第9章 第二节 用样本估计总体（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第二节 用样本估计总体 课标要求 1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)与离散程度参数(标准差、方差、极差). 2.理解集中趋势参数与离散程度参数的统计含义. 3.能用样本估计总体的取值规律，理解百分位数的统计含义. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.中位数、众数、平均数、百分位数 (1)中位数 将样本数据按__________排序，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的________. (2)众数 一组数据中出现次数______的数据称为这组数据的众数. 从小到大 中位数 最多 (3)平均数 一组数据的_____________即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数=_______________.简记为=_________. 算术平均数 (x1+x2+…+xn) xi (4)百分位数 ①第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据____________这个值，且至少有__________的数据大于或等于这个值. 小于或等于 (100-p)% ②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按_________排列原始数据. 第2步，计算i=_________. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第______项数据的平均数. ③四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. 从小到大 n×p% (i+1) 2.样本的数字特征 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么： 平均数为=_______________，标准差为 s=， 方差为s2=___________________________. (x1+x2+…+xn) [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 1.(人A必修②P224·T3改编)如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是 (　　) A.数据中可能有异常值 B.这组数据是近似对称的 C.数据中可能有极端大的值 D.数据中众数可能和中位数相同 细作教材小题 √ 2.(北师大必修①P170·例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的 (　　) A.平均数 B.众数 C.方差 D.频率分布 √ 3.(苏教必修②P257·T1)已知一组数据1，3，2，5，4，则这组数据的标准差为　　　.  解析：这组数据的平均数为×(1+3+2+5+4)=3，故这组数据的标准差为=. 4.(人A必修②P203·例2改编)某机构调查了10种食品的卡路里含量，其结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是　 　　　.  138，160.5 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　样本的数字特征和百分位数的计算 题点1　百分位数的计算 [例1]　(2025·长沙模拟)某台机器每天生产10 000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是(　　) A.29 B.30 C.30.5 D.31 解析：将这12个数据从小到大排列为8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，60%×12=7.2，所以排列后的第8个数16即为第60百分位数，中位数为=14，故所求和为14+16=30. [例2]　某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是　　　　.  解析：根据题意，将20个数据从小到大排列，其中75分1个，80分5个，85分3个，90分5个，95分4个，100分2个，由20×70%=14，所以第70百分位数是第14和15个数据的平均数，所以第70百分位数为=92.5. 92.5 题点2　样本的数字特征 [例3]　为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为me，众数为m0，平均数为，则(　　) A.me=m0= B.me=m0< C.me<m0< D.m0<me< √ 解析：由频数分布表知，众数m0=5，中位数是从小到大排列的第15个数与第16个数的平均数，由表知第15个数是5，第16个数是6，所以中位数me==5.5，平均数=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2× 8+2×9+2×10)=，所以m0<me<.故选D. [例4]　(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 (　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 √ √ 解析：取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A、C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是最中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后最中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.故选BD. 逐点清(二)　频率分布直方图中的数字特征 [例5]　某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间(单位：小时)，并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图. (1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数、中位数、平均数； 解：由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20， 故众数是20. 由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1， 解得a=0.07， ∵(0.02+0.06)×4=0.32，且(0.02+0.06+0.075)×4=0.62， ∴中位数位于18~22之间，设中位数为x， 则=， 解得x=20.4，故中位数是20.4. 平均数为(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32. (2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的第75百分位数(结果保留两位小数). 解：∵(0.02+0.06+0.075)×4=0.62，(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9， ∴第75百分位数位于22~26之间，设为y， 则=，解得y≈23.86. 点拨•建模 频率分布直方图中数字特征的计算 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. (4)通过频率分布直方图计算第p百分位数落在区间[m，n)内(具体由前几个小长方形面积即频率确定，小于m的频率记为fm，小于n的频率记为fn，p∈[fm，fn))；计算百分位数：m+(n-m)·(特殊地，若p=fm也适合上式). 逐点清(三)　总体离散程度的估计 [例6]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种 工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2. 解：由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11， s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高 解：因为2=2==11=>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　样本的数字特征和百分位数 1.(2025·重庆模拟)一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x+y=(　　) A.33 B.34 C.35 D.36 解析：一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即x=16，9×75%=6.75，故选取第7个数为75%分位数，故y=20，所以x+y=16+20=36.故选D. √ 2.[多选]已知数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d，由这组数据得到新数据y1，y2，y3，…，y10，其中yi=3xi+2(i=1，2，3，…，10)，则所得新数据的 (　　) A.平均数是3a B.中位数是3b C.方差是9c D.极差是3d 解析： y1，y2，y3，…，y10的平均数是3a+2，中位数是3b+2，方差是9c，极差是3d. √ √ 3.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 (　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 √ 解析：对于A，根据频数分布表可知，6+12+18=36<50，所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误；对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34，所以低于1 100 kg的稻田占比为=66%，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大约为1 200 -900=300，最小约为1 150-950=200，故C正确；对于D，由频数分布表可得，100块稻田亩产量的平均值为×(6×925+12×975+18 ×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D错误. 逐点验收(二)　频率分布直方图中的数字特征 4.(2025·泉州模拟)[多选]某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是(　　) A.估计高一年级抽测成绩的众数为75 B.高二年级抽测成绩低于60分的比率为2.5% C.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分 D.估计高一年级学生成绩的中位数低于高二年级学生成绩的中位数 √ √ √ 解析：估计高一年级学生成绩的众数为区间[70，80]的中点横坐标，故A正确；高二年级学生成绩在区间[40，60)的学生人数频率为(0.002 5+0.002 5)×10=0.05，所以低于60分的比率为5%，故B错误；高一年级学生成绩的平均分约为45×0.04+55×0.11+65×0.18+75× 0.35+85×0.22+95×0.1=74分；高二年级学生成绩的平均分约为45× 0.025+55×0.025+65×0.1+75×0.25+85×0.4+95×0.2=80.75分，因为74<80.75，故C正确；高一年级学生成绩的中位数位于[70，80)，高二年级学生成绩的中位数位于[80，90)，故D正确. 5.(2025·江西联考)某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计(若该校全体学生的成绩均在[60，140)分)，按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)的分组作出频率分布直方图如图所示，若用分层随机抽样的方法从分数在[70，90)内抽取8人，则抽得分数在[70，80)的人数为3人. (1)求频率分布直方图中的x，y的值，并估计本次考试成绩的平均数(以每一组的中间值为估算值)； 解：设由分层随机抽样可得分数在[70，80)的人数与分数在[80，90)的人数之比为3∶5，所以3∶5=0.006∶x，则x=0.01，y==0.014.又由频率分布直方图可知分数在[60，70)的频率为0.04，分数在[70，80)的频率为0.06，分数在[80，90)的频率为0.1，分数在[90，100)的频率为0.2，分数在[100，110)的频率为0.3，分数在[110，120)的频率为0.14，分数在[120，130)的频率为0.1，分数在[130，140)的频率为0.06.则平均数为0.04×65+0.06×75+0.1×85+0.2×95+0.3×105+0.14×115+ 0.1×125+0.06×135=102.8(分). (2)该高三数学组准备选取数学成绩在前5%的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗? 解：由题意可知分数在[130，140)的频率为6%， 所以前5%在该组内，不妨设第5%名的分数为x0， 则(140-x0)·0.006=5%， 解得x0≈131.667， 因为131.667<132，故小明能被选取. 逐点验收(三)　总体离散程度的估计 6.(2025·新余模拟)[多选]已知对11个数据x1，x2，x3，…，x11做如下变换：当i为奇数时，对应的xi变为xi+1；当i为偶数时，对应的xi变为xi-2，则对于该组数据的变化，下列情况可能发生的是(　　) A.平均数增大 B.方差不变 C.25%分位数减小 D.众数减小 √ √ √ 解析：由题意易知数据中奇数项均加1，偶数项均减2，则改变后数据和减小，即平均数减小，故A错误；由方差的实际意义(数据的波动程度)与在统计图中几何特征分析，不妨令i为奇数时xi=，i为偶数时xi=2，则原方差为=，新方差为，两数据相等，故B正确；易知第25%分位数为从小到大的第三个数据，而对应的i可奇可偶，故C正确；不妨取数据2，1，3，1，3，1，3，1，3，1，2，众数为1，新数据的偶数项均从1变为-1，众数减小，故D正确. 7.某职业学校的甲、乙两名学生到某工厂实习加工某种零件，并且每天甲、乙两人都进行比赛，规定一天内平均每小时加工的合格零件数多者胜出.如图是甲、乙两人在5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的统计表.已知甲、乙两人在这5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的平均数都是10. 甲 7 m 10 12 12 乙 8 8 9 n 12 (1)求m，n的值； 解：由题设知， 可得 (2)用，s分别表示一天内平均每小时加工的合格零件数的平均值和标准差，规定：一天内平均每小时加工的合格零件数为x，若满足x>+s，则当天的工作状态视为超常发挥；若满足-s≤x≤+s，则当天的工作状态视为稳定发挥；若满足x<-s，则当天的工作状态视为失常发挥.计划从甲、乙两人中选一人参加技术比赛，现有两个方案： 方案一：根据甲、乙两人加工的合格零件数的平均数和方差，选择参加技术比赛的选手； 方案二：根据甲、乙两人在5天的比赛中超常发挥的天数，选择参加技术比赛的选手. 当选用两个不同方案时，分别判断应选择谁参加技术比赛.参考数据：≈1.05， ≈0.32. 解：方案一：由题设知甲、乙的平均数为10， 甲的方差=×[(7-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(12-10)2]=， 乙的方差=×[(8-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(13-10)2+(12-10)2]=， 所以<， 故应选择甲参加技术比赛. 方案二：由上知s1=6≈1.92，s2=2≈2.1， 对于甲大于+s1=11.92的天数为2天； 对于乙大于+s2=12.1的天数为1天. 所以应选择甲参加技术比赛. 1.平均数的性质 (1)若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. (2)若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M+N)个数的平均数是. (3)若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别是和，则x1+y1，x2+y2，…，xn+yn的平均数是+. 细节、微点提醒 2.方差的性质 若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2.特别地，当a=1时，有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六十六）” (单击进入电子文档) $$