第1章 第四节 基本不等式（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第四节 基本不等式 课标要求 1.会用基本不等式解决简单的最值问题. 2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.基本不等式： ≤ (1)基本不等式成立的条件：___________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时，等号成立. (3)叫做正数a，b的____________，叫做正数a，b的____________. a>0，b>0 a=b 算术平均数 几何平均数 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥______，a，b∈R； (2)+≥2，ab>0； (3)ab≤，a，b∈R； (4)≥，a，b∈R. 2ab 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值_______. (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值______. [提醒]　利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2 S2 1.(苏教必修①P61·T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 解析：因为m>0，n>0，由基本不等式m+n≥2，得m+n≥18，当且仅当m=n=9时等号成立，所以m+n的最小值是18. 细作教材小题 √ 2.(北师大必修①P45·T1(4))已知a>b>0，则下列不等式成立的是 (　　) A.a>>>b B.a>b>> C.a>>b> D.a>>>b 解析：因为a>b>0，所以a>>b，又根据基本不等式可得，>，所以a>>>b. √ 3.(苏教必修①P61·T2)若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是 (　　) A.5 B.10 C.10 D.20 解析：设直角三角形的两条直角边边长为a，b，则a>0，b>0，直角三角形的面积为ab=50，故ab=100，则两条直角边的和a+b≥2 =2=20，当且仅当a=b=10时等号成立，故两条直角边的和的最小值是20. √ 4.(人A必修①P46·T3改编)当x=　　　时，x2+取得最小值　 　.  解析：x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，等号成立，则x2+的最小值为2. ±1 2 5.(人A必修①P48·T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值，则a=　　　.  解析：当x>2时，x-2>0，f(x)=x-2++2≥2+2=4，当且仅当x-2=(x>2)，即x=3时，取等号，即当f(x)取得最小值时，x=3，即a=3. 3 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　利用基本不等式求最值 方法1　配凑法 [例1]　设实数x满足x>0，则函数y=2+3x+的最小值为(　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 解析：∵x>0，∴x+1>1，∴y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1) +-1≥2-1=4-1，当且仅当3(x+1)=，即x=-1 时，等号成立，∴函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A. [例2]　已知0<x<，则x的最大值为　　　.  解析：∵0<x<，∴x2>0，1-2x2>0，∴x=· =·≤·=，当且仅当2x2=1-2x2，即x=时等号成立，故x的最大值为. 配凑法的使用原则 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法. 个性点拨 方法2　常数代换法 [例3]　已知x>0，y>0，若x+y=xy，则2x+y的最小值是(　　) A.2 B.4 C.3+2 D.3+4 解析：由题意，x>0，y>0，x+y=xy，∴+=1，∴2x+y= (2x+y)=2+++1≥3+2=3+2，当且仅当=， 即x=+1，y=+1时等号成立，故选C. √ [例4]　已知a，b>0，且a，b为一元二次方程x2-2x+c=0的两根，则+的最小值为　　　.  解析：由a和b为一元二次方程x2-2x+c=0的两根，得a+b=2，则+=·(a+b)=·≥=，当且仅当=，即a=，b=时等号成立，所以+的最小值为. 常数代换法的使用原则 常数代换法，主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求+的最值”的问题，先将+转化为·，再用基本不等式求最值. 个性点拨 方法3　消元法 [例5]　(2025·郑州模拟)已知x>0，y>0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为　　　.  解析：法一：换元消元法 由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·，当且仅当x=3y，即x=3，y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0，令x+3y=t，则t>0且t2+12t-108≥0，得t≥6，即x+3y的最小值为6. 6 法二：代入消元法 由x+3y+xy=9，得x=， 所以x+3y=+3y=== =3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6， 当且仅当3(1+y)=，即y=1，x=3时取等号，即x+3y的最小值为6. 利用消元法求最值的技巧 (1)消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围. (2)灵活运用ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. (3)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 个性点拨 逐点清(二)　利用基本不等式解决实际问题 [例6]　为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用P(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：P=(x∈R，0≤x≤8).若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元.设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和. (1)求m的值及用x表示S； 解：依题意，每年的能源消耗费用为P=，而当x=0时，P=9， 则=9，解得m=15，显然建造费用为8x， 所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为 S=40P+8x=40×+8x=+8x(0≤x≤8). (2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值. 解：由(1)知S=+8x=+2(4x+5)-10≥2-10=2×60-10=110， 当且仅当=2(4x+5)，即x=6.25时取等号， 所以当隔热层的厚度为6.25 cm时，总费用S取得最小值110万元. 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 点拨•建模 √ 逐点清(三)　基本不等式的综合应用 [例7]　已知f(x)=ex，若a>0，b>0，且f·f(2b)=e2，则+的最小值为(　　) A.9 B. C.3 D.1 解析：因为f(x)=ex，若a>0，b>0，且f·f(2b)=e2， 所以f·f=ea+2b=e2⇒a+2b=2， 则+==≥=，当且仅当a=b=时取等号. [例8]　对任意的正实数x，y，+≤k恒成立，则k的最小值为(　　) A. B. C.2 D. √ 解析：依题意得k≥恒成立，故k≥. 因为=，2=2≤5x+y， 所以=≤=6， 当且仅当y=5x时，等号成立，所以的最大值为， 所以k≥，即k的最小值为. (1)对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值； (2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　利用基本不等式求最值 1.已知x>2，则函数y=x+的最小值是(　　) A.2 B.2+2 C.2 D.+2 解析：由题意可知，x-2>0，∴y=(x-2)++2≥2 +2=+2，当且仅当x=2+时，等号成立，∴函数y=x+(x>2)的最小值为+2. √ 2.已知函数y=(x<1)，当x=a时，y取最大值b，则a+b的值为(　　) A.8 B.-4 C.4 D.0 √ 解析：因为x<1，所以1-x>0，所以y==x+=x-1++1= -+1≤-2+1=-3，当且仅当1-x=，即x=-1时等号成立，所以当x=-1时，y取最大值-3，即a=-1，b=-3，所以a+b=-4.故选B. 3.(2025·东莞模拟)[多选]若a>0，b>0，a+b=4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 (　　) A.的最大值为2 　B.+的最大值为2 C.+b2的最小值为4 　D.+的最小值为2 √ √ 解析：对于A，∵a>0，b>0，∴ab≤=4，当且仅当a=b=2时等号成立，故≤2，故A正确； 对于B，(+)2=a+b+2=4+2≤4+2×2=8，当且仅当a=b=2时等号成立，故+≤2，故B错误；对于C，由题意得b=4-a>0，∴0<a<4，+b2=+(4-a)2=a2-8a+16，根据二次函数的性质可知，当a=3时，上式取得最小值4，故C正确；对于D，∵a+b=4，a>0，b>0，∴+=(a+b)=≥=，当且仅当=，即a=，b=时等号成立，故D错误.故选AC. 4.(2025·郑州模拟)设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 解析：因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，所以==≤=1，当且仅当=，即x=y时，等号成立，故的最大值为1. √ 逐点验收(二)　利用基本不等式解决实际问题 5.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为 矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面 分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形 且GH=2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm)，设EF=x cm. (1)当x=60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长； 解：设阴影部分直角三角形的高为y cm，所以阴影部分的面积S=6×xy=3xy=36 000，所以xy=12 000，又x=60，故y=200，由题图可知AD=y+20=220 cm，AB=3x+50=230 cm.海报纸的周长为2×(220+230)=900 cm.故海报纸的周长为900 cm. (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 解：由(1)知xy=12 000，x>0，y>0，SABCD=(3x+50)(y+20) =3xy+60x+50y+1 000≥3xy+2+1 000=49 000，当且仅当6x=5y，即x=100 cm，y=120 cm时等号成立，此时，AB=350 cm，AD=140 cm.故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少. 逐点验收(三)　基本不等式的综合应用 6.(2025·安庆联考)已知函数f(x)=log2(ax+b)(a>0，b>0)恒过定点(2，0)，则+的最小值为(　　) A.2+1 B.2 C.3 D.+2 √ 解析：由题意可知2a+b=1，则+=+=++1≥2 +1=2+1，当且仅当a=，b=-1时取等号，所以+的最小值为2+1，故选A. 7.“∀x∈(1，4]，不等式x2-mx+m>0恒成立”的充分不必要条件是 (　　) A.m>4 B.m< C.m<4 D.m<2 √ 解析：已知∀x∈(1，4]，由不等式x2-mx+m>0恒成立，得>m恒成立，因为==x-1++2≥2+2=4，当且仅当x-1=，即x=2时取等号，所以m<4，所以m<2是m<4的充分不必要条件. 8.若a>0，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值为 (　　) A.9 B.6 C.3 D.12 解析：因为a>0，b>0，所以a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立.又ab=a+b+3，所以ab=a+b+3≥2+3，整理可得ab-2-3≥0，解得≥3或≤-1(舍去).所以≥3，所以ab≥9.所以当a=b=3时，ab的最小值为9. √ 基本不等式链 若a>0，b>0，则≤≤≤ .其中和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 细节、微点提醒 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档) $$