第10章 第二节 排列与组合（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第二节 排列与组合 课标要求 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合 一定的顺序 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 不同排列 不同组合 3.排列数、组合数的公式及性质 (1)公式：①=_____________________=； ②== =(n，m∈N*，且m≤n). 特别地，=1. (2)性质：①0!=_____；=_____； ②==__________. n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 1 n! + 1.(人A选必修③P26·T4(2)改编)从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是 (　　) A. B. C.35 D.53 解析：根据题意，从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，是排列问题，有种不同方法. 细作教材小题 √ 2.(人A选必修③P25·例7改编)有100件产品，98件正品，2件次品，从中任抽3件，恰有1件是次品，则有多少种抽法?下列式子正确的是 (　　) A. B. C. D. 解析：有100件产品，98件正品，2件次品，从中任抽3件，恰有1件是次品，不同的抽法种数为=. √ 3.(苏教选必修②P77·例5改编)房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有　　　　种不同的方法.  31 4.(苏教选必修②P96·T6)今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有　　　　种不同的方法(用数字作答).  解析：分两步完成，第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球，共种排法；第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，共种排法，故将这5只球排成一列，有·=10种不同的方法. 10 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　排列问题 [例1]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)排成前后两排，前排3人，后排4人； 解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，共有=5 040(种). (2)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； 解：法一：特殊元素优先法　先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×=3 600(种). 法二：特殊位置优先法　左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其余5人有种排法，共有=3 600(种). (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； 解：法一：特殊元素优先法　甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，有种不同排法，共有+=3 720(种). 法二：间接法　7个人全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有-2+=3 720(种). (4)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定. 解：由于甲、乙、丙的顺序一定， 则满足条件的站法共有=840(种). 求解排列问题的注意点 (1)一般贯彻特殊元素或特殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列. (2)应用捆绑法时注意小团体内部的排列，应用插空法时注意与“相间排列”的区别. (3)正难则反，注意排除法等的应用. 点拨•建模 √ 逐点清(二)　组合问题 [例2]　(2025·成都模拟)某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有 (　　) A.420种 B.840种 C.476种 D.896种 解析：由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有=28种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有=6种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有=5种，由分步乘法计算原理可知，共有28×6×5=840种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有=56种.由分类加法计数原理可知，总情况一共有840+56=896种. [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　种(用数字作答).  解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有++=64(种). 64 组合问题的两种题型及解法 点拨•建模 题型 解法 “含有”或“不含有”某些元素的组合 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 “至少”或“至多”含有几个元素的组合 解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 √ 逐点清(三)　排列、组合的综合问题 题点1　相邻问题与相间问题 [例4]　(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 解析：先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有=24种，故选B. [例5]　某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是　　　.  解析：安排小品节目和相声节目的顺序有三种：(小品1，小品2，相声)，(小品1，相声，小品2)，(相声，小品1，小品2).对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有=36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，3个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有= 48(种)安排方法.故共有36+36+48=120(种)安排方法. 120 相邻、相间问题的解题策略 (1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. (2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. 个性点拨 题点2　特殊元素问题 [例6]　某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有　　　种.  解析：若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有=240种情况；若甲不参加，乙不参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，此时有=120种情况；若甲不参加，乙参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，此时有=240种情况.故共有240+120+240=600种情况. 600 “特殊”优先原则 (1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素. (2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置. (3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数. 个性点拨 题点3　分组、分配问题 [例7]　(部分均分)将4名学生志愿者分配到A，B，C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有　　　　种.  解析：根据题意，分2步进行分析：①将4名学生分为3组，两组均为1人，一组为2人，共有=6种分组方法，②将分好的3组安排到3个社区参加志愿活动，有=6种情况，则有6×6=36种分配方案. 36 [例8]　(整体均分)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有　　　　种.(用数字作答)  解析：根据题意可得不同的安排方案共有·=1 680(种). 1 680 [例9]　(不等分组)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有　　　种不同的分配方式.  解析：先将6本不同的书分成1本一份，2本一份，3本一份，共有种方法，由于甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，共有=360(种)分配方式. 360 分组、分配问题的求解策略 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数. (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m!，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数. (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数. 个性点拨 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　排列、组合的简单应用 1.源于探索外太空的渴望，我国航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，航天员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，航天员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　) A.18种 B.36种 C.72种 D.108种 √ 解析：先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序选两个放A，B，共有种放法；再排剩余的3道程序，共有种放法.则共有·=36(种)放法. 2.(2025·深圳模拟)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 (　　) A.24 B.18 C.12 D.6 解析：根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有=3×2=6种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2×6=12.故选C. √ 3.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有=6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有=20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20=120(种)选法，故选C. √ 4.(2024·保定二模)某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有 (　　) A.56种 B.64种 C.72种 D.86种 解析：若乙担任数学课代表，则不同的安排方式共有·=48种；若丙担任数学课代表，则不同的安排方式共有··=24种，所以不同的安排方式共有48+24=72种. √ 逐点验收(二)　排列、组合的综合问题 5.5名同学到甲、乙、丙、丁四个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆且所有同学都被安排完，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有(　　) A.12种 B.60种 C.120种 D.240种 解析：第一步：将5个同学分为4组，即2，1，1，1，共有种分法；第二步：将4组分配给4个场馆，共有种分法，所以共有·=240种. √ 6.(2025·重庆模拟)第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛(CCF NOI2024)于2024年7月16~21日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有 (　　) A.108种 B.114种 C.150种 D.240种 √ 解析：5名新教师按3∶1∶1分组有种分法，按2∶2∶1分组有种分法，因此5名新教师的安排方案有种，当甲、乙在同一组时，甲、乙可视为1个人，即相当于4名教师的安排方案，有种，所以所求不同的安排方案有-=25×6-6×6=114(种). 7.为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“中国大学选修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一、高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式有 (　　) A.30种 B.20种 C.15种 D.16种 解析：将五门课程分为两组，每组的数量分别为1，4或2，3，然后将这两组课程分配给高一、高二两个学年，所以每位同学不同的选修方式种数为(+)×=30. √ 8.国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字1，2，3，4，5，6，7的7张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有　　　种.(用数字作答)  解析：门卡标有偶数数字包含2，4，6，奇数数字包含1，3，5，7，若四位游客都没有拿到偶数数字门卡共有=24种；若四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡，有=288种.故共有24+288=312种. 312 应用排列与组合解题时的注意点 (1)元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. (2)①排列数与组合数之间的联系为=. ②排列问题与分步乘法计数原理问题的区别：排列要从“n个不同的对象中取出m个对象”，即在排列问题中，对象不能重复选取，而在分步乘法计数原理中，对象可以重复选取. 细节、微点提醒 (3)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. (4)对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六十九）” (单击进入电子文档) $$