第1章 第六节 一元二次不等式恒成立问题（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第六节 一元二次不等式恒成立问题 目录 01.互动课堂——解题思维建模 02.即练即评——课堂效果评价 2 互动课堂——解题思维建模 01 √ 逐点清(一)　一元二次不等式恒成立问题 题点1　在R上恒成立 [例1]　已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(-∞，0)∪(1，+∞) D.(-∞，0]∪[1，+∞) 解析：当k=0时，不等式kx2-6kx+k+8≥0可化为8≥0，恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上所述，k的取值范围是[0，1]. 一元二次不等式在R上恒成立的条件 个性点拨 不等式类型 恒成立条件 ax2+bx+c>0 a>0，Δ<0 ax2+bx+c≥0 a>0，Δ≤0 ax2+bx+c<0 a<0，Δ<0 ax2+bx+c≤0 a<0，Δ≤0 题点2　在给定区间上恒成立 [例2]　已知当x>0时，不等式x2-mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，8) B.(-∞，8] C.[8，+∞) D.(8，+∞) √ 解析：根据题意，当x>0时，不等式x2-mx+16>0恒成立，则m<=x+，x>0恒成立，只需m<即可.易知当x>0时，由基本不等式可得x+≥2=8，当且仅当x=4时取等号，所以=8，即m<8，所以实数m的取值范围是(-∞，8).故选A. [例3]　(2025·枣庄月考)已知函数f(x)=x2-4x-4，若f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，则实数m的取值范围是　 　　.  解析：∵f(x)=x2-4x-4且f(x)<1，∴x2-4x-4<1，解得-1<x<5，即x∈(-1，5).∵f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，∴(m-1，-2m)⊆(-1，5).∴解得0≤m<，即m∈. 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 个性点拨 题点3　给定参数范围的恒成立 [例4]　(2025·宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[-1，3] B.(-∞，-1] C.[3，+∞) D.(-∞，-1)∪(3，+∞) 解析：不等式x2+px>4x+p-3，可化为(x-1)p+x2-4x+3>0，由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4)，可得∴x<-1或x>3. √ 给定参数范围的恒成立问题的求解方法 给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零.同理，若f(x)<0恒成立⇔ 个性点拨 √ 逐点清(二)　一元二次不等式能成立问题 [例5]　若∃x∈，使得3x2-λx+1≤0成立是假命题，则实数λ的可能取值是(　　) A.2 B.2 C.4 D.5 解析：由题意得∀x∈，3x2-λx+1>0成立是真命题，故3x+ >λ在x∈上恒成立，由基本不等式得y=3x+≥2=2，当且仅当3x=，即x=∈时，等号成立，故λ<2，故选A. [例6]　若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：若存在x∈(0，2]，由ax2-2x+3a<0，可得a(x2+3)<2x，则a<，因为=≤=，当且仅当x=(x>0)时，即当x=时，等号成立，所以当x∈(0，2]时，的最大值为，故a<.故选A. √ 在给定区间上的能成立(有解)问题的求解方法 一元二次不等式在给定区间上的有解问题，常用分离参数的方法，通过分离参数后利用a>f(x)在区间[m，n]上有解，则a>f(x)min，a<f(x)在区间[m，n]上有解，则a<f(x)max(对于a≥f(x)，a≤f(x)可类似处理)，有时也转化为求解最值问题. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 02 逐点验收(一)　一元二次不等式恒成立问题 1.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2} 解析：当a=2时，原不等式为-12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a-2<0，且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0，解得-1<a<2.综上，-1<a≤2，故a的取值范围为{a|-1<a≤2}. √ 2.当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-5] B.(-∞，-4) C.(-∞，5) D.[5，+∞) 解析：当x∈(1，2)时，由x2+mx+4<0得m<-，则m<.令f(x)==x+，则根据对勾函数单调性知，f(x)在(1，2)上单调递减，所以x∈[1，2]时，f(x)max=f(1)=5，则>-5，所以m的取值范围是(-∞，-5].故选A. √ 3.当a∈(t1，t2)时，不等式<3对任意实数x恒成立，则t1+t2的值为(　　) A.-7 B.6 C.7 D.8 解析：由于1-x+x2=+>0，则不等式<3等价于4x2+(a-3)x+1>0，依题意，不等式4x2+(a-3)x+1>0对任意实数x恒成立，则Δ=(a-3)2-16<0，解得-1<a<7，于是t1=-1，t2=7，所以t1+t2=6.故选B. √ 4.已知a∈[-1，2]，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围为　　　　　 .  解析：设f(a)=(x-2)·a+x2-4x+4， 则即 解得x<0或x>3. (-∞，0)∪(3，+∞) 逐点验收(二)　一元二次不等式能成立问题 5.存在x∈[0，3]，使得不等式x2-4x-a≥0成立，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，-3] B.(-∞，0] C.[-3，0] D.[0，3] 解析：存在x∈[0，3]，使得不等式x2-4x-a≥0成立，等价于a≤ .令y=x2-4x，x∈[0，3]，当x=0时，ymax=0，所以a≤0.故选B. √ 6.已知函数f(x)=mx2-mx-1，若存在x∈[1，3]，使f(x)<5-m成立，求实数m的取值范围. 解：由题意，可转化为存在x∈[1，3]，使m<成立.因为函数y==在[1，3]上的最大值为6，所以只需m<6即可，故m的取值范围是(-∞，6). 7.已知函数f(x)=x2-x+1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围； 解：由题意得Δ=-4≤0，解得-4≤a≤4， ∴实数a的取值范围为[-4，4]. (2)若∃x∈[1，2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围. 解：由题意∃x∈[1，2]，使得≤x-成立.令g(x)=x-，x∈[1，2]，则g(x)在区间[1，2]上单调递增，∴g(x)max=g(2)=，∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(-∞，3]. 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 细节、微点提醒 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六）” (单击进入电子文档) $$