第1章 第二节 常用逻辑用语（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第二节 常用逻辑用语 课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的_____条件，q是p的_____条件 p是q的____________条件 p⇒q且q p p是q的____________条件 p q且q⇒p p是q的_____条件 p⇔q p是q的__________________条件 p q且q p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示. ∀ ∃ 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ______________ _______________ 否定 ∃x∈M，􀱑p(x) ________，􀱑p(x) ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M 细作教材小题 √ 1.(人A必修①P30·例4(1)改编)[多选]已知命题p：∀x∈R，x+2≤0，则 (　　) A.p是真命题 B.􀱑p：∀x∈R，x+2>0 C.􀱑p是真命题 D.􀱑p：∃x∈R，x+2>0 √ 2.(人A必修①P22·T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 3.(苏教必修①P47·T10)若命题“∀x∈R，x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，1] B.(-∞，1) C.[1，+∞) D.(1，+∞) √ 4.(苏教必修①P47·T3)命题“∃x∈R，2x2-x+3=0”的否定是　　 　　　.  5.(人B必修①P38·T5改编)已知A=(-∞，a]，B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为　　 　　.  ∀x∈R，2x2-x+3≠0 (-∞，3) 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　充分、必要条件的判定 [例1]　已知x∈R，则“0<ln x≤”是“≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由0<ln x≤，得1<x≤，记集合A={x|1<x≤}，由≤1⇒≤0⇒(x-1)(x-2)≤0且x≠1，解得1<x≤2，记集合B={x|1<x≤2}，所以A⫋B，则“0<ln x≤”是“≤1”的充分不必要条件. [例2]　(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b；由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C. √ [例3]　(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，当a=(1，1)，b=(-1，1)时，|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，故充分性不成立；当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0，故必要性成立.所以“(a+b)· (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. √ 充分、必要条件的3种判定方法 点拨•建模 定义法 根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断 集合法 根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断 等价 转化法 对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止 √ 逐点清(二)　充分、必要条件的应用 [例4]　(2025·济南模拟)已知p：1<2x<4，q：x2-ax-1<0，若p是q的充分不必要条件，则 (　　) A.a≥ B.0<a≤ C.a>2 D.0<a≤2 解析：命题p：1<2x<4，即p：0<x<2，因为p是q的充分不必要条件，显然当x=0时满足q：x2-ax-1<0，所以当0<x<2时x2-ax-1<0恒成立，则a>x-在x∈(0，2)上恒成立，又函数f(x)=x-在(0，2)上单调递增，且f(2)=，所以a≥. [例5]　(2025·西安阶段练习)[多选]已知集合A={x|-x2+5x+6>0}，B={x|-k<x<2k+1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数k的可能取值为 (　　) A.-2 B. C. D.2 √ √ 解析：由题意集合A={x|-x2+5x+6>0}=(-1，6)，B={x|-k<x<2k+1}，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故B是A的真子集.当B=∅时，则-k≥2k+1，即k≤-时，符合题意，当B≠∅时，则或所以-<k≤1.综上，实数k的取值范围为(-∞，1]，结合选项可知A、B符合题意. 由充分、必要条件求参数范围的策略 点拨•建模 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值 慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 √ 逐点清(三)　全称量词与存在量词 题点1　含量词命题的否定 [例6]　(多选)已知命题p：∃x∈Q，∈Q，命题q：∀x∈Q，∈Q，则(　　) A.p的否定是q B.p的否定是∀x∈Q，∉Q C.q的否定是p D.q的否定是∃x∈Q，∉Q 解析：p的否定是∀x∈Q，∉Q.q的否定是∃x∈Q，∉Q. √ 全称量词命题与存在量词命题的否定 个性点拨 改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 否定结论 对原命题的结论进行否定 题点2　含量词命题真假的判断 [例7]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 √ 解析：法一　对于p，由|x+1|>1，得x2+2x>0，解得x>0或x<-2，显然∀x∈R，|x+1|>1不恒成立，所以命题p为假命题，􀱑p为真命题.对于q，由x3=x，解得x=0或x=1或x=-1，所以∃x>0使得x3=x，所以q是真命题. 法二　对于p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，􀱑p是真命题.对于q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，􀱑q是假命题.综上，􀱑p和q都是真命题. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 个性点拨 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 题点3　由命题的真假求参数 [例8]　若命题“∃x∈R，使x2-x-m=0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：因为“∃x∈R，使x2-x-m=0”是真命题，所以Δ=1-4×(-m)≥0，解得m≥-.故选C. √ [例9]　若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A. B.- C. D.- √ 解析：因为“∃x∈，sin x<m”是假命题，所以“∀x∈ ，m≤sin x”是真命题，即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min，因为y=sin x在上单调递增，所以当x=-时，y=sin x最小，其最小值为y=sin=-sin=-，所以m≤-，所以实数m的最大值为-. 由命题真假求参数范围的策略 (1)直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围； (2)利用等价命题，即p与􀱑p的关系，转化成􀱑p的真假求参数的范围. 个性点拨 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　充分、必要条件的判定及应用 1.“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由x为整数能推出2x+1为整数，故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分条件，由x=，得2x+1为整数不能推出x为整数，故“x为整数”不是“2x+1为整数”的必要条件.综上所述，“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.故选A. √ 2.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 解析：法一　若a2=b2，则当a=-b≠0时，有a2+b2=2a2，2ab=-2a2，即a2+b2≠2ab，所以由a2=b2 a2+b2=2ab；若a2+b2=2ab，则有a2+b2-2ab=0，即(a-b)2=0，所以a=b，则有a2=b2，即a2+b2=2ab⇒a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 法二　因为“a2=b2”⇔“a=-b或a=b”，“a2+b2=2ab”⇔“a=b”，所以本题可以转化为判断“a=-b或a=b”与“a=b”的关系，又“a=-b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件，所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 3.已知条件p：-1≤x≤3，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 (　　) A.{a|a>3} B.{a|a≥3} C.{a|a<-1} D.{a|a≤-1} 解析：因为p是q的充分不必要条件，则{x|-1≤x≤3}⫋{x|x>a}，于是a<-1，所以a的取值范围是{a|a<-1}.故选C. √ 4.已知集合A=或x>2}，B={x|2a≤x≤a+3}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.  解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，当B=∅时满足题意，即2a>a+3，所以a>3；当B≠∅时，或解得a<-4或1<a≤3.综上可得，实数a的取值范围是 (-∞，-4)∪(1，+∞). (-∞，-4)∪(1，+∞) 逐点验收(二)　全称量词与存在量词 5.命题“∀x>1，x2-x>0”的否定是(　　) A.∃x≤1，x2-x>0 B.∀x>1，x2-x≤0 C.∃x>1，x2-x≤0 D.∀x≤1，x2-x>0 解析：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“∀x>1，x2-x>0”的否定是∃x>1，x2-x≤0.故选C. √ 6.[多选]下列四个命题，是真命题的为 (　　) A.有些不相似的三角形面积相等 B.∃x∈Q，x2=2 C.∃x∈R，x2+1=0 D.有一个实数的倒数是它本身 √ √ 解析：选项A，有些不相似的三角形面积相等，如：等底等高的直角三角形与正三角形不相似，面积相等，∴A为真命题；选项B，x2=2⇔x=±，命题“∃x∈Q，x=±”是假命题，∴B为假命题；选项C，命题“∃x∈R，x2+1=0”，它的否定是“∀x∈R，x2+1≠0”，是真命题，∴C为假命题；选项D，存在实数1，它的倒数是它本身，∴D为真命题.故选AD. 7.若命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　 　. 解析：命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3或a<-1，故实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(3，+∞). (-∞，-1)∪(3，+∞) (1)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”等价于“若p，则q”为真命题. (2)p是q的充分不必要条件，等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. (3)命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 细节、微点提醒 (4)充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}. ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的必要条件，则B⊆A； ③若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； ④若p是q的必要不充分条件，则A⫌B； ⑤若p是q的充要条件，则A=B. 口诀：小充分，大必要. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二）” (单击进入电子文档) $$