第10章 第八节 二项分布、超几何分布与正态分布（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第八节 二项分布、超几何分布与正态分布 课标要求 1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.了解正态分布的均值、方差及其含义. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.n重伯努利试验 概念 将一个伯努利试验(只包含两个可能结果的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验 特性 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立 2.二项分布 (1)概念： 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=_____________，k=0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (2)均值与方差：E(X)=___，D(X)=________. pk(1-p)n-k np np(1-p) 3.超几何分布 (1)概念：假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分 布列为P(X=k)=__________，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布. (2)特点：从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素，X表示其中的特殊元素的个数. (3)均值：E(X)=____=np. 4.正态分布 (1)正态曲线的定义： f(x)=，x∈R，其中 μ∈R，σ>0为参数，称f(x)为正态密度函数，函数f(x)的图象为_________________，简称正态曲线. (2)正态曲线的特点： ①曲线是单峰的，它关于直线_____对称. ②曲线在_______处达到峰值. 正态密度曲线 x=μ x=μ ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. ④曲线与x轴围成的面积总为__. ⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，曲线越“胖”；σ越小，曲线越“瘦”，如图②所示. 1 (3)正态分布的定义及表示： ①定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=，则称随机变量X服从正态分布，记为______________.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. ②服从正态分布的随机变量的均值与方差： 若X~N(μ，σ2)，则E(X)=___，D(X)=____. ③3σ原则 如果X~N(μ，σ2)，那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤ μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. X~N(μ，σ2) μ σ2 1.(人A选必修③P77·T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为 (　　) A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45 细作教材小题 √ 2.(苏教选必修②P146·T10)如果随机变量X~N(2，σ2)，且P(X≤4)=0.8，那么P(X≤0)的值为 (　　) A.0.2 B.0.32 C.0.4 D.0.8 解析：已知随机变量X~N(2，σ2)，P(X≤4)=0.8，则P(X≥4)=0.2，根据正态密度曲线的对称性得出P(X≤0)=P(X≥4)=0.2.故选A. √ 3.(人A选必修③P80·T2改编)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为______.  解析：设甲班恰有X人被选到，则X服从超几何分布，且N=12，M=4，n=4，∴P(X=2)==. 4.(人B选必修②P89·T1改编)已知随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n，p)，且E(X)=7，D(X)=6，则p的值为_____.  互动课堂——解题思维建模 02 题点1　n重伯努利试验的概率 [例1]　(2025·马鞍山模拟)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点(0，0)出发，每隔1 s等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于(2，4)的概率为(　　) A. B. C. D. √ 逐点清(一)　n重伯努利试验与二项分布 解析：质点从原点(0，0)出发，移动6次后位于(2，4)，则质点向右移动2次，向上移动4次，由此质点移动6次后位于(2，4)的概率为××=. [例2]　(2025·抚州模拟)袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和不是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好3人获奖的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：从袋子中一次性摸出两个球，共有=15种情况，其中两个号码的和为3的倍数的有(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，共5种情况，∴一个人摸球，能够获奖的概率为1-=，∴5人参与摸球，恰好3人获奖的概率P=××=. n重伯努利试验概率求解的策略 (1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解. (2)解此类题时常用互斥事件概率的加法公式，相互独立事件概率的乘法公式及对立事件的概率公式. 个性点拨 题点2　二项分布 [例3]　某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种. (1)当n取何值时，有4个坑需要补种的概率最大?最大概率为多少? 解：由题意可知每个坑要补种的概率P=×+××=，则n个坑中有4个坑要补种的概率为.欲使最大， 只需 解得7≤n≤8.因为n∈N*，所以n=7或n=8. 当n=7时，=，当n=8时，=， 所以当n=7或n=8时，有4个坑要补种的概率最大，最大概率为. (2)当n=5时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列及数学期望. 解：易知X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X~B，则 P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)===，P(X=3)===， P(X=4)==，P(X=5)==， 所以X的分布列为 E(X)=5×=. X 0 1 2 3 4 5 P 二项分布满足的条件 (1)在每次试验中，事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时，每次试验概率都是相同的)； (2)各次试验中的事件是相互独立的； (3)每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生； (4)随机变量是这n重伯努利试验中事件发生的次数. 个性点拨 题点1　超几何分布及概率计算 [例4]　一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概率为的事件是(　　) A.没有白球 B.至少有一个白球 C.至少有一个红球 D.至多有一个白球 √ 逐点清(二)　超几何分布 解析：表示从30个球中任取两个球的不同取法的种数，表示从30个球中任取两个球且两球是一红一白的不同取法的种数，表示从4个白球中任取两个球的不同取法的种数，故为从30个球中任取两个球，至少有一个白球的概率.故选B. [例5]　(多选)袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论正确的是 (　　) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 √ √ 解析：根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误；取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；取出2个白球的概率为=，故C错误；若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为=，故D正确. 超几何分布的特点和应用条件 (1)特点：①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量表示抽到的某类个体的个数. (2)应用条件：①两类不同的对象(物品、人或事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体. 个性点拨 题点2　超几何分布的分布列 [例6]　某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N*)个人数超过1 000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； 解：由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法种数是，其中全是大集团的方法种数是，故全是大集团的概率是= =，整理得9n2-39n-30=0，解得n=5或n=-(舍去).若2个全是大集团，共有=10种情况；若2个全是小集团，共有=3种情况.故全为小集团的概率为=. (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望. 解：由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==；故X的分布列为 数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=. X 0 1 2 3 P 求超几何分布的分布列的步骤 个性点拨 第一步 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值 第二步 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率 第三步 用表格的形式列出分布列 [例7]　辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3+1+2”的新高考模式.“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩.为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试.在所有入考考生中有30 000人选考物理，考后物理成绩X(满分100分)服从正态分布N(55，102). 逐点清(三)　正态分布 (1)分别估计成绩在[45，65]和75分以上者的人数.(运算过程中精确到0.000 1，最后结果保留整数) 解：因为X~N(55，102)，所以μ=55，σ=10， 又P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，所以P(45≤X≤65)≈0.682 7，所以成绩在[45，65]的人数约为30 000×0.682 7=20 481， 由正态曲线的对称性可得P(35≤X≤75)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ 0.954 5，则P(X>75)=≈0.022 8， 所以成绩在75分以上的人数约为30 000×0.022 8=684. (2)本次考试物理成绩X服从正态分布N(μ，σ2).令η=，则η~N(0，1)，若本次考试物理成绩的前25%划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分?(结果保留整数) 附：①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. ②若η~N(0，1)，则P(η<0.8)≈0.75. 解：设该划线分为m，由X~N(55，102)，得μ=55，σ=10， 则η==≥， 由题意η~N(0，1)，P(η<0.8)≈0.75，所以P(η≥0.8)≈0.25， 所以≈0.8，解得m≈63. 所以估计物理优秀等级划线分为63分. 解决正态分布问题的3个关键点 (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　n重伯努利试验与二项分布 1.某批产品正品率为，次品率为，抽取5件产品恰有3次抽到正品的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：由题意可知，抽取5件产品，恰有3次抽到正品，则有2次抽到次品，根据n重伯努利试验的概率公式可知，所求事件的概率为. √ 2.(2025·淮安模拟)某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数ξ满足P(ξ=n)=k·n(n=1，2，3，4，5)，每个箱子中所放奖品的个数相互独立.游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品.每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏.甲、乙两人依次参与该游戏. (1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率； 解：因为每个箱子中放入的奖品个数ξ满足P(ξ=n)=k·n(n=1，2，3，4，5)，所以k·(1+2+3+4+5)=1，则k=，所以ξ的分布列为 设事件A为甲能从1号箱子中取走一个奖品， 则P(A)=P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=+=，所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为. ξ 1 2 3 4 5 P (2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为X，求X的分布列与数学期望； 解：X=0，1，2，3，4，因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为，所以X~B，所以P(X=m)=··，m=0，1，2，3，4，则X的分布列为 所以X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. X 0 1 2 3 4 P (3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为Y，求Y的数学期望. 解：乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5个奖品， 即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为p=P(ξ=5)=， 所以Y~B，所以Y的数学期望为E(Y)=4×=. 逐点验收(二)　超几何分布 3.(2025·绵阳模拟)[多选]某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14，21，14，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查.已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则下列说法正确的是(　　) A.从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2，3，2 B.随机变量X~B C.随机变量X的数学期望为 D.若事件A=“抽取的3人都感兴趣”，则P(A)= √ √ √ 解析：设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x，y，z人， 则===，所以x=2，y=3，z=2， 所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2，3，2，所以A正确；随机变量X的取值为1，2，3， 则P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==， 所以随机变量X的分布列为 所以B错误；由期望公式可得随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=，所以C正确； 因为P(A)=P(X=3)=，所以D正确. X 1 2 3 P 4.(2025·北京西城模拟)某校设计了一个实验学科的实验考查方案.考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是.求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算数学期望； 解：设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==， 所以ξ的分布列为 则E(ξ)=1×+2×+3×=2. ξ 1 2 3 P 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知η~B， 所以P(η=0)=×=，P(η=1)=××=， P(η=2)=××=，P(η=3)=×=， 所以η的分布列为 则E(η)=3×=2. η 0 1 2 3 P (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 解：由(1)知E(ξ)=E(η)=2，D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=，D(η)=3××=，P(ξ≥2)=+=，P(η≥2)=+=， 所以D(ξ)<D(η)，P(ξ≥2)>P(η≥2)， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大. 逐点验收(三)　正态分布 5.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 √ √ 解析：依题可知X~N(1.8，0.12)，Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)= P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.8，C正确，D错误；P(X>2)= P(X>1.8+2×0.1)，因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2，而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2，B正确，A错误.故选BC. 6.(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=_____.  解析：因为X~N(2，σ2)，所以P(X>2)=0.5， 所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 0.14 7.(2025·深圳模拟)“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生的考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2 000，考试满分为400分.记考生的成绩为X，且X~N(μ，σ2)，已知所有考生考试的平均成绩μ=180，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求σ的值.(结果保留整数) 解：依题意X~N(180，σ2)，令Y=，则Y~N(0，1)， 所以可得P(X≥360)==，P(X<360)=1-=0.985， P≈0.985，又因为P(Y<2.17)≈0.985， 则≈2.17，解得σ≈83. (2)该单位的最低录取分数约是多少?(结果保留整数) 解：由(1)可得X~N(180，832)， 设最低录取分数为x0， 则P(X≥x0)=P==， P=1-=0.85，≈1.04，所以x0≈266.32， 即最低录取分数线为266分. (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由. 附：①当X~N(μ，σ2)时，令Y=，则Y~N(0，1). ②当Y~N(0，1)，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 解：考生甲的成绩为286分>267分， 所以甲能被录取的概率为P(X<286)=P=P(Y<1.28)≈0.900， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1-0.900=0.100，约有2 000×0.100=200人， 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以甲能获得高薪. 1.(1)当X~B(n，p)时，P(X=k)的最大值： 若(n+1)p是正整数，则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时，P(X=k)取得最大值. 若(n+1)p不是正整数，则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时，P(X=k)取得最大值. (2)若X~N(μ，σ2)，则P(X<a)=1-P(X≥a)，P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 2.若X服从正态分布，即X~N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题. 细节、微点提醒 3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=pk(1-p)n-k的三个条件： (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p； (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的； (3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（七十五）” (单击进入电子文档) $$