第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（教师用书）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 课标要求 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合. 2.理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义. 3.理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集. 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 2.集合的基本关系 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A) 相等 若A⊆B，且B⊆A，则A=B 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 4.集合的运算性质 并集的 运算性质 A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪∅=∅∪A=A；A∪B=A⇔B⊆A 交集的 运算性质 A∩B=B∩A；A∩A=A；A∩∅=∅∩A=∅；A∩B=A⇔A⊆B 补集的 运算性质 A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅；∁U(∁UA)=A；∁U(A∪B)=( ∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)=( ∁UA)∪(∁UB) [细作教材小题] 1.(人A必修①P9·T1(2)改编)[多选]若集合A={x|x2-1=0}，则 (　　) A.1∈A B.{-1}⫋A C.∅∈A D.{-1，1}⫋A 答案：AB 2.(人A必修①P13·例5改编)设全集U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则(∁UA)∩(∁UB)= (　　) A.{1，2} B.{3，4} C.{5，6} D.{7，8} 答案：D 3.(北师大必修①P7·例4改编)已知集合A={0，1，2}，则集合A真子集的个数为 (　　) A.3 B.4 C.8 D.7 答案：D 4.(人A必修①P10·例2改编)已知集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<a}，若A∩B={x|1<x<2}，则实数a的取值范围为　　　　.  解析：在数轴上画出两个集合可得实数a的取值范围为{a|a≥2}. 答案：{a|a≥2} 5.(北师大必修①P12·T10改编)已知集合A={1，3，n}，B={n2，1}，且A∪B=A，则实数n的值为　　　.  解析：由题意，n2=3或n2=n，当n2=3时，n=±，当n2=n时，n=0或n=1，当n=1时，不满足集合元素的互异性，故n=0或n=±. 答案：0，，- 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　集合的概念与表示 [例1]　(2025·合肥质检)定义：当x∈Z，y∈Z时，P(x，y)成为“格点”，则集合{(x，y)|x2+y2≤2}对应的图形的格点有 (　　) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 解析：选C　由x∈Z，y∈Z，x2+y2≤2，得y2≤2-x2，所以2-x2≥0，得-≤x≤ ，所以x的值为-1，0，1.当x=-1时，y的值为-1，0，1；当x=0时，y的值为-1，0，1；当x=1时，y的值为-1，0，1，所以满足条件的格点有9个. [例2]　已知a，b∈R，若={a2，a+b，0}，则a2 026+b2 026=　　　　.  解析：由已知得a≠0，则=0，所以b=0，于是a2=1，即a=1或a=-1，又由集合中元素的互异性知a=1应舍去，故a=-1，所以a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1. 答案：1 |点拨·建模|　解决集合含义问题的关键 (1)确定构成集合的元素； (2)确定元素的限制条件； (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 逐点清(二)　集合间的基本关系 [例3]　(集合间关系的判断)[多选]已知I为全集，若A∪B=A，则 (　　) A.A⊆B B.B⊆A C.(∁IA)⊆(∁IB) D.(∁IB)⊆(∁IA) 解析：选BC　因为A∪B=A，所以B⊆A，所以(∁IA)⊆(∁IB).故选BC. [例4]　(子集、真子集)满足条件{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有 (　　) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 解析：选C　∵{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}，∴A={1，2，3，4}或{1，2，3}或{2，3，4}或{2，3}，共4个. [例5]　(由集合间的关系求参数的值或范围)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 解析：选B　依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A⊆B；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A⊆B.所以a=1. |点拨·建模|　与集合间关系有关问题的解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数进行分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒：不能忽略任何非空集合是它自身的子集，空集是非空集合的真子集，即若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n-1个真子集. (3)根据集合的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系. 逐点清(三)　集合的运算 题点1　集合的交、并、补运算 [例6]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B= (　　) A.{-1，0} B.{2，3} C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2} 解析：选A　因为A={x|-5<x3<5}={x|-<x<}，B={-3，-1，0，2，3}，且注意到1<<2，所以A∩B={-1，0}.故选A. [例7]　(2023·全国甲卷)设集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)= (　　) A.{x|x=3k，k∈Z} B.{x|x=3k-1，k∈Z} C.{x|x=3k-2，k∈Z} D.∅ 解析：选A　因为整数集Z={x|x=3k，k∈Z}∪{x|x=3k+1，k∈Z}∪{x|x=3k+2，k∈Z}，U=Z，所以∁U(A∪B)={x|x=3k，k∈Z}.故选A. |个性点拨|　解决集合运算问题的3个技巧 看元素 构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合 化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用 数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解 题点2　利用集合的运算求参数 [例8]　(多选)已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}，若A∩B=∅，则a的可能取值为 (　　) A.3 B.2 C.-1 D.1 解析：选BD　由题意，集合A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}，且A∩B=∅，当A=∅时，可得2a>a+3，解得a>3，此时满足A∩B=∅；当A≠∅时，则满足解得-≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围是∪(3，+∞).故选BD. |个性点拨| 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到. (2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　集合的概念与集合间的基本关系 1.已知集合A={x|x=4k，k∈Z}，B={x|x=4m+1，m∈Z}，C={x|x=4n+2，n∈Z}，D={x|x=4t+3，t∈Z}，若a∈B，b∈C，则下列说法正确的是 (　　) A.a+b∈A B.a+b∈B C.a+b∈C D.a+b∈D 解析：选D　因为a∈B，b∈C，则由题意可设a=4m+1，b=4n+2，其中m∈Z，n∈Z，所以a+b=4(m+n)+3，且m+n∈Z，故a+b∈D. 2.(2025·阳泉模拟)设集合P={y|y=ex+1}，M={x|y=log2(x-2)}，则集合M与集合P的关系是 (　　) A.M=P B.P∈M C.M⊆P D.P⊆M 解析：选C　函数y=ex+1的值域为(1，+∞)，函数y=log2(x-2)的定义域为(2，+∞)，即P=(1，+∞)，M=(2，+∞)，所以M⊆P. 3.[多选]已知集合M={(x，y)|x2+y2≤4}，N={(x，y)|(x-a)2+y2≤1}.若N⊆M，则实数a可以为 (　　) A.0 B. C.1 D.2 解析：选ABC　由题意，N⊆M，即圆(x-a)2+y2=1内含于或内切于圆x2+y2=4，则|a|≤2-1=1，即-1≤a≤1. 4.(2025·南昌模拟)设集合M={2，-2，-1}，N={x||x-a|<1}，若M∩N的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围为　　　　.  解析：由|x-a|<1可得-1<x-a<1，解得a-1<x<a+1，因为a>0，则a-1>-1且a+1>1，因为M∩N的真子集的个数为1，设M∩N的元素个数为n，则2n-1=1，解得n=1，因为M={2，-2，-1}，则M∩N={2}，所以a-1<2<a+1，解得1<a<3，因此正实数a的取值范围为{a|1<a<3}. 答案：{a|1<a<3} 逐点验收(二)　集合的运算 5.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则∁A(A∩B)= (　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 解析：选D　由题意得B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}，所以∁A(A∩B)={2，3，5}.故选D. 6.(2025·湖州模拟)若集合M={x|(x-3)≥0}，N={x|(x-3)(x-1)≥0}，则M∩N= (　　) A.{x|x≥3} B.{x|x≤1或x≥3} C.{x|x=1或x≥3} D.{x|x=1或x=3} 解析：选C　因为M={x|(x-3)≥0}={x|x=1或x≥3}，N={x|(x-3)(x-1)≥0}={x|x≥3或x≤1}，所以M∩N={x|x=1或x≥3}. 7.如图，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x>0}，则A#B为 (　　) A.{x|0<x<2} 　　B.{x|1<x≤2} C.{x|0≤x≤1或x≥2} 　　D.{x|x=0或x>2} 解析：选D　根据题意有A={x|y=}={x|0≤x≤2}，B={y|y=3x，x>0}={y|y>0}，所以A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x≥0}，则A#B=∁A∪B(A∩B)={x|x=0或x>2}. 8.(2025·亳州模拟)已知集合A={x|1≤x<5}，B={x|-a<x≤a+4}，若B⊆(A∩B)，则a的取值范围为 (　　) A.{a|-2<a<-1} B.{a|a<-2} C.{a|a≤-1} D.{a|a>-2} 解析：选C　∵B⊆(A∩B)，又(A∩B)⊆B，∴A∩B=B，即B⊆A.①当B=∅时，满足B⊆A，此时-a≥a+4，解得a≤-2；②当B≠∅时，由B⊆A， 得解得-2<a≤-1.综上所述，a≤-1. 细节、微点提醒 (1)研究集合，要看集合中的代表元素，理解元素的互异性； (2)在解决集合中含有字母的问题时，一是要考虑空集的情况，二是防止与集合中元素的互异性相矛盾. [课时跟踪检测] 1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM={1，3}，则 (　　) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析：选A　由题意知M={2，4，5}.故选A. 2.(2025·南京模拟)集合A={x∈N|1<x<4}的子集个数为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析：选B　A={x∈N|1<x<4}={2，3}，故子集个数为22=4. 3.已知集合P={y|y=x+1，x∈R}，Q={y|y=1-x，x∈R}，则P∩Q= (　　) A.∅ B.{1} C.{(0，1)} D.R 解析：选D　当x∈R时，y=x+1∈R，所以集合P={y|y∈R}，同理可得Q={y|y∈R}，故P∩Q=R. 4.定义集合A，B的一种运算：A􀱋B={x|x=a2-b，a∈A，b∈B}，若A={-1，0}，B={1，2}，则A􀱋B中的元素个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选C　因为A􀱋B={x|x=a2-b，a∈A，b∈B}，A={-1，0}，B={1，2}，所以A􀱋B={0，-1，-2}，故集合A􀱋B中的元素个数为3. 5.已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则 (　　) A.M∩N≠∅ B.M⊆N C.N⊆M D.M=N 解析：选A　因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B、C、D错误. 6.(2025·威海一模)已知集合A={x|y=}，B={y|y=2x+1}，则(∁RA)∩B= (　　) A.∅ B.[-1，1] C.[1，+∞) D.(1，+∞) 解析：选D　由1-x2≥0，得-1≤x≤1，所以A={x|-1≤x≤1}，∁RA={x|x<-1或x>1}，由2x>0，得y=2x+1>1，所以B={y|y>1}，所以(∁RA)∩B={x|x>1}. 7.设全集U={1，2，m2}，集合A={2，m-1}，∁UA={4}，则m= (　　) A.3 B.-2 C.4 D.2 解析：选D　已知A={2，m-1}，∁UA={4}，由补集概念知，m-1≠4，由集合中元素的互异性知，m-1≠2，又全集U={1，2，m2}，因为∁UA={4}⊆U，且A⊆U，所以4∈U，m-1∈U，则解得m=2. 8.(2025·长春质检)在Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A􀱋B为阴影部分表示的集合.若A={x|x=2n+1，n∈N，n≤4}，B={2，3，4，5，6，7}，则A􀱋B= (　　) A.{1，2，4，6} B.{2，4，6，9} C.{2，3，4，5，6，7} D.{1，2，4，6，9} 解析：选D　由题图可知，A􀱋B={x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}，因为A={x|x=2n+1，n∈N，n≤4}={1，3，5，7，9}，B={2，3，4，5，6，7}，所以A∪B={1，2，3，4，5，6，7，9}，A∩B={3，5，7}，因此，A􀱋B={1，2，4，6，9}. 9.(2024·安庆三模)[多选]已知集合A={x∈Z|x2-2x-8<0}，集合B={x|9x>3m，m∈R，x∈R}，若A∩B有且仅有3个不同元素，则实数m的值可以为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选AB　由x2-2x-8<0，解得-2<x<4，故A={x∈Z|x2-2x-8<0}={-1，0，1，2，3}，由9x>3m，可得x>，B={x|9x>3m，m∈R，x∈R}=，要使A∩B有且仅有3个不同元素，则0≤<1，解得0≤m<2. 10.(2025·南通模拟)[多选]设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B=A∪C，那么下列各式不一定成立的是 (　　) A.B⊆A B.C⊆A C.A∩(∁UB)=A∩(∁UC) D.(∁UA)∩B=(∁UA)∩C 解析：选ABC　当U={1，2，3}，A={1}，B={2，3}，C={1，2，3}时，满足A∪B=A∪C，此时，B，C不是A的子集，所以A、B不一定成立；∁UB={1}，∁UC=∅，A∩(∁UB)={1}，A∩(∁UC)=∅，所以C不一定成立；对于D，若∀x∈(∁UA)∩B，则x∉A，但x∈B，因为A∪B=A∪C，所以x∈C，于是x∈(∁UA)∩C，所以(∁UA)∩B⊆(∁UA)∩C，同理，若∀x∈(∁UA)∩C，则x∈(∁UA)∩B，(∁UA)∩C⊆(∁UA)∩B，因此，(∁UA)∩B=(∁UA)∩C成立，所以D成立. 11.已知集合A={m|1<m<4}，B={y|y=x3，x∈R}，则A∩B=　　　　.  解析：因为B={y|y=x3，x∈R}=R，所以A∩B={m|1<m<4}. 答案：{m|1<m<4} 12.(2024·晋城二模)已知集合A=，B={x|x2-3x+m=0}，若1∈A∩B，则A∪B的子集的个数为　　　　.  解析：由1∈A∩B可知，1∈B，可得1-3+m=0，解得m=2，所以B={x|x2-3x+2=0}={x|(x-1)(x-2)=0}，即B={1，2}.又A=={x∈N|3-1<3x+1<33}={x∈N|-2<x<2}={0，1}，所以A∪B={0，1，2}，则A∪B的子集的个数为23=8. 答案：8 13.已知全集U=R且集合A，B是非空集合，定义A􀱋B={x|x∉A∪B且x∈∁U(A∩B)}，已知A={x|-2<x<5}，B={x|x≤3}，则A􀱋B=　　　　.  解析：由题意得A∪B={x|x<5}，∁U(A∩B)={x|x≤-2或x>3}，因为A􀱋B={x|x∉A∪B且x∈∁U(A∩B)}，所以A􀱋B={x|x≥5}. 答案：{x|x≥5} 14.已知集合A={x|2x2+3x≥-1}，B={x|mx≥1}，若A∪B=A且m≤0，则实数m的取值范围是　　　　.  解析：A={x|2x2+3x≥-1}=，因为A∪B=A，所以B⊆A.①当m=0时，B=∅，满足题意；②当m<0时，B={x|mx≥1}=，要使B⊆A，则解得-1≤m<0.综上所述，实数m的取值范围是[-1，0]. 答案：[-1，0] 15.(2025·南宁模拟)已知集合A={x1，x2，…，xn}，n∈N*，n≥3，若x∈A，y∈A，x+y∈A或x-y∈A，则称集合A具有“包容”性. (1)判断集合{-1，1，2，3}和集合{-1，0，1，2}是否具有“包容”性； (2)若集合B={1，a，b}具有“包容”性，求a2+b2的值. 解：(1)集合{-1，1，2，3}中的3+3=6∉{-1，1，2，3}，3-3=0∉{-1，1，2，3}，所以集合{-1，1，2，3}不具有“包容”性.集合{-1，0，1，2}中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{-1，0，1，2}，所以集合{-1，0，1，2}具有“包容”性. (2)已知集合B={1，a，b}具有“包容”性，记m=max{1，a，b}，则m≥1， 易知2m∉{1，a，b}，从而必有0∈{1，a，b}，不妨令a=0，则B={1，0，b}，b≠0且b≠1， 则{1+b，1-b}∩{1，0，b}≠∅，且{1+b，b-1}∩{1，0，b}≠∅. ①当1+b∈{1，0，b}时，若1+b=0，得b=-1，此时B={1，0，-1}具有“包容性”；若1+b=1，得b=0，舍去；若1+b=b，无解；②当1+b∉{1，0，b}时，则{1-b，b-1}⊆{1，0，b}，由b≠0且b≠1，可知b无解，故B={1，0，-1}.综上，a2+b2=1. 第二节　常用逻辑用语 课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，􀱑p(x) ∀x∈M，􀱑p(x) [细作教材小题] 1.(人A必修①P30·例4(1)改编)[多选]已知命题p：∀x∈R，x+2≤0，则 (　　) A.p是真命题 B.􀱑p：∀x∈R，x+2>0 C.􀱑p是真命题 D.􀱑p：∃x∈R，x+2>0 答案：CD 2.(人A必修①P22·T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 3.(苏教必修①P47·T10)若命题“∀x∈R，x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，1] B.(-∞，1) C.[1，+∞) D.(1，+∞) 答案：B 4.(苏教必修①P47·T3)命题“∃x∈R，2x2-x+3=0”的否定是　　　　　　　.  答案：∀x∈R，2x2-x+3≠0 5.(人B必修①P38·T5改编)已知A=(-∞，a]，B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为　　　　.  答案：(-∞，3) 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　充分、必要条件的判定 [例1]　已知x∈R，则“0<ln x≤”是“≤1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　由0<ln x≤，得1<x≤，记集合A={x|1<x≤}，由≤1⇒≤0⇒(x-1)(x-2)≤0且x≠1，解得1<x≤2，记集合B={x|1<x≤2}，所以A⫋B，则“0<ln x≤”是“≤1”的充分不必要条件. [例2]　(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C　由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b；由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C. [例3]　(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，当a=(1，1)，b=(-1，1)时，|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，故充分性不成立；当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0，故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. |点拨·建模|　充分、必要条件的3种判定方法 定义法 根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断 集合法 根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断 等价 转化法 对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止 逐点清(二)　充分、必要条件的应用 [例4]　(2025·济南模拟)已知p：1<2x<4，q：x2-ax-1<0，若p是q的充分不必要条件，则 (　　) A.a≥ B.0<a≤ C.a>2 D.0<a≤2 解析：选A　命题p：1<2x<4，即p：0<x<2，因为p是q的充分不必要条件，显然当x=0时满足q：x2-ax-1<0，所以当0<x<2时x2-ax-1<0恒成立，则a>x-在x∈(0，2)上恒成立，又函数f(x)=x-在(0，2)上单调递增，且f(2)=，所以a≥. [例5]　(2025·西安阶段练习)[多选]已知集合A={x|-x2+5x+6>0}，B={x|-k<x<2k+1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数k的可能取值为 (　　) A.-2 B. C. D.2 解析：选AB　由题意集合A={x|-x2+5x+6>0}=(-1，6)，B={x|-k<x<2k+1}，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故B是A的真子集.当B=∅时，则-k≥2k+1，即k≤-时，符合题意，当B≠∅时，则或所以-<k≤1.综上，实数k的取值范围为(-∞，1]，结合选项可知A、B符合题意. |点拨·建模|　由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值 慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 逐点清(三)　全称量词与存在量词 题点1　含量词命题的否定 [例6]　(多选)已知命题p：∃x∈Q，∈Q，命题q：∀x∈Q，∈Q，则 (　　) A.p的否定是q 　　　B.p的否定是∀x∈Q，∉Q C.q的否定是p 　　　D.q的否定是∃x∈Q，∉Q 解析：选BD　p的否定是∀x∈Q，∉Q.q的否定是∃x∈Q，∉Q. |个性点拨|　全称量词命题与存在量词命题的否定 改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 否定结论 对原命题的结论进行否定 题点2　含量词命题真假的判断 [例7]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则 (　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：选B　法一　对于p，由|x+1|>1，得x2+2x>0，解得x>0或x<-2，显然∀x∈R，|x+1|>1不恒成立，所以命题p为假命题，􀱑p为真命题.对于q，由x3=x，解得x=0或x=1或x=-1，所以∃x>0使得x3=x，所以q是真命题. 法二　对于p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，􀱑p是真命题.对于q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，􀱑q是假命题.综上，􀱑p和q都是真命题. |个性点拨| 　　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 题点3　由命题的真假求参数 [例8]　若命题“∃x∈R，使x2-x-m=0”是真命题，则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为“∃x∈R，使x2-x-m=0”是真命题，所以Δ=1-4×(-m)≥0，解得m≥-.故选C. [例9]　若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析：选D　因为“∃x∈，sin x<m”是假命题，所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题，即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min，因为y=sin x在上单调递增，所以当x=-时，y=sin x最小，其最小值为y=sin=-sin=-，所以m≤-，所以实数m的最大值为-. |个性点拨|　由命题真假求参数范围的策略 (1)直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围； (2)利用等价命题，即p与􀱑p的关系，转化成􀱑p的真假求参数的范围.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　充分、必要条件的判定及应用 1.“x为整数”是“2x+1为整数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　由x为整数能推出2x+1为整数，故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分条件，由x=，得2x+1为整数不能推出x为整数，故“x为整数”不是“2x+1为整数”的必要条件.综上所述，“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.故选A. 2.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：选B　法一　若a2=b2，则当a=-b≠0时，有a2+b2=2a2，2ab=-2a2，即a2+b2≠2ab，所以由a2=b2 a2+b2=2ab；若a2+b2=2ab，则有a2+b2-2ab=0，即(a-b)2=0，所以a=b，则有a2=b2，即a2+b2=2ab⇒a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 法二　因为“a2=b2”⇔“a=-b或a=b”，“a2+b2=2ab”⇔“a=b”，所以本题可以转化为判断“a=-b或a=b”与“a=b”的关系，又“a=-b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件，所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 3.已知条件p：-1≤x≤3，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 (　　) A.{a|a>3} B.{a|a≥3} C.{a|a<-1} D.{a|a≤-1} 解析：选C　因为p是q的充分不必要条件，则{x|-1≤x≤3}⫋{x|x>a}，于是a<-1，所以a的取值范围是{a|a<-1}.故选C. 4.已知集合A=或x>2}，B={x|2a≤x≤a+3}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　　.  解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，当B=∅时满足题意，即2a>a+3，所以a>3；当B≠∅时，或解得a<-4或1<a≤3.综上可得，实数a的取值范围是(-∞，-4)∪(1，+∞). 答案：(-∞，-4)∪(1，+∞) 逐点验收(二)　全称量词与存在量词 5.命题“∀x>1，x2-x>0”的否定是 (　　) A.∃x≤1，x2-x>0 B.∀x>1，x2-x≤0 C.∃x>1，x2-x≤0 D.∀x≤1，x2-x>0 解析：选C　因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“∀x>1，x2-x>0”的否定是∃x>1，x2-x≤0.故选C. 6.[多选]下列四个命题，是真命题的为 (　　) A.有些不相似的三角形面积相等 B.∃x∈Q，x2=2 C.∃x∈R，x2+1=0 D.有一个实数的倒数是它本身 解析：选AD　选项A，有些不相似的三角形面积相等，如：等底等高的直角三角形与正三角形不相似，面积相等，∴A为真命题；选项B，x2=2⇔x=±，命题“∃x∈Q，x=±”是假命题，∴B为假命题；选项C，命题“∃x∈R，x2+1=0”，它的否定是“∀x∈R，x2+1≠0”，是真命题，∴C为假命题；选项D，存在实数1，它的倒数是它本身，∴D为真命题.故选AD. 7.若命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 解析：命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3或a<-1，故实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(3，+∞). 答案：(-∞，-1)∪(3，+∞) 细节、微点提醒 (1)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”等价于“若p，则q”为真命题. (2)p是q的充分不必要条件，等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. (3)命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. (4)充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}. ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的必要条件，则B⊆A； ③若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； ④若p是q的必要不充分条件，则A⫌B； ⑤若p是q的充要条件，则A=B. 口诀：小充分，大必要. [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.“一切分数都是有理数”的否定是 (　　) A.一切分数都不是有理数 B.一切分数不都是有理数 C.有些分数不是有理数 D.有些分数是有理数 解析：选C　“一切分数都是有理数”是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题.“一切分数都是有理数”的否定是“有些分数不是有理数”. 2.已知p：0<x<2， q：-1<x<3， 则p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　因为{x|0<x<2}⫋{x|-1<x<3}，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 3.下列命题的否定是真命题的为 (　　) A.任意两个等边三角形都相似 B.∀x∈R，x+|x|≥0 C.∃x∈R，x2-x+1=0 D.存在一个四边形，它的两条对角线相互垂直 解析：选C　对于A，任意两个等边三角形都相似，原命题为真命题，其否定为假命题；对于B，当x≥0时，x+|x|=2x≥0，当x<0时，x+|x|=0，所以∀x∈R，x+|x|≥0，原命题为真命题，其否定为假命题；对于C，对于方程x2-x+1=0，Δ=1-4=-3<0，即方程x2-x+1=0无解，故原命题为假命题，其否定为真命题；对于D，存在一个四边形，它的两条对角线相互垂直，比如，菱形的对角线相互垂直，故原命题为真命题，其否定为假命题. 4.命题“∀x∈[1，2]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　) A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 解析：选B　因为命题“∀x∈[1，2]，x2-a≤0”是真命题，所以∀x∈[1，2]，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 5.在△ABC中，“cos A>0”是“△ABC为锐角三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　因为0<A<π，所以cos A>0⇔A为锐角，但“cos A>0” “△ABC为锐角三角形”，“△ABC为锐角三角形”⇒“cos A>0”，所以“cos A>0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件. 6.已知甲：x≥1，乙：关于x的不等式<0(a∈R)，若甲是乙的必要不充分条件，则a的取值范围是 (　　) A.[1，+∞) B.(1，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，0] 解析：选A　甲：x≥1，设此范围对应集合A=[1，+∞)；由a<a+1，得乙：<0⇔(x-a)(x-a-1)<0⇔a<x<a+1，设此范围对应集合B=(a，a+1)，若甲是乙的必要不充分条件，则B⫋A，其中A=B必不成立，则(a，a+1)⫋[1，+∞)，所以a≥1.故选A. 7.(2025·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C　当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足.故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件. 8.已知集合P={x|x2-2x<0}，Q={x|<1}，则P∪Q=P的充要条件是 (　　) A.0<a<1 B.0<a≤1 C.0≤a<1 D.0≤a≤1 解析：选B　由题设，P={x|0<x<2}，Q={x|a≤x<a+1}，若P∪Q=P，则Q⊆P，故可得0<a≤1.所以0<a≤1是P∪Q=P的充要条件. 9.(2025·德州模拟)[多选]下列命题不正确的是 (　　) A.“x<1”是“>1”的必要不充分条件 B.命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是“∃x<1，x2<1” C.x+y=0的充要条件是=-1 D.若x+y>2，则x，y至少有一个大于1 解析：选BC　由>1得到0<x<1，故“x<1”是“>1”的必要不充分条件，故A正确；命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是“∃x≥1，x2<1”，故B错误；由=-1得到x+y=0且y≠0，故x+y=0的充分不必要条件是=-1，故C错误；假设x，y全都不大于1，即x≤1且y≤1，则x+y≤2，与条件矛盾，假设不成立，故D正确.故选BC. 10.“数列{an}是等比数列”是“数列{anan+1}是等比数列”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　若{an}是等比数列，设{an}的公比为q，则==q2，则数列{anan+1}是公比为q2的等比数列.假设数列{an}是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列{anan+1}是等比数列，但是数列{an}不是等比数列.故“数列{an}是等比数列”是“数列{anan+1}是等比数列”的充分不必要条件.故选A. 11.命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是　　　　　　　　　　　.  解析：因为“sin x<cos x”的否定是“sin x≥cos x”，所以“∀x∈，sin x<cos x”的否定是“∃x∈，sin x≥cos x”. 答案：∃x∈，sin x≥cos x 12.已知集合A={x|x>2}，B={x|bx>1}，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b=　　　　；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是　　　　.  解析：因为A是B的充要条件，所以A，B的解集相同.由B={x|bx>1}，得B=，因为A=，所以=2，解得b=.因为A是B的充分不必要条件，即A⫋B，又因为A=，且B≠∅，所以B=，需要解得b>，即b的取值范围为. 答案：　 13.若不等式|x|<a的一个充分条件为-2<x<0，则实数a的最小值是　　　　.  解析：由不等式|x|<a，当a≤0时，不等式|x|<a的解集为空集，显然不成立；当a>0时，不等式|x|<a，可得-a<x<a，要使得不等式|x|<a的一个充分条件为-2<x<0，则满足{x|-2<x<0}⊆{x|-a<x<a}，所以-2≥-a，即a≥2，故实数a的最小值是2. 答案：2 14.已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  解析：由题意得，“∀x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x对∀x∈[-1，2]恒成立，在区间[-1，2]上，-x2+3x的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a的取值范围是(-∞，-4]. 答案：(-∞，-4] 15.已知命题：“∃x≥2，不等式x2-x-m≤0”是假命题. (1)求实数m的取值集合B； (2)设不等式(x-a)(x-a-1)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解：(1)∵“∃x≥2，不等式x2-x-m≤0”是假命题，∴命题：“∀x≥2，不等式x2-x-m>0”是真命题.∴∀x≥2，不等式m<x2-x恒成立.易知当x≥2时，f(x)=x2-x单调递增，即f(x)=x2-x≥2，∴m<2，即实数m的取值集合B={m|m<2}. (2)∵不等式(x-a)(x-a-1)<0的解集为 {x|a<x<a+1}，∴A={x|a<x<a+1}. ∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A是B的真子集，∴a+1≤2，即a≤1， ∴实数a的取值范围为(-∞，1]. 第三节　不等式及其性质 课标要求：1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3.理解不等式的性质，并能简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.两个实数比较大小的方法 作差法(a，b∈R) 2.不等式的性质 性质1 对称性：a>b⇔b<a 性质2 传递性：a>b，b>c⇒a>c 性质3 可加性：a>b⇔a+c>b+c 性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒a+c>b+d 性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) [细作教材小题] 1.(苏教必修①P76·T9)设a，b，m均为正数，且a<b，那么 (　　) A.< B.= C.> D.与的大小随m变化而变化 解析：选C　由-==，因为a<b，且m为正数，可得(b+m)b>0，b-a>0，所以>0，即->0，所以>. 2.(人A必修①P43·T8)下列命题为真命题的是 (　　) A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则< 答案：B 3.(北师大必修①P30·T2改编)设m=x2+y2-2x+2y，n=-3，则m，n的大小关系为　　　　.  解析：因为m-n=x2+y2-2x+2y+3=(x-1)2+(y+1)2+1>0，所以m>n. 答案：m>n 4.(人A必修①P43·T5改编)已知2<a<3，-2<b<-1，则2a+b的取值范围为　　　　.  解析：∵2<a<3，∴4<2a<6，又-2<b<-1，∴2<2a+b<5，即2a+b的取值范围为(2，5). 答案：(2，5) 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　比较数(式)的大小 [例1]　(多选)下列不等式正确的是 (　　) A.x2-2x>-3(x∈R) B.a3+b3≥a2b+ab2(a，b∈R) C.a2+b2>2(a-b-1) D.+≤a+b(a<0，b<0) 解析：选AD　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，∴x2-2x>-3，故A正确；a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，∵(a-b)2≥0，a+b的符号不定，∴a3+b3与a2b+ab2的大小不定，故B错误；∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C错误；+-a-b=+=(b2-a2)·==，∵a<0，b<0，∴a+b<0，ab>0，∴+≤a+b，故D正确. [例2]　设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是　　　　.  解析：∵=aa-b·bb-a=，若a>b，则>1，a-b>0，∴>1，∴aabb>abba；若a<b，则0<<1，a-b<0，∴>1，∴aabb>abba. 答案：aabb>abba |点拨·建模|　比较大小的常用方法 作差法 ①作差；②变形；③定号；④得出结论 作商法 ①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论 逐点清(二)　利用不等式的基本性质比较大小 [例3]　(多选)若b<c<0<a，a+b>0，则 (　　) A.a+c>0 B.+<0 C.+>0 D.-b<a- 解析：选ACD　因为b<c<0<a且a+b>0，所以a+c>a+b>0，A正确；+=>0，B错误；+==>0，C正确；-a-b+=-(a+b)=(a+b)，因为b<0<a，所以ab<0，又因为a+b>0，所以-a-b+<0，即-b<a-，D正确. [例4]　(2024·长沙二模)[多选]设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有 (　　) A.c2<cd B.a-c<b-d C.ac<bd D.->0 解析：选AD　由0>c>d和不等式性质可得c2<cd，故A正确；因为a>b>0>c>d，若取a=2，b=1，c=-1，d=-2，则a-c=3，b-d=3，ac=-2，bd=-2，所以a-c=b-d，ac=bd，故B、C错误；因为a>b>0，则0<<，又因为0>c>d，则0<-c<-d，由不等式的同向皆正可乘性得-<-，所以->0，故D正确.故选AD. |点拨·建模| 1.判断命题真假的两种方法 直接法 直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 特殊值法 注意取值要遵守三个原则：①满足题设条件；②取值要简单，便于验证计算；③所取的值要有代表性 2.不等式的倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0，0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 逐点清(三)　不等式性质的综合应用 [例5]　已知-1<x<4，2<y<3，则x-y的取值范围是　　　　　，3x+2y的取值范围是　　　　　.  解析：∵-1<x<4，2<y<3，∴-3<-y<-2，∴-4<x-y<2.由-1<x<4，2<y<3，得-3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x+2y<18. 答案：(-4，2)　(1，18) [例6]　已知2<x<4，-3<y<-1，则的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　原式分子和分母同时除以x，得=，由条件得2<-2y<6，<<，所以<-<，即<-<3，所以<1-<4，所以<<. |点拨·建模| (1)利用不等式性质求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围. (2)解题时应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　比较大小 1.若a，b∈[0，+∞)，A=+，B=，则A，B的大小关系是 (　　) A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B 解析：选B　由题意得，B2-A2=-2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B. 2.若a，b为实数，且0<ab<1，则以下结论正确的是 (　　) A.a< B.a>0，b>0 C.0<a3b2<1 D.-<-1 解析：选D　根据题意，不妨令a=-1，b=-，则=-2，此时a>，∴A错误；若0<ab<1，可知a，b同号，即a>0，b>0或a<0，b<0， ∴B错误；不妨令a=3，b=，此时满足0<ab<1，但a3b2=33×=>1，∴C错误；由0<ab<1可得>=1，两边同时乘以-1可得-<-1，∴D正确. 3.若a>0，b>0，则p=(ab与q=abba的大小关系是 (　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 解析：选A　∵===，若a>b>0，则>1，a-b>0，∴>1；若0<a<b，则0<<1，a-b<0，∴>1；若a=b，则=1，∴p≥q. 4.(2025·三亚模拟)[多选]已知实数a，b，c满足-3<a<b<-1，c≠a，c≠b，则 (　　) A.a+2b<-3<a+b B.> C.+>2 D.当|a-c|+|b-c|最小时，a<c<b 解析：选BCD　对于A，当a=-2，b=-时，a+b<-3，所以A错误；对于B，由-3<a<b<-1，得>>=，所以B正确；对于C，因为>0，所以+≥2=2，又因为a<b，所以等号不成立，+>2，所以C正确；对于D，由|a-c|+|b-c|的最小值，即为数轴上c到a和b的距离之和的最小值，当且仅当|a-c|+|b-c|=|b-a|时最小，此时a<c<b，所以D正确.故选BCD. 逐点验收(二)　不等式性质的综合应用 5.[多选]已知3<a<6，1<b<5，则 (　　) A.∈ B.∈ C.a-2b∈(-4，1) D.a-2b∈(-7，4) 解析：选BD　∵1<b<5，∴-10<-2b<-2，<<1，又3<a<6，∴-7<a-2b<4，<<6，即∈，a-2b∈(-7，4)，∴B、D正确. 6.已知a>b>c，2a+b+c=0，则的取值范围是 (　　) A.(-3，-1) B. C.(-2，-1) D. 解析：选A　因为a>b>c，2a+b+c=0，所以a>0，c<0，b=-2a-c，因为a>b>c，所以-2a-c<a，即3a>-c，解得>-3，将b=-2a-c代入b>c中，得-2a-c>c，即a<-c，得<-1，所以-3<<-1. 7.已知-1≤x+2y≤5，-1≤x-2y≤3，则x的取值范围是　　　　.  解析：因为-1≤x+2y≤5，-1≤x-2y≤3，所以-1+(-1)≤x+2y+x-2y≤5+3，即-2≤2x≤8，得-1≤x≤4. 答案：[-1，4] [课时跟踪检测] 1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，则下列结论正确的是 (　　) A.a>b B.a<b C.a≥b D.a，b大小不确定 解析：选B　因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0，所以a<b. 2.已知-3<a<-2，3<b<4，则的取值范围为 (　　) A.(1，3) B. C. D. 解析：选A　因为-3<a<-2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，即<<，故的取值范围为(1，3). 3.已知a<b<c，a+b+c=0，则 (　　) A.ab<b2 B.ac>bc C.< D.<1 解析：选C　因为a<b<c，a+b+c=0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b=0时，ab=b2，故A错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B错误；因为a<0<c，所以<，故C正确；因为a<b，所以-a>-b，所以c-a>c-b>0，所以>1，故D错误.故选C. 4.[多选]下列四个选项能推出<的是 (　　) A.b>0>a B.a>0>b C.0>a>b D.a>b>0 解析：选ACD　<⇔<0⇔ab(a-b)>0，当b>0>a时，ab<0，a-b<0，所以ab(a-b)>0，A正确；当a>0>b时，ab<0，a-b>0，所以ab(a-b)<0，B错误；当0>a>b时，ab>0，a-b>0，所以ab(a-b)>0，C正确；当a>b>0时，ab>0，a-b>0，所以ab(a-b)>0，D正确. 5.已知m5=4，n8=9，0.9p=0.8，则正数m，n，p的大小关系为 (　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 解析：选A　由m5=4，得m==<，由n8=9，得n==，因此，====>1，即>m>n.由0.9p=0.8，得p=log0.90.8>log0.90.81=2，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 6.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何?”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根?每种竹子单价各是多少钱?”则在这个问题中大竹子的单价可能为 (　　) A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 解析：选C　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，购买小竹子(78-x)根，每根单价为(m-1)钱，所以576=mx+(78-x)(m-1)，即78m+x=654，即x=6(109-13m).因为0≤x≤78，所以即即≤m≤.根据选项知m=8，x=30，所以买大竹子30根，每根8钱. 7.[多选]有外表一样，重量不同的六个球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a+b+c=d+e+f，a+b+e>c+d+f，a+b+f<c+d+e，a+e<b.则下列判断正确的是 (　　) A.b>c>f B.b>e>f C.c>e>f D.b>e>c 解析：选ABD　因为a+b+c=d+e+f，a+b+e>c+d+f，所以e-c>c-e，所以e>c，又因为a+b+c=d+e+f，a+b+f<c+d+e，所以c-f>f-c，所以c>f，所以e>c>f，所以C错误；又因为a+e<b，所以a<b，e<b，所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以A、B、D正确. 8.(2025·广州模拟)[多选]下列是a>b>c(abc≠0)的必要条件的是 (　　) A.ac>bc B.(ac)2>(bc)2 C.2a-c>2a-b D.7a+b>7b+c 解析：选CD　A选项，若c<0，则A错误；B选项，等价于a2>b2，当a>0>-a>b时不成立，B错误；C选项，因为y=2x在R上单调递增，而a-c>a-b，所以2a-c>2a-b，C正确；D选项，因为y=7x在R上单调递增，而a+b>b+c，所以7a+b>7b+c，D正确.故选CD. 9.[多选]已知非零实数a，b满足|a|>|b|+1，则下列不等关系一定成立的是 (　　) A.a>b+1 B.ln a2>ln(b2+1) C.a2>4b D.>1 解析：选BCD　|-5|>|2|+1，而-5<2+1，故A错误；∵|a|>|b|+1，∴|a|2>(|b|+1)2，即a2>b2+2|b|+1>b2+1，∴a2>b2+1>0，又函数y=ln x在(0，+∞)上单调递增，ln a2>ln(b2+1)，故B正确；由B中分析得，a2>b2+2|b|+1，∴a2-4b>b2+2|b|+1-4b，∵|b|≥b，∴a2-4b>b2+2|b|+1-4b≥b2-2b+1=(b-1)2≥0，∴a2>4b，故C正确；由a2>b2+2|b|+1，∴|a|2>|b|2，即>1，∴>1，故D正确. 10.(2025·滨州模拟)[多选]已知a<b<c，且a+2b+3c=0，则下列结论成立的是 (　　) A.a+c<0 B.+<-2 C.存在a，c使得a2-25c2=0 D.若xy<0且x2+y2=1，则xy≥ 解析：选ABD　对于A，由a<b<c及a+2b+3c=0，得3a+3c<a+2b+3c=0，所以a+c<0，A正确.对于B，由a<b<c及a+2b+3c=0，得6a<a+2b+3c=0，所以a<0.同理可得c>0.又a+c<0，所以≠-1，所以+=-<-2，B正确.对于C，由a<b<c及a+2b+3c=0，得a+2c+3c>0，所以a+5c>0，得c>->0，所以c2>，得a2-25c2<0，C错误.对于D，由(x+y)2=1+2xy≥0，得xy≥-.由a+2b+3c=0，得a+c=-2(b+c).因为a+c≠0，所以=-，所以xy≥，D正确.故选ABD. 11.已知0<β<α<，则α-β的取值范围是　　　.  解析：∵0<β<，∴-<-β<0，又0<α<，∴-<α-β<，又β<α，∴α-β>0，即0<α-β<. 答案： 12.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值　　　　　　　　　.  解析：容易发现，若将①式转化为②式，需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号，显然应使a+b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|，可取a=-1，b=2；当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|，可取a=2，b=-1.综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 答案：a=-1，b=2(答案不唯一) 13.实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c，②a+b=c+d，③a+d<b+c，则a，b，c，d按照从小到大的次序排列为　　　　　　.  解析：因为a+b=c+d，所以a=c+d-b，因为a+d<b+c，所以c+d-b+d<b+c，即2d<2b，于是有d<b，所以c<d<b，因为a+b=c+d，b>d，所以a<c，所以a<c<d<b. 答案：a<c<d<b 14.设a>0，b>0，记A=，G=，H=分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过a≠b时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为　　　　，最小的为　　　　.  解析：因为a>0，b>0，a≠b，所以A-G=-==>0，G-H=-==>0，所以A>G，G>H，所以A>G>H，所以A，G，H中最大的为A，最小的为H. 答案：A　H 15.(1)设x>y>0，试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小. (2)已知a，b，x，y∈(0，+∞)且>，x>y，求证：>. 解：(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y). 因为x>y>0，所以xy>0，x-y>0，所以-2xy(x-y)<0， 所以(x2+y2)(x-y)<(x2-y2)(x+y). (2)证明：-=，因为>且a，b∈(0，+∞)，所以b>a>0.又因为x>y>0，所以bx>ay>0，则bx-ay>0， 又x+a>0，y+b>0，所以->0，即>. 第四节　基本不等式 课标要求：1.会用基本不等式解决简单的最值问题.　2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.基本不等式： ≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. (3)叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab，a，b∈R； (2)+≥2，ab>0； (3)ab≤，a，b∈R； (4)≥，a，b∈R. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. [提醒]　利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. [细作教材小题] 1.(苏教必修①P61·T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 解析：选D　因为m>0，n>0，由基本不等式m+n≥2，得m+n≥18，当且仅当m=n=9时等号成立，所以m+n的最小值是18. 2.(北师大必修①P45·T1(4))已知a>b>0，则下列不等式成立的是 (　　) A.a>>>b B.a>b>> C.a>>b> D.a>>>b 解析：选A　因为a>b>0，所以a>>b，又根据基本不等式可得，>，所以a>>>b. 3.(苏教必修①P61·T2)若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是 (　　) A.5 B.10 C.10 D.20 解析：选D　设直角三角形的两条直角边边长为a，b，则a>0，b>0，直角三角形的面积为ab=50，故ab=100，则两条直角边的和a+b≥2=2=20，当且仅当a=b=10时等号成立，故两条直角边的和的最小值是20. 4.(人A必修①P46·T3改编)当x=　　　　时，x2+取得最小值　　　　.  解析：x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，等号成立，则x2+的最小值为2. 答案：±1　2 5.(人A必修①P48·T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值，则a=　　　　.  解析：当x>2时，x-2>0，f(x)=x-2++2≥2+2=4，当且仅当x-2=(x>2)，即x=3时，取等号，即当f(x)取得最小值时，x=3，即a=3. 答案：3 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　利用基本不等式求最值 方法1　配凑法 [例1]　设实数x满足x>0，则函数y=2+3x+的最小值为 (　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 解析：选A　∵x>0，∴x+1>1，∴y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2-1=4-1，当且仅当3(x+1)=，即x=-1时，等号成立，∴函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A. [例2]　已知0<x<，则x的最大值为　　　　.  解析：∵0<x<，∴x2>0，1-2x2>0，∴x=·=·≤·=，当且仅当2x2=1-2x2，即x=时等号成立，故x的最大值为. 答案： |个性点拨|　配凑法的使用原则 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法. 方法2　常数代换法 [例3]　已知x>0，y>0，若x+y=xy，则2x+y的最小值是 (　　) A.2 B.4 C.3+2 D.3+4 解析：选C　由题意，x>0，y>0，x+y=xy，∴+=1，∴2x+y=(2x+y)=2+++1≥3+2=3+2，当且仅当=，即x=+1，y=+1时等号成立，故选C. [例4]　已知a，b>0，且a，b为一元二次方程x2-2x+c=0的两根，则+的最小值为　　　　.  解析：由a和b为一元二次方程x2-2x+c=0的两根，得a+b=2，则+=·(a+b)=·≥=，当且仅当=，即a=，b=时等号成立，所以+的最小值为. 答案： |个性点拨|　常数代换法的使用原则 常数代换法，主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求+的最值”的问题，先将+转化为·，再用基本不等式求最值. 方法3　消元法 [例5]　(2025·郑州模拟)已知x>0，y>0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为　　　　.  解析：法一：换元消元法 由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·，当且仅当x=3y，即x=3，y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0，令x+3y=t，则t>0且t2+12t-108≥0，得t≥6，即x+3y的最小值为6. 法二：代入消元法 由x+3y+xy=9，得x=， 所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6， 当且仅当3(1+y)=，即y=1，x=3时取等号，即x+3y的最小值为6. 答案：6 |个性点拨|　利用消元法求最值的技巧 (1)消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围. (2)灵活运用ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. (3)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 逐点清(二)　利用基本不等式解决实际问题 [例6]　为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用P(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：P=(x∈R，0≤x≤8).若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元.设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和. (1)求m的值及用x表示S； (2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值. 解：(1)依题意，每年的能源消耗费用为P=，而当x=0时，P=9，则=9，解得m=15，显然建造费用为8x，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为S=40P+8x=40×+8x=+8x(0≤x≤8). (2)由(1)知S=+8x=+2(4x+5)-10≥2-10=2×60-10=110， 当且仅当=2(4x+5)，即x=6.25时取等号， 所以当隔热层的厚度为6.25 cm时，总费用S取得最小值110万元. |点拨·建模| 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 逐点清(三)　基本不等式的综合应用 [例7]　已知f(x)=ex，若a>0，b>0，且f·f(2b)=e2，则+的最小值为 (　　) A.9 B. C.3 D.1 解析：选B　因为f(x)=ex，若a>0，b>0，且f·f(2b)=e2，所以f·f=ea+2b=e2⇒a+2b=2，则+==≥=，当且仅当a=b=时取等号. [例8]　对任意的正实数x，y，+≤k恒成立，则k的最小值为 (　　) A. B. C.2 D. 解析：选B　依题意得k≥恒成立，故k≥.因为=，2=2≤5x+y，所以=≤=6， 当且仅当y=5x时，等号成立，所以的最大值为，所以k≥，即k的最小值为. |点拨·建模| (1)对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值； (2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　利用基本不等式求最值 1.已知x>2，则函数y=x+的最小值是 (　　) A.2 B.2+2 C.2 D.+2 解析：选D　由题意可知，x-2>0，∴y=(x-2)++2≥2+2=+2，当且仅当x=2+时，等号成立，∴函数y=x+(x>2)的最小值为+2. 2.已知函数y=(x<1)，当x=a时，y取最大值b，则a+b的值为 (　　) A.8 B.-4 C.4 D.0 解析：选B　因为x<1，所以1-x>0，所以y==x+=x-1++1=-+1≤-2+1=-3，当且仅当1-x=，即x=-1时等号成立，所以当x=-1时，y取最大值-3，即a=-1，b=-3，所以a+b=-4.故选B. 3.(2025·东莞模拟)[多选]若a>0，b>0，a+b=4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 (　　) A.的最大值为2 　B.+的最大值为2 C.+b2的最小值为4 　D.+的最小值为2 解析：选AC　对于A，∵a>0，b>0，∴ab≤=4，当且仅当a=b=2时等号成立，故≤2，故A正确；对于B，(+)2=a+b+2=4+2≤4+2×2=8，当且仅当a=b=2时等号成立，故+≤2，故B错误；对于C，由题意得b=4-a>0，∴0<a<4，+b2=+(4-a)2=a2-8a+16，根据二次函数的性质可知，当a=3时，上式取得最小值4，故C正确；对于D，∵a+b=4，a>0，b>0，∴+=(a+b)=≥=，当且仅当=，即a=，b=时等号成立，故D错误.故选AC. 4.(2025·郑州模拟)设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为 (　　) A.4 B.2 C.3 D.1 解析：选D　因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，所以==≤=1，当且仅当=，即x=y时，等号成立，故的最大值为1. 逐点验收(二)　利用基本不等式解决实际问题 5.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm)，设EF=x cm. (1)当x=60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 解：(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm，所以阴影部分的面积S=6×xy=3xy=36 000，所以xy=12 000，又x=60，故y=200，由题图可知AD=y+20=220 cm，AB=3x+50=230 cm.海报纸的周长为2×(220+230)=900 cm.故海报纸的周长为900 cm. (2)由(1)知xy=12 000，x>0，y>0，SABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1 000≥3xy+2+1 000=49 000，当且仅当6x=5y，即x=100 cm，y=120 cm时等号成立，此时，AB=350 cm，AD=140 cm.故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少. 逐点验收(三)　基本不等式的综合应用 6.(2025·安庆联考)已知函数f(x)=log2(ax+b)(a>0，b>0)恒过定点(2，0)，则+的最小值为 (　　) A.2+1 B.2 C.3 D.+2 解析：选A　由题意可知2a+b=1，则+=+=++1≥2+1=2+1，当且仅当a=，b=-1时取等号，所以+的最小值为2+1，故选A. 7.“∀x∈(1，4]，不等式x2-mx+m>0恒成立”的充分不必要条件是 (　　) A.m>4 B.m< C.m<4 D.m<2 解析：选D　已知∀x∈(1，4]，由不等式x2-mx+m>0恒成立，得>m恒成立，因为==x-1++2≥2+2=4，当且仅当x-1=，即x=2时取等号，所以m<4，所以m<2是m<4的充分不必要条件. 8.若a>0，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值为 (　　) A.9 B.6 C.3 D.12 解析：选A　因为a>0，b>0，所以a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立.又ab=a+b+3，所以ab=a+b+3≥2+3，整理可得ab-2-3≥0，解得≥3或≤-1(舍去).所以≥3，所以ab≥9.所以当a=b=3时，ab的最小值为9. 细节、微点提醒 基本不等式链 若a>0，b>0，则≤≤≤ .其中和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. [课时跟踪检测] 1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是 (　　) A.a+b≥2 B.+≥2 C.≥2 D.a2+b2>2ab 解析：选C　因为和同号，所以=+≥2=2. 2.已知正数a，b满足a2+b2=13，则a的最大值为 (　　) A.6 B.8 C.4 D.11 解析：选B　∵a2+b2=13，∴a≤=8，当且仅当a=时等号成立. 3.已知命题p：∀x∈R，ex+e-x≥2，命题q：∃x∈(0，10)， >5，则 (　　) A.命题p与q均为真命题 B.命题p与􀱑q均为真命题 C.命题􀱑p与q均为真命题 D.命题􀱑p与􀱑q均为真命题 解析：选B　因为ex>0，所以ex+e-x≥2=2，当且仅当x=0时取等号，所以命题p为真命题，则􀱑p为假命题.因为≤=5，当且仅当x=5时取等号，所以命题q为假命题，则􀱑q为真命题. 4.若对x>0，y>0，有(x+2y)·≥m恒成立，则m的取值范围是 (　　) A.(-∞，4] B.(4，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，8] 解析：选D　因为x>0，y>0，所以(x+2y)·=2+++2≥4+2=8，当且仅当2y=x时取等号，所以m≤8，故选D. 5.(2024·北京通州三模)已知a>0，b>0，则“a2+b2>2”是“a+b>2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　不妨设a=1.5，b=0.4，此时满足a2+b2=2.25+0.16>2，但不满足a+b>2，充分性不成立.a+b>2两边平方得a2+2ab+b2>4，由基本不等式得2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时，等号成立，故a2+b2>4-2ab≥4-(a2+b2)，解得a2+b2>2，必要性成立，故“a2+b2>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.故选B. 6.设x>0，则函数y=-的最小值为 (　　) A.0 B. C.-1 D. 解析：选C　设2x+1=t，t>1，则x=，y=-=-=+-3≥2-3=-1，当且仅当=，即t=2，x=时等号成立.故选C. 7.[多选]已知a>0，b>0，且a+b=ab，则 (　　) A.(a-1)(b-1)=1 　B.ab的最大值为4 C.a+4b的最小值为9 　D.+的最小值为 解析：选ACD　由a+b=ab，得a(b-1)-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，故A正确；ab=a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，解得ab≥4，故B错误；由a+b=ab变形可得+=1，所以a+4b=(a+4b)=5++≥5+2=9，当且仅当a=2b且a+b=ab，即a=3，b=时取等号，故C正确；由a+b=ab，得a=，b>1，所以+=+=-+1=3+，因为<1，所以=，即b=3，a=时，+取最小值，故D正确.故选ACD. 8.已知x，y为正实数，则+的最小值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.8 解析：选C　由题得+=+，设=t(t>0)，则f(t)=t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6，当且仅当t=2，即y=2x时取等号.所以+的最小值为6.故选C. 9.设函数f(x)=4x-2x，若∃x∈(-∞，3]，使得f(x)<m·2x-3成立，则实数m的取值范围为 (　　) A.(2-1，3) B.(2-1，4) C.(，+∞) D.(2-1，+∞) 解析：选D　因为f(x)<m·2x-3可化为m>2x+3·-1，所以原问题等价于∃x∈(-∞，3]，使得m>2x+3·2-x-1成立，则当x∈(-∞，3]时，m>(2x+3·2-x-1)min.设h(x)=2x+3·2-x-1，x∈(-∞，3]，令t=2x，则t∈(0，8]，设p(t)=t+-1，t∈(0，8]，则p(t)≥2-1，当且仅当t=时取等号，所以当2x=时，h(x)取得最小值2-1.故m的取值范围是(2-1，+∞). 10.(2022·新课标Ⅱ卷)[多选]若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析：选BC　对于A、B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-1=3xy≤3，解得-2≤x+y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D，由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤，当且仅当x=y时取等号，所以x2+y2≤2，所以C正确，D不正确.故选BC. 11.若a>0，b>0，lg a+lg b=lg，则2ab的最小值为　　　　　.  解析：∵lg a+lg b=lg ab=lg(a+b)，∴ab=a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab≥4，从而2ab≥8，即2ab的最小值是8. 答案：8 12.若a，b∈(0，+∞)，a+b= b，则b的最小值为　　　　.  解析：因为a，b∈(0，+∞)，所以a+b≥2=2(，当且仅当a=b，即a=时等号成立.因为a+b=b，所以b≥2(，所以b≥16，当且仅当a=4时，b的最小值为16. 答案：16 13.已知x，y均为正数，x+2y=a，若xy的最大值为b，且1≤b≤2，则满足条件的一个实数a的值为　　　　　.  解析：因为x+2y=a≥2，所以xy≤，所以1≤b=≤2，所以8≤a2≤16.又易知a>0，所以2≤a≤4. 答案：4(答案不唯一) 14.已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求： (1)xy的最大值； (2)2x+y的最小值. 解：(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，令=t(t>0)，则t2+2t-30≤0，解得-5≤t≤3，又t>0，所以0<t≤3，即0<≤3，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，0<x<30，2x+y=2x+=2(x+2)+-5≥2-5=11，当且仅当2(x+2)=，即x=2时取等号，所以2x+y≥11，所以2x+y的最小值为11. 15.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=8-(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍. (1)计算k的值为多少，并将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少? 解：(1)依题意，当m=0时，x=8-k=4，得k=4，则x=8->0，所以y=×1.5x-(24+18x)-m=12+9x-m=12+72--m=84--m，其中m≥0，所以k=4，y=84--m(m≥0). (2)y=85-≤85-2=73，当且仅当m=5时取等号，所以该厂家2025年的促销费用投入5万元时，厂家的利润最大，最大利润为73万元. 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 课标要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式 (1)|x|>a(a>0)的解集为(-∞，-a)∪(a，+∞)； (2)|x|<a(a>0)的解集为(-a，a). [细作教材小题] 1.(苏教必修①P67·T5改编)已知集合A={0，1，2，4}，B={x|x2-6x+5<0}，则A∩B= (　　) A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，4} C.{0，1} D.{2，4} 解析：选D　由题意得B={x|x2-6x+5<0}={x|1<x<5}，∴A∩B={2，4}，故选D. 2.(人B必修①P75·T3改编)不等式≥0的解集为 (　　) A.{x|x≥1或x≤-1} 　B.{x|-1≤x≤1} C.{x|x≥1或x<-1} 　D.{x|-1≤x<1} 解析：选D　不等式等价于≤0，即(x+1)(x-1)≤0，且x-1≠0，解得-1≤x<1，故不等式的解集为{x|-1≤x<1}. 3.(人A必修①P58·T6改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对于一切x∈R恒成立，则k的取值范围为 (　　) A.(-3，0) B.(-∞，-3)∪(0，+∞) C.(-3，+∞) D.(0，+∞) 解析：选A　依题意可得k≠0，∵不等式2kx2+kx-<0对于一切x∈R恒成立，∴k<0且Δ=k2-4×2k×<0，解得-3<k<0，故k的取值范围是(-3，0). 4.(北师大必修①P41·T1改编)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集是，则a+b的值是　　　　.  解析：由题意知-是ax2+bx+1=0的两根，由根与系数的关系得 则a=-12，b=-1.所以a+b=-13. 答案：-13 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　不含参数的不等式的解法 [例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　) A.不等式-2x2+x+3<0的解集为 B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.不等式2x2-3|x|-35>0的解集为{x|x<-5或x>5} 解析：选ABD　因为方程-2x2+x+3=0的解为x1=，x2=-1，所以不等式-2x2+x+3<0的解集为，故A正确；因为-1≤0，即≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3≤x<2}，故B正确；由|x-2|≥1，得x-2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；2x2-3|x|-35>0，即2|x|2-3|x|-35>0，即(|x|-5)(2|x|+7)>0，解得|x|>5或|x|<-(舍去)，则x<-5或x>5，故D正确. |点拨·建模| 解不含参的一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式. (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根. (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 逐点清(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　已知关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1，m∈R，解这个关于x的不等式. 解：不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1变形为(mx+1)(x-1)<0，当m=0时，不等式为x-1<0⇒x<1，当m>0时，不等式可化为(x-1)<0，解得-<x<1，当-1<m<0时，->1，不等式可化为(x-1)>0，解得x>-或x<1，当m<-1时，-<1，不等式可化为(x-1)>0，解得x<-或x>1，当m=-1时，不等式可化为(x-1)2>0，解得x≠1. 综上可知，当m=0时，不等式的解集为{x|x<1}， 当m>0时，不等式的解集为， 当-1<m<0时，不等式的解集为，当m<-1时，不等式的解集为，当m=-1时，不等式的解集为{x|x≠1}. |点拨·建模|　求解含参的不等式，分类讨论的原则 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. [提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况. 逐点清(三)　三个二次之间的关系 [例3]　(多选)关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是 (　　) A.a<0 B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2) C.4a-2b+c>0 D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 解析：选BC　由已知可得a>0且-1，2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以A不正确；由根与系数的关系可得解得 则不等式bx+c>0可化为-ax-2a>0，即x+2<0，所以x<-2，所以B正确；因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0，所以C正确；不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，化为2x2-x-1<0，解不等式得-<x<1，故不等式cx2-bx+a>0的解集为，所以D不正确.故选BC. [例4]　(多选)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0，则下列说法正确的是 (　　) A.当m=3时，方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个充分条件是m>1 C.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 解析：选CD　当m=3时，方程为x2+3=0，此时方程无解，所以A错误；当方程x2+(m-3)x+m=0无实根时，Δ=(m-3)2-4m<0，得1<m<9，所以m>1是方程无实数根的一个必要条件，所以B错误；当方程x2+(m-3)x+m=0有两个正根时，解得0<m≤1，反之也成立，所以方程有两个正根的充要条件是0<m≤1，所以C正确；当方程x2+(m-3)x+m=0有一个正根和一个负根时，解得m<0，反之也成立，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0，所以D正确.故选CD. |点拨·建模|　不等式的解集与相应方程根的关系 (1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值； (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数. 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　一元二次不等式的解法 1.(2025·黔东南模拟)设集合A={x|x2-5x+4>0}，B={x|x-3<0}，则A∩B等于 (　　) A.(-∞，1) B.(-2，1) C.(-3，-1) D.(3，+∞) 解析：选A　由x2-5x+4>0，得x>4或x<1，即A={x|x>4或x<1}，B={x|x<3}，所以A∩B={x|x<1}=(-∞，1).故选A. 2.设x∈R，则“0≤x≤3”是“≤0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　由≤0⇒解得0≤x<2，由于0≤x<2是0≤x≤3的真子集，故“0≤x≤3”是“≤0”的必要不充分条件. 3.[多选]已知0<b<a+1，若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个，则a的值可以为 (　　) A.1 B. C.2 D.3 解析：选BC　因为(x-b)2>(ax)2，所以[(a-1)x+b][(a+1)x-b]<0，因为0<b<a+1，且解集中的整数恰有3个，所以a-1>0，故<x<.因为0<b<a+1，所以0<<1，从而-3≤<-2，则b>2(a-1)，3(a-1)≥b，因为0<b<a+1，所以a+1>b>2(a-1)，3(a-1)≥b>0，则1<a<3.故选BC. 4.解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0. 解：当a=0时，-x+1<0，解得x>1，不等式的解集为{x|x>1}；当a≠0时，分解因式a(x-1)<0，当a<0时，原不等式化为(x-1)>0，不等式的解集为；当a>0时，原不等式化为(x-1)<0，当0<a<1时，1<，不等式的解集为；当a>1时，<1，不等式的解集为；当a=1时，不等式的解集为∅.综上所述，当a<0时，不等式的解集为；当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为；当a=1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. 逐点验收(二)　三个二次之间的关系 5.[多选]已知关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则 (　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-8 C.-2<x1<x2<4 D.x2-x1>6 解析：选ABD　因为关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2-2x-8+a=0的两根，所以x1+x2=2，A正确；x1x2=a-8<-8，B正确；所以x2-x1==2>6，D正确；由x2-x1>6，可得-2<x1<x2<4是错误的，即C错误.故选ABD. 6.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，则不等式cx2+2x+a≤0的解集是 (　　) A. B.[-3，2] C.[-2，3] D. 解析：选B　因为不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，所以-是方程ax2+2x+c=0的两根，所以所以故cx2+2x+a≤0即2x2+2x-12≤0，也即x2+x-6≤0，所以(x+3)(x-2)≤0，所以-3≤x≤2，所以不等式cx2+2x+a≤0的解集是[-3，2].故选B. 7.已知x1，x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，那么+的最大值是 (　　) A.19 B.17 C. D.18 解析：选D　因为x1，x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，由根与系数的关系知x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5，所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.因为方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0有两个实根，所以Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-(3k+4)(k+4)≥0，解得-4≤k≤-.因此当k=-4时，+有最大值-(-4+5)2+19=18. 细节、微点提醒 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解： (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.不等式-2x2+x+3<0的解集为 (　　) A. B. C.(-∞，-1)∪ D.∪(1，+∞) 解析：选C　-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0，即(x+1)(2x-3)>0，解得x<-1或x>，即不等式的解集为(-∞，-1)∪.故选C. 2.不等式->-的解集为 (　　) A.{x|x<-2或x>1} 　　B.{x|x<-2} C.{x|x>1} 　　D.{x|-2<x<1} 解析：选D　因为->-，即>，可得<0，等价于(x-1)(x+2)<0，解得-2<x<1，所以不等式的解集为{x|-2<x<1}.故选D. 3.已知条件p：(x-m)(x-m-3)>0；条件q：x2+3x-4<0，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-7)∪(1，+∞) B.(-∞，-7]∪[1，+∞) C.(-7，1) D.[-7，1] 解析：选B　由q：x2+3x-4<0，得-4<x<1，由p：(x-m)(x-m-3)>0，得x<m或x>m+3，因为q是p的充分不必要条件，所以m+3≤-4或m≥1，解得m∈(-∞，-7]∪[1，+∞).故选B. 4.已知关于x的二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且m2-72m+720<0，则下列结论正确的是 (　　) A.整数m的值为4或12 B.整数m的值为12或24 C.整数m的值为24或40 D.整数m的值为40或60 解析：选C　解不等式 m2-72m+720<0，得 12<m<60 .又由 x2-2(m+1)x+m2=0，得 Δ=4(m+1)2-4m2=4(2m+1).因为此方程有整数根，所以Δ 为完全平方数，所以 m=24 或 m=40.当 m=24 时，原方程为 x2-50x+242=0，解得 x=32 或 x=18； 当 m=40 时，原方程为 x2-82x+402 =0，解得 x=50 或 x=32.故选C. 5.[多选]若x2-x-2<0是-2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选CD　由不等式x2-x-2=(x-2)(x+1)<0，解得-1<x<2，设为集合A=(-1，2)，因为x2-x-2<0是-2<x<a的充分不必要条件，设集合B=(-2，a)，可得集合A是B的真子集，所以a≥2，结合选项，可得C、D项符合题意.故选CD. 6.[多选]已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，则下列说法正确的是 (　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 解析：选AC　关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为(-∞，-3]∪[4，+∞)，所以二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向上，即a>0，故A正确；且方程ax2+bx+c=0的两根为-3，4， 由根与系数的关系得 解得bx+c>0⇔-ax-12a>0，由于a>0，所以x<-12，所以不等式bx+c>0的解集为{x|x<-12}，故B不正确；因为所以cx2-bx+a<0，即-12ax2+ax+a<0，所以12x2-x-1>0，解得x<-或x>，所以不等式cx2-bx+a<0的解集为，故C正确；a+b+c=a-a-12a=-12a<0，故D不正确.故选AC. 7.(2025·苏州质检)已知关于x的不等式ax2+bx+1>0的解集为(-∞，m)∪，其中m<0，则+的最小值为 (　　) A.-2 B.2 C.2 D.3 解析：选D　因为ax2+bx+1>0的解集为(-∞，m)∪，所以a>0，且m，是方程ax2+bx+1=0的两根，所以m·=，得a=1，所以m+=-=-b，即b=-，当m<0时，b=-=-m+≥2=2，当且仅当m=，即m=-1时取等号，令f(b)=+=b+(b≥2)，由对勾函数的性质可知函数f(b)在(2，+∞)上单调递增，所以f(b)≥f(2)=2+1=3，+的最小值为3.故选D. 8.[多选]已知关于x的方程mx2-mx+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<x2，则下列说法正确的是 (　　) A.m<0或m>4 B.若x1<0，则关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1<x<x2} C.若x1>0，则+-的最小值为3 D.若x1<0，则函数y=mx2-mx+1在x=时取得最大值 解析：选ABD　易知m≠0且Δ=m2-4m>0，所以m<0或m>4，故A正确；因为x1+x2=1，x1x2=，x1<0，所以x2>0，m<0，所以关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1<x<x2}，故B正确；因为x1>0，所以x2>0，m>0，则x1x2=≤=，又x1≠x2，所以<，解得m>4，+-=-+4x1x2=-1+4x1x2=m+-1≥3，当且仅当m=2时，等号成立，故C错误；因为x1<0时，m<0，二次函数y=mx2-mx+1的图象开口向下，且对称轴为直线x=，所以当x=时，二次函数y=mx2-mx+1取得最大值，故D正确.故选ABD. 9.已知关于x的一元二次不等式ax2+4x+3>0的解集为{x|b<x<1}，则a-b=　　　　.  解析：由题意可知，关于x的一元二次方程ax2+4x+3=0的根为b，1(b<1)，且a<0，可得解得所以a-b=(-7)-=-. 答案：- 10.若不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1<x<2}，则不等式>0的解集为　　　　.  解析：因为不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1<x<2}，所以且a<0，解得 所以>0可转化为>0⇔<0，解得<x<2. 答案： 11.关于x的不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的取值范围为　　　　　　　　.  解析：①当a=0时，不等式化为x<0，则解集中有无数个整数，不满足题意，当a≠0时，不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0的解集中恰有3个正整数解即为不等式(ax+1)(x-2a)<0的解集中恰有3个正整数解，②当a<0时，不等式(ax+1)(x-2a)<0的解集中有无数个正整数，不满足题意，③当a>0时，-<0，2a>0，所以-<2a，所以不等式的解集为，由解集知0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个正整数一定为1，2，3，则3<2a≤4⇒<a≤2. 答案： 12.若关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是　　　　.  解析：当m=0时，方程为2x+2=0，有一个负根，当m≠0时，mx2+2x+2=0为一元二次方程，关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负根，设根为x1，x2，当Δ=4-8m=0，即m=时，方程为x2+2x+2=0，解得x=-2，满足题意，当Δ=4-8m>0，即m<时，且m≠0时，若有一个负根，则x1x2=<0，解得m<0，若有两个负根，则解得0<m<.综上所述，实数m的取值范围是. 答案： 13.设x1，x2为关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0的两实数根. (1)若x1，x2满足+=18，试求m的值； (2)若x1，x2是均大于0的不等实数根，求m的取值范围. 解：(1)依题意，Δ=4(m+2)2-4(m2-1)≥0，∴m≥-，由根与系数的关系得x1+x2=2(m+2)，x1x2=m2-1，又+=-2x1x2=18，则4(m+2)2-2(m2-1)=18，解得m=0或m=-8，∵m≥-，∴m=0. (2)依题意Δ>0，∴m>-.又x1>0，x2>0， ∴即 解得m∈(1，+∞)∪. 14.已知关于x的不等式ax2+ax-x-1>0. (1)若此不等式的解集为{x|-2<x<-1}，求实数a的值； (2)若a∈R，解这个关于x的不等式. 解：(1)由题意不等式的解集为{x|-2<x<-1}，则x1=-2，x2=-1为方程ax2+ax-x-1=0⇔ax2+(a-1)x-1=0的两实数根，且a<0，由根与系数的关系可知，x1+x2=-=-3⇒a=-，x1x2=-=2⇒a=-，所以实数a=-. (2)当a=0时，不等式ax2+ax-x-1>0化为-x-1>0⇒x<-1，此时解集为(-∞，-1)， 当a≠0时，不等式ax2+ax-x-1>0化为(ax-1)(x+1)>0，此时方程(ax-1)(x+1)=0的两实数根为x1=，x2=-1，当a>0时，不等式可化为(x+1)>0，其解集为(-∞，-1)∪，当a<0时，不等式可化为(x+1)<0，当a=-1时，不等式的解集为∅，当-1<a<0时，<-1，不等式的解集为，当a<-1时，-1<，不等式的解集为.综上所述，当a=0时，不等式的解集为(-∞，-1)；当a>0时，不等式的解集为(-∞，-1)∪，当a=-1时，不等式的解集为∅，当-1<a<0时，不等式的解集为，当a<-1时，不等式的解集为. 15.已知y=kx2-2kx+2k-1. (1)若关于x的不等式y≥4k-2的解集为R，求实数k的取值范围； (2)方程y=0有两个不相等的实数根x1，x2， ①是否存在实数k使+=3x1x2-4成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若x1，x2均大于零，试求k的取值范围. 解：(1)由y≥4k-2可得kx2-2kx-2k+1≥0，又不等式解集为R，即kx2-2kx-2k+1≥0恒成立，当k=0时，原不等式为1≥0，满足题意； 当k≠0时，只需k>0且Δ=4k2-4k(-2k+1)=12k2-4k≤0，解得0<k≤.综上，0≤k≤.故k的取值范围为. (2)由题意，kx2-2kx+2k-1=0有两个不相等的实数根x1，x2，则Δ=4k2-4k(2k-1)>0，即k2-k<0，解得0<k<1，则x1+x2=2，x1x2=2-. ①若存在k满足条件，则+=-2x1x2=3x1x2-4，即8=5x1x2=10-，解得k=，不满足0<k<1， 故不存在k使+=3x1x2-4成立. ②若x1，x2均大于零，则只需x1x2=2->0， 解得k<0或k>，又0<k<1，所以<k<1. 故k的取值范围为. 第六节　一元二次不等式恒成立问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　一元二次不等式恒成立问题 题点1　在R上恒成立 [例1]　已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 (　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(-∞，0)∪(1，+∞) D.(-∞，0]∪[1，+∞) 解析：选A　当k=0时，不等式kx2-6kx+k+8≥0可化为8≥0，恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上所述，k的取值范围是[0，1]. |个性点拨|　一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2+bx+c>0 a>0，Δ<0 ax2+bx+c≥0 a>0，Δ≤0 ax2+bx+c<0 a<0，Δ<0 ax2+bx+c≤0 a<0，Δ≤0 题点2　在给定区间上恒成立 [例2]　已知当x>0时，不等式x2-mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，8) B.(-∞，8] C.[8，+∞) D.(8，+∞) 解析：选A　根据题意，当x>0时，不等式x2-mx+16>0恒成立，则m<=x+，x>0恒成立，只需m<即可.易知当x>0时，由基本不等式可得x+≥2=8，当且仅当x=4时取等号，所以=8，即m<8，所以实数m的取值范围是(-∞，8).故选A. [例3]　(2025·枣庄月考)已知函数f(x)=x2-4x-4，若f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  解析：∵f(x)=x2-4x-4且f(x)<1，∴x2-4x-4<1，解得-1<x<5，即x∈(-1，5).∵f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，∴(m-1，-2m)⊆(-1，5).∴解得0≤m<，即m∈. 答案： |个性点拨|　在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 题点3　给定参数范围的恒成立 [例4]　(2025·宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是 (　　) A.[-1，3] B.(-∞，-1] C.[3，+∞) D.(-∞，-1)∪(3，+∞) 解析：选D　不等式x2+px>4x+p-3，可化为(x-1)p+x2-4x+3>0，由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4)，可得∴x<-1或x>3. |个性点拨| 给定参数范围的恒成立问题的求解方法 给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零.同理，若f(x)<0恒成立⇔ 逐点清(二)　一元二次不等式能成立问题 [例5]　若∃x∈，使得3x2-λx+1≤0成立是假命题，则实数λ的可能取值是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.5 解析：选A　由题意得∀x∈，3x2-λx+1>0成立是真命题，故3x+>λ在x∈上恒成立，由基本不等式得y=3x+≥2=2，当且仅当3x=，即x=∈时，等号成立，故λ<2，故选A. [例6]　若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　若存在x∈(0，2]，由ax2-2x+3a<0，可得a(x2+3)<2x，则a<，因为=≤=，当且仅当x=(x>0)时，即当x=时，等号成立，所以当x∈(0，2]时，的最大值为，故a<.故选A. |点拨·建模| 在给定区间上的能成立(有解)问题的求解方法 一元二次不等式在给定区间上的有解问题，常用分离参数的方法，通过分离参数后利用a>f(x)在区间[m，n]上有解，则a>f(x)min，a<f(x)在区间[m，n]上有解，则a<f(x)max(对于a≥f(x)，a≤f(x)可类似处理)，有时也转化为求解最值问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　一元二次不等式恒成立问题 1.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R，则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2} 解析：选B　当a=2时，原不等式为-12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a-2<0，且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0，解得-1<a<2.综上，-1<a≤2，故a的取值范围为{a|-1<a≤2}. 2.当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-5] B.(-∞，-4) C.(-∞，5) D.[5，+∞) 解析：选A　当x∈(1，2)时，由x2+mx+4<0得m<-，则m<.令f(x)==x+，则根据对勾函数单调性知，f(x)在(1，2)上单调递减，所以x∈[1，2]时，f(x)max=f(1)=5，则>-5，所以m的取值范围是(-∞，-5].故选A. 3.当a∈(t1，t2)时，不等式<3对任意实数x恒成立，则t1+t2的值为 (　　) A.-7 B.6 C.7 D.8 解析：选B　由于1-x+x2=+>0，则不等式<3等价于4x2+(a-3)x+1>0，依题意，不等式4x2+(a-3)x+1>0对任意实数x恒成立，则Δ=(a-3)2-16<0，解得-1<a<7，于是t1=-1，t2=7，所以t1+t2=6.故选B. 4.已知a∈[-1，2]，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围为　　　　　　　　.  解析：设f(a)=(x-2)·a+x2-4x+4， 则即 解得x<0或x>3. 答案：(-∞，0)∪(3，+∞) 逐点验收(二)　一元二次不等式能成立问题 5.存在x∈[0，3]，使得不等式x2-4x-a≥0成立，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞，-3] B.(-∞，0] C.[-3，0] D.[0，3] 解析：选B　存在x∈[0，3]，使得不等式x2-4x-a≥0成立，等价于a≤.令y=x2-4x，x∈[0，3]，当x=0时，ymax=0，所以a≤0.故选B. 6.已知函数f(x)=mx2-mx-1，若存在x∈[1，3]，使f(x)<5-m成立，求实数m的取值范围. 解：由题意，可转化为存在x∈[1，3]，使m<成立.因为函数y==在[1，3]上的最大值为6，所以只需m<6即可，故m的取值范围是(-∞，6). 7.已知函数f(x)=x2-x+1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∃x∈[1，2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围. 解：(1)由题意得Δ=-4≤0，解得-4≤a≤4， ∴实数a的取值范围为[-4，4]. (2)由题意∃x∈[1，2]，使得≤x-成立.令g(x)=x-，x∈[1，2]，则g(x)在区间[1，2]上单调递增，∴g(x)max=g(2)=，∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(-∞，3]. 细节、微点提醒 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若不等式kx2+kx-<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 (　　) A.(-3，0) B.[-3，0) C.[-3，0] D.(-3，0] 解析：选D　当k=0时，-<0恒成立，即有k=0，符合题意；当k≠0时，解得-3<k<0，所以实数k的取值范围是(-3，0].故选D. 2.设a∈R，若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围为 (　　) A.(-∞，2] B.[2，+∞) C. D. 解析：选C　由x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤，由于=x+，而y=x+在[1，2]上单调递增，故当x=2时，x+取得最大值，故a≤. 3.若存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为 (　　) A.(-∞，2) B.(-∞，0]∪ C. D.(-∞，1) 解析：选C　①当m=0时，不等式化为2x<0，解得x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx2-(m-2)x+m为图象开口方向向上的二次函数，只需Δ=(m-2)2-4m2=-3m2-4m+4>0，即0<m<；③当m<0时，y=mx2-(m-2)x+m为图象开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立.综上所述，实数m的取值范围为. 4.已知条件q：“不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集”，则条件p：“-2≤a<1”是条件q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　因为不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，所以不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1<0的解集是R，当a2-4=0即a=±2 时，若a=2 ，则 4x-1<0，x<(舍去)；若a=-2 ，则 -1<0，x∈R ；当a2-4≠0时，则解得-2<a< .综上所述，-2≤a<，所以条件p是条件q的充分不必要条件.故选A. 5.若关于x的不等式x2-6x+11-a≤0在区间(2，5)内有解，则实数a的取值范围是 (　　) A.[6，+∞) B.(6，+∞) C.[2，+∞) D.(2，+∞) 解析：选C　由关于x的不等式x2-6x+11-a≤0在区间(2，5)内有解，得a≥x2-6x+11在区间(2，5)内有解，从而a大于x2-6x+11在区间(2，5)的最小值.令f(x)=x2-6x+11，x∈(2，5)，函数图象抛物线开口向上，对称轴方程为x=3，则f(x)在(2，3)上单调递减，在(3，5)上单调递增，则f(x)min=f(3)=9-18+11=2，得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，+∞). 6.对于所有的正实数x，y，都有x+≤a(x+y)成立，则整数a的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选B　由题设1+≤a，令t=>0，则1+t≤a(1+t2)⇒at2-t+a-1≥0，所以f(t)=at2-t+a-1≥0，在t∈(0，+∞)上恒成立，当a=0时，则f(t)=-t-1<0，不满足题设；当a≠0时，f(t)的对称轴为t=，只需可得a≥.综上，a≥，故整数a的最小值为2.故选B. 7.已知命题p：任意1≤x≤2，x2-a≥0，命题q：关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2，1) B.(1，+∞) C.(-∞，-2]∪{1} D.(-2，1)∪(1，+∞) 解析：选D　当命题p为真时，即∀x∈[1，2]，x2-a≥0，即当x∈[1，2]时，a≤，又当x=1时，x2取最小值1，即得a≤1，当命题q为真时，即关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解，所以Δ=4a2-4(2-a)≥0，所以a≤-2或a≥1，又命题p，q一真一假，当p真q假时，即所以-2<a<1，当p假q真时，即所以a>1.故实数a的取值范围是(-2，1)∪(1，+∞). 8.已知不等式(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)>0对于一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　因为4x2+4ax+1=4+1-a2，2x2+x+a=2+a-，令1-a2>0，即-1<a<1，此时4x2+4ax+1>0对于一切实数x恒成立，因此2x2+x+a>0对于一切实数x恒成立，所以a->0，即a>，故<a<1；当1-a2≤0时，关于x的方程4x2+4ax+1=0有实数解，即存在实数x使得(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)=0，不满足题意. 9.若不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A.[8，+∞) B.[12，+∞) C. D. 解析：选D　因为不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，所以a≥-2+10对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，令t=，因为1≤x≤2及2≤y≤3，所以1≤t≤3，则a≥-2t2+10t在上恒成立，因为g(t)=-2t2+10t=-2+的对称轴为t=∈，所以g(t)的最大值为g=，所以a≥，所以实数a的取值范围是. 10.(2025·洛阳阶段练习)对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y=x(y+1).若不等式x☉(x+a)+1>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是　　　　.  解析：由已知得x☉(x+a)+1=x(x+a+1)+1=x2+(a+1)x+1>0对任意实数x恒成立，所以Δ=(a+1)2-4<0，解得-3<a<1. 答案：(-3，1) 11.(2025·合肥模拟)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为　　　　.  解析：∵当x∈[1，3]时，x2+ax+4≥0恒成立，∴a≥-恒成立，又当x∈[1，3]时，x+≥2=4，当且仅当x=2时取等号，∴-≤-4，∴a≥-4，故a的最小值为-4. 答案：-4 12.(2025·淄博阶段练习)若命题“∃-1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题，则实数x的取值范围为　　　　　　　　　.  解析：由题意可得命题“∀-1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题，即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1，3]恒成立，则解得-1≤x≤0或≤x≤4，即实数x的取值范围为. 答案： 13.已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(-1，2]上恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立， 则Δ=(-3)2-4a<0，得a>， 所以实数a的取值范围是. (2)由题意知，a<-x2+3x在x∈(-1，2]上恒成立，则a<(-x2+3x)min，-x2+3x=-+，当x∈(-1，2]时，-x2+3x的范围为，所以a≤-4，则实数a的取值范围是(-∞，-4]. 14.关于x的不等式-x2+(a+3)x-3a>0，a∈R. (1)若a=2，求不等式的解集. (2)若∃x∈(3，+∞)时，不等式-x2+(a+3)x-3a≥4有解，求实数a的取值范围. 解：(1)当a=2时，-x2+5x-6>0，即x2-5x+6<0，(x-2)(x-3)<0，解得2<x<3，所以不等式的解集为(2，3). (2)由-x2+(a+3)x-3a≥4，得-x2+ax+3x-3a≥4，a(x-3)≥x2-3x+4，因为∃x∈(3，+∞)时，不等式-x2+(a+3)x-3a≥4有解，所以当x>3时，a≥==(x-3)++3有解，因为x>3，所以x-3>0， 所以(x-3)++3≥2+3=7，当且仅当x-3=，即x=5时取等号， 所以a≥7，即实数a的取值范围为[7，+∞). 15.已知函数f(x)=x2-(a+6)x+6(a∈R). (1)若∀x∈[1，4]，f(x)+a+8≥0恒成立，求a的取值范围； (2)已知g(x)=mx+7-3m，当a=1时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围. 解：(1)由题意得，x2-ax-6x+6+a+8≥0对于∀x∈[1，4]恒成立，∴ax-a≤x2-6x+14，即a(x-1)≤x2-6x+14在x∈[1，4]恒成立. ①当x=1时，0≤1-6+14=9，恒成立. ②当x≠1时，此时x∈(1，4]， 则a≤==(x-1)+-4在x∈(1，4]恒成立. ∴a≤(x-1)+-4在x∈(1，4]上的最小值， ∵(x-1)+-4≥2-4=2，当且仅当x-1=，即x=4时取等号，∴a≤2.故a的取值范围为(-∞，2]. (2)当a=1时，f(x)=x2-7x+6， 当x∈[1，4]时，f(x)=-， 则f(x)的值域为， ∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]， 使f(x1)=g(x2)成立， ∴f(x)的值域为g(x)值域的子集. ∵g(x)=mx+7-3m， ∴①当m>0时，g(x)∈[7-2m，m+7]， 则 ②当m<0时，g(x)∈[m+7，7-2m]， 则 ③当m=0时，g(x)=7，不符合题意. 综上，m≥或m≤-. 故m的取值范围为∪. 57 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$