课时跟踪检测（七十三）事件的相互独立性、条件概率、全概率公式（练习）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

课时跟踪检测（七十三） 事件的相互独立性、条件概率、全概率公式 1.(2025·廊坊模拟)若P(AB)=，P()=，P(B)=，则事件A与B的关系是 (　　) A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.既互斥又相互独立 解析：选C　∵P(A)=1-P()=1-=， ∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥，故不对立.故选C. 2.甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件B：甲和乙恰有一人选择①，则P(B|A)等于 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意知，n(A)==20，n(AB)==8，所以P(B|A)===. 3.某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是 (　　) A.0.819 2 B.0.972 8 C.0.974 4 D.0.998 4 解析：选B　4个都不能正常照明的概率为(1-0.8)4=0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1-0.8)3=0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1-0.001 6-0.025 6=0.972 8. 4.(2025·镇江模拟)[多选]对于随机事件A，B，若P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，则 (　　) A.P(AB)= B.P(A|B)= C.P(A∪B)= D.P(B)= 解析：选BCD　因为P(B|A)=⇒P(AB)=P(A)P(B|A)=×=，故A错误； 由P(A|B)===，故B正确； 因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=，故C正确；P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)⇒=×+·P(B|)， 所以P(B|)=.所以P(B)=P()·P(B|)=×=，故D正确. 5.(2025·哈尔滨模拟)第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募.现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　记“甲被安排到冰壶项目”为事件A，“乙被安排到短道速滑项目”为事件B，甲被安排到冰壶项目分为两类，甲一人被安排到冰壶项目的方法数为，两人被安排到冰壶项目的方法数为，所以P(A)===.甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的方法数为1+=5，所以P(AB)=，所以P(B|A)===. 6.(2025·广州模拟)有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤n<m-1)个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方(知道盲盒内部是否有奖品)打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为p1；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为p2，则对任意符合题意的m，n，都有 (　　) A.p1<p2 B.p1=p2 C.p1>p2 D.无法确定p1与p2的大小关系 解析：选C　设事件A为“最终中奖”，事件B为“一开始选中的有奖”，则P(B)=，在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余m-2个盲盒中有n-1个奖品，更换后P(A|B)=，若一开始选中的无奖，则剩余m-2个盲盒中有n个奖品，则更换后P(A|)=，故p1=P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.由于风吹掉为随机事件，故所有m-1个盲盒中有n个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，p2=，因此==1+>1，故p1>p2. 7.(2025·南京模拟)如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格.如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 (　　) 0 1 2 3 A. B. C. D. 解析：选D　设事件“第i(i∈N*)次划拳甲赢”为Ai，事件“第i(i∈N*)次划拳平局”为Bi，事件“第i(i∈N*)次划拳甲输”为Ci，则P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为P=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=2×××+2×××+××+2×××+2×××+2×××+2×××=. 8.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则 (　　) A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 解析：选D　设棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3， P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3，P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0，P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0，所以P丙最大，故选D. 9.已知P(B)=，P(B|A)=，P(B|)=，则P(A)=　　　　.  解析：由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)，得=P(A)×+(1-P(A))×，解得P(A)=. 答案： 10.(2025·南京模拟)甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为　　　　.  解析：记事件A为“乙命中目标”，事件B为“目标至少被命中1次”，则P(B)=1-(1-0.6)×(1-0.5)=0.8，P(AB)=0.5×(1-0.6)+0.6×0.5=0.5，P(A|B)===0.625. 答案：0.625 11.(2025·武威模拟)某校高三(1)班和(2)班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人.现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三(1)班的概率是　　　　.  解析：法一　因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三(1)班和(2)班，设A=“抽到的学生来自高三(1)班”，B=“抽到的学生来自高三(2)班”，C=“抽到的是参加数学兴趣社团的学生”，则P(A)=，P(B)=，P(C|A)==，P(C|B)==，由全概率公式得P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=，所以P(A|C)====. 法二　由题得参加数学兴趣社团的学生共有10+8=18人，由古典概型的概率公式，则他来自高三(1)班的概率为=. 答案： 12.(2025·桂林模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒中有8个球的概率是　　　　　.  解析：若两次取球后，A盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜， 第一次取球甲、乙都取到黑球，其概率为×=， 第一次取球后A盒中有4个黑球和3个白球，B盒中有2个黑球和2个白球， 第二次取到同色球的概率为×+×=， 此时A盒中有8个球的概率为×=； 若第一次取球甲、乙都取到白球，其概率为×=， 第一次取球后A盒中有3个黑球和4个白球，B盒中有3个黑球和1个白球， 第二次取到同色球的概率为×+×=， 此时A盒中有8个球的概率为×=. 所以A盒中有8个球的概率为+=. 答案： 13.(2025·武汉模拟)某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋、中锋、后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7. (1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率； (2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率； (3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员? 解：(1)设A1表示“甲球员出任前锋”，A2表示“甲球员出任中锋”，A3表示“甲球员出任后卫”，则Ω=A1∪A2∪A3，设B表示“球队输掉某场比赛”， 则P(A1)=0.1，P(A2)=0.5，P(A3)=0.4， P(B|A1)=P(B|A2)=0.2，P(B|A3)=0.7， 所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) =P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3) =0.1×0.2+0.5×0.2+0.4×0.7=0.4. 所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4. (2)由(1)知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率 P(A2|B)====0.25. (3)由(1)知，已知球队输了某场比赛的条件下， 甲球员在这场出任前锋的概率P(A1|B)===0.05； 甲球员在这场出任后卫的概率P(A3|B)===0.7； 由(2)知，甲球员在这一场出任中锋的概率P(A2|B)=0.25. 所以有P(A1|B)<P(A2|B)<P(A3|B)， 所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球概率. 14.某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为p，答对第二道题的概率为1-p；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设p=. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 解：(1)①设“甲答对一道题”为事件A1，则P(A1)=×+×=， 则甲答对一道题的概率为. ②设“甲答对两道题”为事件A2，“乙答对一道题”为事件B1，“乙答对两道题”为事件B2，“甲、乙一共答对三道题”为事件C，则P(A2)=×=， P(B1)=×+×=，P(B2)=×=，P(C)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=，故甲、乙一共答对三道题的概率为. (2)由题知P(A1)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1，P(A2)=p(1-p)=p-p2， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件D，则P(D)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=(2p2-2p+1)×+(p-p2)×=p2-p+=+， 当p=时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$