第1章 第五节 二次函数与一元二次方程、不等式（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第五节 二次函数与一元二次方程、不等式 课标要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx +c(a>0)的图象 续表 方程ax2+bx+c =0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 _______________ R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ___________ _____ _____ {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.分式不等式 (1)>0(<0)⇔____________________； (2)≥0(≤0)⇔__________________________________. 3.简单的绝对值不等式 (1)|x|>a(a>0)的解集为____________________； (2)|x|<a(a>0)的解集为________. f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 (-∞，-a)∪(a，+∞) (-a，a) 1.(苏教必修①P67·T5改编)已知集合A={0，1，2，4}，B={x|x2-6x+5<0}，则A∩B= (　　) A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，4} C.{0，1} D.{2，4} 解析：由题意得B={x|x2-6x+5<0}={x|1<x<5}，∴A∩B={2，4}，故选D. 细作教材小题 √ 2.(人B必修①P75·T3改编)不等式≥0的解集为(　　) A.{x|x≥1或x≤-1} 　B.{x|-1≤x≤1} C.{x|x≥1或x<-1} 　D.{x|-1≤x<1} 解析：不等式等价于≤0，即(x+1)(x-1)≤0，且x-1≠0，解得 -1≤x<1，故不等式的解集为{x|-1≤x<1}. √ 3.(人A必修①P58·T6改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对于一切x∈R恒成立，则k的取值范围为(　　) A.(-3，0) B.(-∞，-3)∪(0，+∞) C.(-3，+∞) D.(0，+∞) 解析：依题意可得k≠0，∵不等式2kx2+kx-<0对于一切x∈R恒成立，∴k<0且Δ=k2-4×2k×<0，解得-3<k<0，故k的取值范围是(-3，0). √ 4.(北师大必修①P41·T1改编)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集是，则a+b的值是　　　.  解析：由题意知-是ax2+bx+1=0的两根，由根与系数的关系得则a=-12，b=-1.所以a+b=-13. -13 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　不含参数的不等式的解法 [例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　) A.不等式-2x2+x+3<0的解集为 B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.不等式2x2-3|x|-35>0的解集为{x|x<-5或x>5} √ √ 解析：因为方程-2x2+x+3=0的解为x1=，x2=-1，所以不等式-2x2 +x+3<0的解集为，故A正确；因为-1≤0，即≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3≤x<2}，故B正确；由|x-2|≥1，得x-2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；2x2-3|x|-35>0，即2|x|2-3|x|-35>0，即(|x|-5)(2|x|+7)>0，解得|x|>5或|x|<-(舍去)，则x<-5或x>5，故D正确. 解不含参的一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式. (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根. (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 点拨•建模 逐点清(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　已知关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1，m∈R，解这个关于x的不等式. 解：不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1变形为(mx+1)(x-1)<0，当m=0时，不等式为x-1<0⇒x<1，当m>0时，不等式可化为(x-1)<0，解得-<x<1，当-1<m<0时，->1，不等式可化为(x-1)>0，解得x>-或x<1，当m<-1时，-<1，不等式可化为(x-1)>0，解得x<-或x>1，当m=-1时，不等式可化为(x-1)2>0，解得x≠1. 综上可知，当m=0时，不等式的解集为{x|x<1}， 当m>0时，不等式的解集为， 当-1<m<0时，不等式的解集为， 当m<-1时，不等式的解集为， 当m=-1时，不等式的解集为{x|x≠1}. 求解含参的不等式，分类讨论的原则 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. [提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况. 点拨•建模 √ 逐点清(三)　三个二次之间的关系 [例3]　(多选)关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是 (　　) A.a<0 B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2) C.4a-2b+c>0 D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 √ 解析：由已知可得a>0且-1，2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以A不正确；由根与系数的关系可得解得 则不等式bx+c>0可化为-ax-2a>0，即x+2<0，所以x<-2，所以B正确；因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0，所以C正确；不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，化为2x2-x-1<0，解不等式得-<x<1，故不等式cx2-bx+a>0的解集为，所以D不正确.故选BC. [例4]　(多选)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0，则下列说法正确的是 (　　) A.当m=3时，方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个充分条件是m>1 C.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 √ √ 解析：当m=3时，方程为x2+3=0，此时方程无解，所以A错误；当方程x2+(m-3)x+m=0无实根时，Δ=(m-3)2-4m<0，得1<m<9，所以m>1是方程无实数根的一个必要条件，所以B错误；当方程x2+(m-3)x+m=0有两个正根时，解得0<m≤1，反之也成立，所以方程有两个正根的充要条件是0<m≤1，所以C正确； 当方程x2+(m-3)x+m=0有一个正根和一个负根时，解得m<0，反之也成立，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0，所以D正确.故选CD. 不等式的解集与相应方程根的关系 (1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值； (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　一元二次不等式的解法 1.(2025·黔东南模拟)设集合A={x|x2-5x+4>0}，B={x|x-3<0}，则A∩B等于(　　) A.(-∞，1) B.(-2，1) C.(-3，-1) D.(3，+∞) 解析：由x2-5x+4>0，得x>4或x<1，即A={x|x>4或x<1}，B={x|x<3}，所以A∩B={x|x<1}=(-∞，1).故选A. √ 2.设x∈R，则“0≤x≤3”是“≤0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由≤0⇒解得0≤x<2，由于0≤x<2是0≤x≤3的真子集，故“0≤x≤3”是“≤0”的必要不充分条件. √ 3.[多选]已知0<b<a+1，若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个，则a的值可以为 (　　) A.1 B. C.2 D.3 解析：因为(x-b)2>(ax)2，所以[(a-1)x+b][(a+1)x-b]<0，因为0<b <a+1，且解集中的整数恰有3个，所以a-1>0，故<x<.因为0<b<a+1，所以0<<1，从而-3≤<-2，则b>2(a-1)，3(a-1)≥b，因为0<b<a+1，所以a+1>b>2(a-1)，3(a-1)≥b>0，则1<a<3.故选BC. √ √ 4.解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0. 解：当a=0时，-x+1<0，解得x>1，不等式的解集为{x|x>1}； 当a≠0时，分解因式a(x-1)<0， 当a<0时，原不等式化为(x-1)>0，不等式的解集为； 当a>0时，原不等式化为(x-1)<0， 当0<a<1时，1<，不等式的解集为； 当a>1时，<1，不等式的解集为； 当a=1时，不等式的解集为∅. 综上所述，当a<0时，不等式的解集为； 当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a=1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 逐点验收(二)　三个二次之间的关系 5.[多选]已知关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则(　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-8 C.-2<x1<x2<4 D.x2-x1>6 √ √ √ 解析：因为关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)， 所以x1，x2是一元二次方程x2-2x-8+a=0的两根，所以x1+x2=2，A正确；x1x2 =a-8<-8，B正确；所以x2-x1==2>6，D正确；由x2-x1>6，可得-2<x1<x2<4是错误的，即C错误.故选ABD. 6.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，则不等式cx2+2x+a≤0的解集是(　　) A. B.[-3，2] C.[-2，3] D. √ 解析：因为不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，所以-是方程ax2+2x+c=0的两根，所以所以故cx2+2x+a≤0即2x2+2x-12≤0，也即x2+x-6≤0，所以(x+3)(x-2)≤0，所以-3≤x≤2，所以不等式cx2+2x+a≤0的解集是[-3，2]. 故选B. 7.已知x1，x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，那么+的最大值是(　　) A.19 B.17 C. D.18 解析：因为x1，x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，由根与系数的关系知x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5，所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.因为方程x2-(k-2)x+k2+ 3k+5=0有两个实根，所以Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-(3k+4)(k+4)≥0，解得 -4≤k≤-.因此当k=-4时，+有最大值-(-4+5)2+19=18. √ 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解： (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 细节、微点提醒 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（五）” (单击进入电子文档) $$