知α∈，tan=tan，则= (　　) A.6+4 B.6-4 C.17+12 D.17-12 解析:选A　因为α∈，tan=tan，所以=×，tan α<-1，解得tan α=-3-2或tan α=-3+2(舍去)，则==(tan2α-2tan α+1)=(tan α-1)2=(-3-2-1)2=6+4.故选A. 6.设0<θ<，若+cos 2θ=3，则θ= (　　) A.- B. C. D. 解析:选B　由题意+cos 2θ=3，则1+2sin θcos θ+cos 2θ=3，即sin 2θ+cos 2θ=2，故2sin=2，即sin=1，由于0<θ<，所以2θ+∈，则2θ+=，即θ=，故选B. 7.[多选]已知<α<，-<β<0，且sin α+sin β=(cos α+cos β)，则下列结论可能正确的是 (　　) A.cos(α-β)=-1 B.sin(α-β)=0 C.cos(α+β)=- D.sin(α+β)=- 解析:选ABC　∵sin α+sin β=(cos α+cos β)，∴sin α-cos α+sin β-cos β=0， ∴2sin+2sin=0， ∴2sin=-2sin=2sin. 又<α<，-<β<0，则<α-<，-<β-<-，∴<-β<. 当α-=-β，即α+β=时，cos=-，sin=，C正确，D不正确；当α-+-β=π，即α-β=π时，cos(α-β)=-1，sin=0，sin=sin=-sin 2β，-π<2β<0，sin=-sin 2β>0，A、B正确，D不正确. 8.已知tan β=，tan=，若β∈，则β= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为tan α=tan(α+β-β)=，又因为tan β=，tan=， 所以tan α==，所以tan α==.因为sin2α+cos2α=1，所以tan α=0，所以α=kπ，k∈Z，所以当k为奇数时，cos α=-1，sin α=0，当k为偶数时，cos α=1，sin α=0.因为tan β=，所以tan β=±1.因为β∈，所以β=. 9.=　　　　　.  解析:= ===. 答案: 10.(2025·河南联考)写出使等式+=2成立的一个α的值　　　　.  解析:由+ = ==2， 得sin=sin， 所以+=(2k+1)π(k∈Z)， 解得α=kπ+(k∈Z)， 当k=0时，α=，所以可取α=(答案不唯一). 答案:(答案不唯一) 11.(2024·淄博二模)设β∈，若sin α=3sin(α+2β)，tan β=，则tan(α+2β)=　　　　.  解析:由sin α=3sin(α+2β)，得sin [(α+2β)-2β]=3sin(α+2β)，则sin(α+2β)cos 2β-cos(α+2β)sin 2β=3sin(α+2β)，即sin(α+2β)(cos 2β-3)=cos(α+2β)sin 2β，因此tan(α+2β)====-，而tan β=，所以tan(α+2β)=-=-. 答案:- 12.如图所示，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(，-1)，∠AOC=α，若|BC|=，则cos2-sin cos-的值为　　　　　.  解析:∵点B的坐标为，则==.设∠AOB=θ，∠BOC=β，则θ，β∈，∴sin==-， sin θ=.∵∠AOC=α，=，|OB|=|OC|=，∴θ+α=，则α=-θ，cos2-sin cos-=-·2sin cos =cos α-sin α=sin=sin=sin θ=. 答案: 13.(2025·青岛模拟)由倍角公式cos 2x=2cos2x-1，可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式.对于cos 3x，我们有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin xcos xsin x=2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x.可见cos 3x可以表示为cos x的三次多项式. 一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cos nx=Pn(cos x)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式. (1)请尝试求出P4(t)，即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x； (2)利用结论cos 3x=4cos3x-3cos x，求出sin 18°的值. 解:(1)cos 4x=cos(2×2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1=8cos4x-8cos2x+1. (2)∵sin 36°=cos 54°， ∴2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°， ∴2sin 18°=4cos218°-3，∴4sin218°+2sin 18°-1=0， ∴sin 18°=或sin 18°=(舍去). ∴sin 18°的值为. 14.已知函数f(x)=sinsin x-. (1)若α∈(0，π)，f=，求α的值. (2)若β∈，f(β)=-，求cos的值. 解:(1)f(x)=sinsin x- =sin x- =sin2x+sin xcos x- =sin 2x-cos 2x ==sin. ∵f=，∴sin=，又α∈(0，π)，则-<α-<，∴α-=，α=. (2)∵f(β)=-，可得sin=-， 又2β-=-， ∴sin=-， 解得cos=， 又cos=2cos2-1， 化简得cos2=， 又β∈，∴β+∈， ∴cos=-. 15.已知cos α=，tan β=，其中α，β∈. (1)求α+β的值； (2)设函数f(x)=coscos+sinsin，当x0∈且f=时，求f的值. 解:(1)由题意可知cos α=⇒sin α==，tan β==， 又sin2β+cos2β=1，β∈，所以sin β=，cos β=，所以cos=cos αcos β-sin αsin β=×-×=，因为α，β∈⇒0<α+β<π，所以α+β=. (2)由(1)可知f(x)=coscos+sinsin=cos=cos 2x，易知f=cos=， 又x0∈⇒2x0∈，2x0+∈，所以sin==，故f=cos 2x0=cos=cos+sin=×+×=. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$