第9章 第三节 成对数据的统计分析（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第三节 成对数据的统计分析 课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3.会用一元线性回归模型进行预测. 4.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.变量的相关关系 定义 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去_____地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系 正相关、 负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现______的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现______的趋势，则称这两个变量负相关 线性 相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在__________附近，则称这两个变量线性相关 精确 增加 减少 一条直线 2.样本相关系数 计算 公式 r= .r为变量x和变量y的样本相关系数 样本 相关 系数 r的 特征 ①r∈_________. ②当r>0时，称成对样本数据_____相关； 当r<0时，称成对样本数据_____相关. ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度______；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度______ [-1，1] 正 负 越强 越弱 3.一元线性回归模型 (1)经验回归方程：利用最小二乘法求得=x+， 其中 (2)评价回归模型的优劣： ①利用残差平方和： (yi-)2，残差平方和越____，拟合效果越好. ②利用残差图：残差点分布在以______为对称轴的带状区域内，该区域越_____，拟合效果越好. ③利用决定系数：R2=1- ，决定系数越____，拟合效果越好. 小 横轴 窄 大 4.独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则χ2=___________________. (2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否______的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. (3)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 独立 1.(人A选必修③P103·T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是 (　　) 细作教材小题 √ 2.(人A选必修③P139·T3)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=2.974.依据α=0.05的独立性检验，结论为 (　　) A.变量x与y不独立 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C.变量x与y独立 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 √ 3.(人B选必修②P121·T3)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是 (　　) A.x与y负相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y正相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关 √ 解析：因为y=-0.1x+1的斜率小于0，故x与y负相关.因为y与z正相关，可设z=y+>0，则z=y+=-0.1x++，故x与z负相关. 4.(苏教选必修②P169·T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据： x/℃ -2 -1 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个线性回归方程：①=-x+2.8；②=-x+3；③=-1.2x+2.6.其中正确的是　　　　.(填序号)  ① 解析：根据表格数据可知，=×(-2-1+0+1+2)=0，=×(5+4+ 2+2+1)=2.8.因为线性回归方程过这组数据的样本中心点，故点()满足线性回归方程，代入检验可得，只有①符合. 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　成对数据的统计相关性 [例1]　(2025·湘潭模拟)已知变量xi，yi具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的样本相关系数ri(i=1，2，3，4)的大小关系是 (　　) A.r1>r3>r4>r2 B.r3>r1>r2>r4 C.r3>r1>r4>r2 D.r1>r3>r2>r4 解析：观察散点图知，第一、三图是正相关，且第一图中点的集中程度高于第三图，r1接近于1，即r1>r3>0，第二、四图是负相关，且第二图中点的集中程度高于第四图，r2接近于-1，即r2<r4<0，所以有r1>r3>r4>r2.故选A. [例2]　(2025·重庆高三校联考)[多选]为研究女儿身高y与母亲身高x的关系，现经过随机抽样获得成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，下列说法正确的是 (　　) A.落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好 B.样本相关系数|r|越大，变量x，y线性相关程度越强 C.决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好 D.决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 √ √ 解析：回归直线方程拟合效果的好坏是由决定系数R2来判断的，故A错误；因为|r|≤1，且样本相关系数|r|越接近1，变量x，y线性相关程度越强，故B正确；决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差；决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C错误，D正确.故选BD. 判断相关关系的两种方法 点拨•建模 散点 图法 如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系 决定 系数法 利用决定系数判定，R2越趋近1，拟合效果越好，相关性越强 逐点清(二)　一元线性回归模型及其应用 题点1　线性回归模型 [例3]　(2025·榆林模拟)为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导.根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下. x(千克) 2 4 5 6 8 y(千克) 300 400 400 400 500 (1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； 解：由已知数据可得==5，==400， (xi-)(yi-)=600， =20， =20 000， ∴样本相关系数r==≈0.95. ∵|r|>0.75， ∴可用线性回归模型拟合y与x的关系. (2)求y关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克? 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归 直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= ， =-， 样本相关系数r= . 参考数据：≈3.16. 解：= ==30，=-=400-30×5=250， ∴经验回归方程为=30x+250. 当x=20时，=30×20+250=850. 即当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为850千克. 求经验回归方程的步骤 个性点拨 题点2　非线性回归模型 [例4]　(2025·成都模拟)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i=1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得=6.8，=70， =3， =1.6， =350. (1)根据散点图可知，可用函数模型y=+a拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； 解：令u=，则y关于u的经验回归方程为=+u， 由题意可得= ==200， =-=70-200×0.3=10，则=10+200u， 所以y关于x的回归方程为=10+. (2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m=-+++100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?(注：年利润=年销售额-年投入成本) 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验 回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为= ， =-. 解：由y=10+可得x=， 年利润M=m-x-10=-+++100--10=-(y-20)2+90.8， 当y=20时，年利润M取得最大值， 此时x===20， 所以当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值. 1.非线性回归问题的求解步骤 (1)作出散点图或利用已知散点图； (2)根据散点图选择恰当的拟合函数； (3)作恰当变换，将其化成线性函数，求经验回归方程； (4)在(3)的基础上通过变换，可得非线性回归方程. 个性点拨 2.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法 (1)若=a+b，设t=，则=a+bt； (2)若满足对数式：=a+bln x，设t=ln x，则=a+bt； (3)若满足指数式：=c1，两边取对数得ln =ln c1+c2x，设z=ln ，a=ln c1，b=c2，则z=a+bx. 逐点清(三)　独立性检验 [例5]　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 项目 优级品 合格品 不合格品 合计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 合计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 项目 优级品 非优级品 甲车间     乙车间     能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 解：填写如下列联表： 项目 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 项目 优级品 非优级品 合计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 合计 96 54 150 χ2==4.687 5. 因为χ2=4.687 5>3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为χ2=4.687 5<6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果>p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了?(≈12.247) 附：χ2=，n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：由题意可知==0.64. 又p+1.65=0.5+1.65×≈0.5+1.65×≈0.57， 所以>p+1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式χ2=计算χ2. (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　成对数据的统计相关性 1.(2024·上海高考)已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(　　) A.气候温度高，海水表层温度就高 B.气候温度高，海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 √ 解析：对于A、B，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故A、B错误.对于C、D，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误. 2.某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度x(单 位：千米)与气压y(单位：千帕)的六组数据(xi，yi)(i=1， 2，…，6)绘制成如图散点图，分析研究发现B点相关 数据不符合实际，删除B点后重新进行回归分析，则 下列说法正确的是 (　　) A.删除点B后，样本数据的两变量x，y正相关 B.删除点B后，样本相关系数r的绝对值更接近于1 C.删除点B后，新样本的残差平方和变大 D.删除点B后，解释变量x与响应变量y相关性变弱 √ 解析：由题意，从散点图中可知，删除点B后，样本数据的两变量x，y负相关，所以A错误；由于B点较其他点偏离程度大，故去掉B点后，回归效果更好，从而样本相关系数r的绝对值更接近于1，所以B正确；同理决定系数R2越接近于1，所以新样本的残差平方和变小，所以C错误；从而解释变量x与响应变量y相关性增强，所以D错误. 3.关于(x，y)的一组样本数据(1，-1)，(2，-3)，(3.5，-6)，(5，-9)，(6，-11)，(7.5，-14)，(9，-17)，…，(29，-57)，(30.5，-60)的散点图中，所有样本点均在直线y=-2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数r为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.-2 解析：因为所有样本点都在直线y=-2x+1上，所以回归直线方程是y=-2x+1，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点都在直线上，则有=1，所以样本相关系数r=-1. √ 逐点验收(二)　一元线性回归模型及其应用 4.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得 =0.038， =1.615 8， xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 解：估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积= ==0.06，估计该林区这种树木平均一棵的材积量= = =0.39. (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； 解： (xi-)(yi-)= xiyi-10=0.013 4， (xi-)2= -10()2=0.002， (yi-)2= -10()2=0.094 8， 所以 == ≈0.01×1.377=0.013 77， 所以样本相关系数r= =≈0.97. (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：样本相关系数r=≈1.377. 解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3， 由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 所以=， 所以Y==1 209， 即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 5.(2025·邵阳模拟)某市开展“安全随 我行”活动，交警部门在某个交通路口增 设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续 10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与 天数x的情况，对统计得到的样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，10)作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. xiyi xiYi 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中Yi=ln yi，= Yi. (1)依据散点图推断，y=bx+a与y=ebx+a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的经验回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由) 解：依据散点图可以判断，y=ebx+a更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的经验回归方程类型. (2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的经验回归方程. 解：由Yi=ln yi，得Y=ln(ebx+a)=bx+a， 依题意得= ==-=-0.3， =-=1.9-(-0.3)×5.5=3.55， 所以=-0.3x+3.55，即=e-0.3x+3.55. 逐点验收(三)　独立性检验 6.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n(n∈N*)个人，得到如下列联表.已知x0.05=3.841，若根据α=0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为　　　　.    是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 8n 12n 20n 女性 12n 8n 20n 合计 20n 20n 40n 3 解析：由题设，零假设H0：社交电商用户不存在性别差异，由χ2==n>x0.05=3.841，则n>3.841×=2.400 625，所以根据α=0.05的独立性检验认为社交电商用户存在性别差异，则n的最小值为3. 7.微生物生态学的研究表明，水生生物中存在大量的有益微生物，这些有益水生微生物对于维持水质平衡具有非常重要的作用.研究人员为了研究某种有益水生微生物在特定营养物质浓度下的增长速率与水体类型(淡水或咸水)的关系，对100个水体环境样本中的有益水生微生物在一段时间内的数量进行了观察，经统计得到如下的列联表： 水体环境 类型 增长情况 合计 快速增长 未快速增长 淡水环境 a 25   咸水环境 10 b   合计     100 已知从这100个水体环境样本中随机抽取1个，该水体环境中的有益水生微生物属于“快速增长”的概率为. (1)求a，b； 解：因为从这100个样本中随机抽取1个，该有益水生微生物属于“快速增长”的概率为，则=，解得a=30，又a+10+25+b=100，解得b=35，所以a=30，b=35. (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型是否有关?根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型是否有关? 解：由(1)得，2×2列联表如下： 水体环境 类型 增长情况 合计 快速增长 未快速增长 淡水环境 30 25 55 咸水环境 10 35 45 合计 40 60 100 设零假设为H0：该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型无关， 由χ2=≈10.774>6.635=x0.01， 根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立， 即认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 因为χ2≈10.774<10.828=x0.001， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为H0成立，即认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型无关. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六十七）” (单击进入电子文档) $$