课时跟踪检测（四）基本不等式（练习）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

课时跟踪检测（四） 基本不等式 1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是 (　　) A.a+b≥2 B.+≥2 C.≥2 D.a2+b2>2ab 解析：选C　因为和同号，所以=+≥2=2. 2.已知正数a，b满足a2+b2=13，则a的最大值为 (　　) A.6 B.8 C.4 D.11 解析：选B　∵a2+b2=13，∴a≤=8，当且仅当a=时等号成立. 3.已知命题p：∀x∈R，ex+e-x≥2，命题q：∃x∈(0，10)， >5，则 (　　) A.命题p与q均为真命题 B.命题p与􀱑q均为真命题 C.命题􀱑p与q均为真命题 D.命题􀱑p与􀱑q均为真命题 解析：选B　因为ex>0，所以ex+e-x≥2=2，当且仅当x=0时取等号，所以命题p为真命题，则􀱑p为假命题.因为≤=5，当且仅当x=5时取等号，所以命题q为假命题，则􀱑q为真命题. 4.若对x>0，y>0，有(x+2y)·≥m恒成立，则m的取值范围是 (　　) A.(-∞，4] B.(4，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，8] 解析：选D　因为x>0，y>0，所以(x+2y)·=2+++2≥4+2=8，当且仅当2y=x时取等号，所以m≤8，故选D. 5.(2024·北京通州三模)已知a>0，b>0，则“a2+b2>2”是“a+b>2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　不妨设a=1.5，b=0.4，此时满足a2+b2=2.25+0.16>2，但不满足a+b>2，充分性不成立.a+b>2两边平方得a2+2ab+b2>4，由基本不等式得2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时，等号成立，故a2+b2>4-2ab≥4-(a2+b2)，解得a2+b2>2，必要性成立，故“a2+b2>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.故选B. 6.设x>0，则函数y=-的最小值为 (　　) A.0 B. C.-1 D. 解析：选C　设2x+1=t，t>1，则x=，y=-=-=+-3≥2-3=-1，当且仅当=，即t=2，x=时等号成立.故选C. 7.[多选]已知a>0，b>0，且a+b=ab，则 (　　) A.(a-1)(b-1)=1 　B.ab的最大值为4 C.a+4b的最小值为9 　D.+的最小值为 解析：选ACD　由a+b=ab，得a(b-1)-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，故A正确；ab=a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，解得ab≥4，故B错误；由a+b=ab变形可得+=1，所以a+4b=(a+4b)=5++≥5+2=9，当且仅当a=2b且a+b=ab，即a=3，b=时取等号，故C正确；由a+b=ab，得a=，b>1，所以+=+=-+1=3+，因为<1，所以=，即b=3，a=时，+取最小值，故D正确.故选ACD. 8.已知x，y为正实数，则+的最小值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.8 解析：选C　由题得+=+，设=t(t>0)，则f(t)=t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6，当且仅当t=2，即y=2x时取等号.所以+的最小值为6.故选C. 9.设函数f(x)=4x-2x，若∃x∈(-∞，3]，使得f(x)<m·2x-3成立，则实数m的取值范围为 (　　) A.(2-1，3) B.(2-1，4) C.(，+∞) D.(2-1，+∞) 解析：选D　因为f(x)<m·2x-3可化为m>2x+3·-1，所以原问题等价于∃x∈(-∞，3]，使得m>2x+3·2-x-1成立，则当x∈(-∞，3]时，m>(2x+3·2-x-1)min.设h(x)=2x+3·2-x-1，x∈(-∞，3]，令t=2x，则t∈(0，8]，设p(t)=t+-1，t∈(0，8]，则p(t)≥2-1，当且仅当t=时取等号，所以当2x=时，h(x)取得最小值2-1.故m的取值范围是(2-1，+∞). 10.(2022·新课标Ⅱ卷)[多选]若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析：选BC　对于A、B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-1=3xy≤3，解得-2≤x+y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D，由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤，当且仅当x=y时取等号，所以x2+y2≤2，所以C正确，D不正确.故选BC. 11.若a>0，b>0，lg a+lg b=lg，则2ab的最小值为　　　　　.  解析：∵lg a+lg b=lg ab=lg(a+b)，∴ab=a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab≥4，从而2ab≥8，即2ab的最小值是8. 答案：8 12.若a，b∈(0，+∞)，a+b= b，则b的最小值为　　　　.  解析：因为a，b∈(0，+∞)，所以a+b≥2=2(，当且仅当a=b，即a=时等号成立.因为a+b=b，所以b≥2(，所以b≥16，当且仅当a=4时，b的最小值为16. 答案：16 13.已知x，y均为正数，x+2y=a，若xy的最大值为b，且1≤b≤2，则满足条件的一个实数a的值为　　　　　.  解析：因为x+2y=a≥2，所以xy≤，所以1≤b=≤2，所以8≤a2≤16.又易知a>0，所以2≤a≤4. 答案：4(答案不唯一) 14.已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求： (1)xy的最大值； (2)2x+y的最小值. 解：(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，令=t(t>0)，则t2+2t-30≤0，解得-5≤t≤3，又t>0，所以0<t≤3，即0<≤3，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，0<x<30，2x+y=2x+=2(x+2)+-5≥2-5=11，当且仅当2(x+2)=，即x=2时取等号，所以2x+y≥11，所以2x+y的最小值为11. 15.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=8-(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍. (1)计算k的值为多少，并将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少? 解：(1)依题意，当m=0时，x=8-k=4，得k=4，则x=8->0，所以y=×1.5x-(24+18x)-m=12+9x-m=12+72--m=84--m，其中m≥0，所以k=4，y=84--m(m≥0). (2)y=85-≤85-2=73，当且仅当m=5时取等号，所以该厂家2025年的促销费用投入5万元时，厂家的利润最大，最大利润为73万元. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$