第10章 第九节 “概率与统计”的综合问题（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第九节 “概率与统计”的综合问题 目录 01.考法(一)　概率与统计及统计案例的综合 02.考法(二)　概率与函数的综合 03.考法(三)　概率与数列的综合 2 [例1]　(2025·沈阳模拟)某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如图所示的频率分布直方图. 考法(一)　概率与统计及统计案例的综合 (1)求a的值以及这批零件内径的平均数和方差s2；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 解：由1.0×0.1+a×0.1+3.5×0.1+3.0×0.1+0.5×0.1=1， 则a=2.0，这批零件内径的平均数=×(1.0×0.1)+×(2.0×0.1)+×(3.5×0.1)+×(3.0×0.1)+×(0.5×0.1)=2.4×0.1+2.5×0.2+2.6×0.35+2.7×0.3+2.8×0.05=2.6， 这批零件内径的方差s2=(2.4-2.6)2×0.1+(2.5-2.6)2×0.2+(2.6-2.6)2 ×0.35+(2.7-2.6)2×0.3+(2.8-2.6)2×0.05=0.011. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间[2.45，2.55)内的零件个数为Z，求Z的分布列以及数学期望； 解：由题意知，Z的可能取值为0，1，2，3，4， 则P(Z=0)=×(0.8)4×(0.2)0=0.409 6， P(Z=1)=×(0.8)3×(0.2)1=0.409 6， P(Z=2)=×(0.8)2×(0.2)2=0.153 6， P(Z=3)=×(0.8)1×(0.2)3=0.025 6， P(Z=4)=×(0.8)0×(0.2)4=0.001 6， 因此可得Z的分布列为 则Z的数学期望E(Z)=0.409 6×0+0.409 6×1+0.153 6×2+0.025 6×3+0.001 6×4=0.8. Z 0 1 2 3 4 P 0.409 6 0.409 6 0.153 6 0.025 6 0.001 6 (3)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，现以频率分布直方图中的平均数作为μ的估计值，频率分布直方图中的标准差s作为σ的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间[2.285，2.705]上的零件个数为Y，求Y的方差. 参考数据：≈0.105，若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ) ≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解：由题意知μ==2.6，σ==≈0.105， 又2.285=μ-3σ，2.705=μ+σ， 则P(μ-3σ≤X≤μ+σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈+=0.84， 由二项分布的定义知Y~B(200，0.84)， 由二项分布的方差公式知 D(Y)=200×0.84×(1-0.84)=26.88. 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件. 点拨•建模 　[针对训练] 1.(2025·马鞍山模拟)强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节. (1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标x和分析判断力测试指标y进行统计分析，得到下表数据： 请用样本相关系数判断该组数据中y与x之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；(样本相关系数精确到0.01) x 7 9 10 11 13 y 3 4 5 6 7 解：由题意，可得=×(7+9+10+11+13)=10，=×(3+4+5+6+7)=5， (xi-)(yi-)=(-3)×(-2)+(-1)×(-1)+0+1×1+3×2=14， =(-3)2+(-1)2+0+12+32=20， =(-2)2+(-1)2+0+12+22=10， 所以r= ==≈0.99>0.75， 所以y与x之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合. (2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立.若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为m，，其中0<m<1.若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求m的取值范围. 参考数据： =520， =135，≈1.414. 一般地，|r|>0.75时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系. 解：设通过甲高校的考试科目数为X，则X~B，所以E(X)=3×=.设通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，则P(Y=0)=(1-m)·×=，P(Y=1)=m·×+(1-m)·×+(1-m)·× =，P(Y=2)=m·×+m×+(1-m)·×=，P(Y=3)=m·×=， 则E(Y)=0×+1×+2×+3×=. 由题意知，E(X)<E(Y)，即<，解得m>.又因为0<m<1，所以m的取值范围为. [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 考法(二)　概率与函数的综合 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； 解：由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%，所以95<c<100. 设X为患病者的该指标， 则p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%， 解得c=97.5. 设Y为未患病者的该指标， 则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%. (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值. 解：当95≤c≤100时，p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19， q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01， 所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82；当100<c≤105时， p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19， q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21， 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. 综上所述，f(c)= 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减， 在(100，105]上单调递增， 作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)， 可得f(c)在区间[95，105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. 通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式.解决此类问题，应注意两个问题： (1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键； (2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制. 点拨•建模 [针对训练] 2.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3). (1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)； 解： E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1. (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1； 解：证明：法一　p0+p1x+p2x2+p3x3-x=0，x>0.令f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x，f'(x)=p1+2p2x+3p3x2-1，f″(x)=2p2+6p3x≥0， ∴f'(x)在(0，+∞)上单调递增. ①当E(X)=p1+2p2+3p3≤1时，在x∈(0，1]上，f'(x)≤f'(1)=p1+2p2+3p3-1≤0，∴f(x)在(0，1]上单调递减，注意到f(1)=0，∴f(x)在x∈(0，1]上有唯一零点x=1，即p=1. ②当E(X)=p1+2p2+3p3>1时， 注意到f'(0)=p1-1<0，f'(1)=p1+2p2+3p3-1>0，且f'(x)在(0，+∞)上单调递增. ∴存在唯一x0∈(0，1)，使得f'(x0)=0， 当0<x<x0时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x0<x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增. ∵f(0)=p0>0，f(1)=0，∴f(x0)<f(1)=0， ∴f(x)在(0，x0)上有唯一零点x1，∴p=x1<1. 法二　由题意知p0+p1+p2+p3=1， E(X)=p1+2p2+3p3. 由p0+p1x+p2x2+p3x3=x⇒p0+p2x2+p3x3-(1-p1)x=0， ∴p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0⇒p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0⇒(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0. 令f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0，f(x)的对称轴为x=-<0. 注意到f(0)=-p0<0，f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1. 当E(X)≤1，即f(1)≤0时，f(x)的正实根x0≥1， 原方程的最小正实根p=1； 当E(X)>1，即f(1)>0时，f(x)的正实根x0<1， 原方程的最小正实根p=x0<1. (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. 解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能. [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率. 解：设“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1) =0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.故第2次投篮的人是乙的概率为0.6. 考法(三)　概率与数列的综合 (2)求第i次投篮的人是甲的概率. 解：设“第i次投篮的人是甲的概率”为pi，由题意可知p1=，pi+1=pi×0.6+(1-pi)×(1-0.8)，即pi+1=0.4pi+0.2=pi+，所以pi+1-=，又p1-=-=，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以pi-=×，所以pi=+×. 故第i次投篮的人是甲的概率为+×. (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1，2，…，n，则E= qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). 解：设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0，1，当Xi=0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi=1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi=1)=pi，P(Xi=0)=1-pi，所以E(Xi)=pi. Y=X1+X2+X3+…+Xn， 则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn， 由(2)知，pi=+×， 所以E(Y)=p1+p2+p3+…+pn =+× =+×=+×. 概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为 点拨•建模 精准定性 明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则 准确建模 通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题 解决模型 也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式 [针对训练] 3.(2025·内江模拟)夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复.(提示：设An表示第n天选择绿豆汤) (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率； 解：该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为×=. (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； 解：设A1表示第1天选择绿豆汤，A2表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得P(A1)=，P()=，P(A2|A1)=，P(A2|)=1-=， 所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=. (3)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为Pn，求出Pn的通项公式. 解：设An表示第n天选择绿豆汤，则Pn=P(An)，P()=1-Pn， 根据题意得P(An+1|An)=，P(An+1|)=1-=， 由全概率公式，得P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P()P(An+1|) =Pn+(1-Pn)=-Pn+，即Pn+1=-Pn+， 整理得Pn+1-=-， 又P1-=≠0， 所以是以为首项， -为公比的等比数列.所以Pn-=×， 所以Pn=×+. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（七十六）” (单击进入电子文档) $$