第9章 第一节 随机抽样与统计图表（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第九章 统计与成对数据的统计分析 第一节 随机抽样与统计图表 课标要求 1.知道获取数据的基本途径，了解总体、样本、样本量的概念及数据的随机性. 2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法，了解样本与总体的关系. 3.了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 4.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述.体会合理利用统计图表的重要性. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 4 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.总体与样本 (1)总体与样本的概念:统计的研究对象是数据，获取数据的方法有__________和_________，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为______，从总体中抽取的部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为__________. 全面调查 抽样调查 个体 样本容量 (2)总体与样本的均值：总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则总体均值=_________________=__________，从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则样本均值=_______________=______________. Yi yi 2.简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回地抽取. (2)每个个体被抽到的概率相等. (3)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数法. (4)适用条件：个体间差异不大，抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于个体数较多的情况. (5)实施注意点：抽签法的关键是________________；随机数法要注意剔除______的编号. 将号签充分搅拌 重复 3.分层随机抽样 (1)概念：按一个或多个变量把总体划分成__________________，每个个体属于且仅属于一个子总体(层)，在每个子总体(层)中独立地进行_________抽样，再把所有子总体(层)中抽取的样本合在一起作为总样本. (2)适用条件：从某一个变量的角度看，个体间差异大，根据该变量分层后，每一层内个体差异不大. (3)实施注意点：为保证样本的代表性，常用比例分配的分层随机抽样：=. 若干个子总体(层) 简单随机 (4)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差：利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为n1，均值为，方差为；第二层的样本量为n2，均值为，方差为，则总的样本均值=__________________，总的样本方差s2=___________________________________. + [+(-)2]+[+(-)2] 4.作频率分布直方图的步骤 (1)求______(即一组数据中最大值与最小值的差). (2)决定组距与组数. (3)将______分组. (4)列频率分布表. (5)画频率分布直方图. 极差 数据 5.其他统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的______ 条形图和 直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 描述数据随______的变化趋势 比例 时间 1.(苏教必修②P271·T8改编)某企业2024年 年度营业费用情况如图所示，则下面说法正确 的是 (　　) A.基本工资占比最高 B.奖金高于基本工资 C.加班费与包装费相同 D.以上都不对 细作教材小题 √ 2.(人A必修②P189·T5改编)一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为 (　　) A.16 B.14 C.28 D.12 解析：因为每个个体被抽到的概率等于=，所以根据分层随机抽样方法原理可得样本中男运动员的人数为56×=16. √ 3.(北师大必修①P172·例5改编)某校高一年级有女生504人，男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为49 kg，60个男生的平均体重为57 kg，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为 (　　) A. B.×49+×57 C.×49+×57 D.×49+×57 √ 解析：高一年级有女生504人，男生596人，总人数为504+596= 1 100，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样，不能直接用样本平均数估计总体平均数，需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，即× 49+×57，即D选项最合理. 4.(人A必修②P198·T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图. (1)直方图中x的值为　　　　；  (2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为　　　.  0.004 4 70 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　抽样方法 题点1　简单随机抽样 [例1]　下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(　　) A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B.从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D.为了解某地区某传染病的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计 解析：A项，总体容量较大，有明显的层次性，如男女生在身高、体重等方面有较大差异，宜采用分层随机抽样方法；B项，总体容量较大，且各村庄人口、地域、发展等方面有差异，收入可能有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法；C项，总体个数少，家访活动学生个体平等，且无明显差异，宜采用简单随机抽样方法；D项，总体容量大，不同年龄的人传染病发病情况不同，有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法.综上比较，最适合用简单随机抽样方法的是C. [例2]　某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为 (　　) 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 75 36 A.07 B.40 C.35 D.23 √ 解析：重复的号码只能算作一个，抽取样本号码是24，36，38，07，35，23，18，05，20，15，所以抽取样本的第6个号码为23. (1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况). (2)简单随机抽样中每个个体被抽中的可能性是相等的. 个性点拨 题点2　分层随机抽样 [例3]　(2025·汉中模拟)中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11∶7∶2的比例录取.若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为(　　) A.150 B.110 C.70 D.20 解析：由于分层随机抽样比为11∶7∶2，则200个人中，中卷录取人数为200×=20. √ [例4]　某学校高一男生、女生的人数之比为4∶5，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若样本中男生的平均身高为171 cm，女生的平均身高为160.2 cm，则该校高一学生平均身高的估计值为　　　cm.  解析：依题意，设样本中高一男生人数为4x，则样本中高一女生的人数为5x，故4x+5x=90，解得x=10，则样本中高一男生人数为40，高一女生的人数为50，所以样本中高一学生平均身高为=165 cm，故该校高一学生平均身高的估计值为165 cm. 165 分层随机抽样中有关计算的方法 (1)抽样比==. (2)在比例分配的分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为. 个性点拨 逐点清(二)　扇形图、折线图、条形图 [例5]　(2025·朔州模拟)如图是一个病人在5月1日和5月2日48小时内的体温记录折线图，根据此图，下列叙述不正确的是 (　　) A.每六小时为病人测量一次体温 B.病人在5月1日6—12时体温下降最快 C.病人在5月2日18时体温是37.2 ℃ D.病人在5月1日18时至5月2日18时体温一直在下降 解析：根据折线统计图，对于A，每六小时为病人测量一次体温，故A正确；对于B，病人在5月1日6—12时体温下降最快，故B正确；对于C，病人在5月2日18时体温是37.2 ℃，故C正确；对于D，病人在5月2日12—18时体温略有上升，故D不正确. √ [例6]　(多选)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下面结论正确的是 (　　) A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 √ √ √ 解析：设新农村建设前的收入为M，则新农村建设后的收入为2M，新农村建设前种植收入为0.6M，新农村建设后种植收入为0.74M，故种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%+28%=58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确. 常见的能够反映实际情况的统计图有条形图、折线图、扇形图等.扇形图中每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比；折线图能够很直观地体现数据随时间的变化情况；条形图可以直观地体现各数据之间的数量关系.具体的应用中要能够准确掌握各个统计图的功能，同时要能够准确理解试题的环境含义. 点拨•建模 逐点清(三)　频率分布直方图及其应用 [例7]　(2025·天津模拟)要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在[120，140)之间的学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，应从[120，130)间抽取人数为b，则 (　　) A.a=0.025，b=2 B.a=0.025，b=3 C.a=0.030，b=4 D.a=0.030，b=3 √ 解析：由题得10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1，所以a=0.030.在[120，130)之间的学生有100×10×0.030=30人，在[130，140)之间的学生有100×10×0.020=20人，在[120，140)之间的学生有50人，又用分层随机抽样的方法在[120，140)之间的学生50人中抽取5人，则抽样比为，所以成绩在[120，130)之间的学生中抽取的人数应为30×=3，即b=3.故选D. [例8]　(多选)民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是 (　　) √ A.样本数据落在区间[300，500)内的频率为0.45 B.若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C.若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D.根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 √ 解析：对于A，由(0.001+0.001 5+0.002+0.000 5+2a)×100=1，得a=0.002 5，所以数据落在区间[300，500)内的频率为(0.002+0.002 5) ×100=0.45，A正确；对于B，数据落在区间[200，500)内的频率为(0.001+0.002+0.002 5)×100=0.55，B正确；对于C，n=100，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是100×(0.002 5+0.002 5+0.001 5 +0.000 5)=0.7，所以符合条件的民营企业有0.7×100=70家，C错误；对于D，数据落在区间[200，400)内的频率为(0.001+0.002)×100=0.3，数据落在区间[200，500)内的频率为(0.001+0.002+0.002 5)×100=0.55，估计中位数为400+×100=480，D错误. 从频率分布直方图中得出有关数据的方法 点拨•建模 频率 频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=组距×，即各小长方形的面积表示相应各组的频率 性质 应用 若纵轴上存在待求参数值，则根据“所有小长方形的高之和×组距=1”列方程即可求得 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　抽样方法 1.利用简单随机抽样，不放回地从n(n>10)个个体中抽取一个样本量为10的样本，每次抽取1个，第一次抽取后，余下的每个个体被抽到的概率均为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率均为(　　) A. B. C. D. 解析：由题意知=，解得n=28.由简单随机抽样中每个个体被抽到的概率相等，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率均为=. √ 2.(2025·南通模拟)某单位有管理人员、业务人员、后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层随机抽样的方法从管理人员、业务人员、后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为　　　　.  解析：若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，则抽取的业务人员有24人.又抽取的后勤人员比业务人员少20人，所以抽取的后勤人员有4人，所以=，解得m=170. 170 3.某学校高一年级共有3个班，1班有30人，优秀率为30%，2班有35人，优秀率为60%，3班有35人，优秀率为40%，则该校高一年级学生的优秀率为　　　　.  解析：由题意知，该校高一年级学生的优秀率为 =44%. 44% 逐点验收(二)　扇形图、折线图、条形图 4.(2025·长沙模拟)2023年袁隆平“超级稻”突破亩产1 200 kg，再次刷新了杂交水稻单季亩产世界纪录.已知甲、乙两种杂交水稻在面积相等的两块试验田中连续6年的产量如图所示，则(　　) A.甲的平均产量高于乙的平均产量 B.甲的最高产量高于乙的最高产量 C.甲的产量更稳定 D.乙的产量更稳定 √ 解析：甲的平均产量为×(1 020+958+980+1 150+910+1 200)= ≈1 036 kg，乙的平均产量为×(1 116+1 090+1 120+1 058+ 1 132+1 251)=≈1 128 kg>1 036 kg，A错误；甲的最高产量为 1 200 kg，乙的最高产量为1 251 kg，B错误；由折线图可知甲的波动更大，所以乙的产量更稳定，C错误，D正确. 5.[多选]某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式. 并将收集的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是(　　) A.扇形图中D的占比最小 B.条形图中A和C一样高 C.无法计算扇形图中A的占比 D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 √ √ √ 解析：由条形图知，自行乘车上学的有42人，家人接送上学的有30人，其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人.设结伴步行上学的有x人，由扇形图知，结伴步行上学与自行乘车上学的学生共占60%，所以=，解得x=30，故条形图中A，C一样高；扇形图中A的占比与C一样，都为25%；A和C共占50%，即估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送；扇形图中D的占比最小. 逐点验收(三)　频率分布直方图及其应用 6.采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 频数 2 3 x 5 y 2 已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为 (　　) A.0.70 B.0.50 C.0.25 D.0.20 √ 解析：由题意得，=0.35， 解得x=4， 则y=20-2-3-4-5-2=4， 故所求频率为=0.20. 7.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 则下面结论不正确的是 (　　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 √ 解析：由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为0.02+0.04=0.06，所以A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为0.02+0.02+0.02+0.04=0.10，所以B正确；由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02+ 4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5，所以C不正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率约为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5，所以D正确.故选C. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六十五）” (单击进入电子文档) $$