第4章 第七节 余弦定理、正弦定理应用举例（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第七节 余弦定理、正弦定理应用举例 课标要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 测量中的几个有关术语 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360° 续表 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i==tan θ 续表 1.(苏教必修②P114·T9)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km.若测得∠ABC=120°，则A，C两地间的距离为 (　　) A.10 km　 B. km　 C.10 km　 D.10 km 解析：如图所示，由余弦定理可得，AC2=100+400- 2×10×20×cos 120°=700，∴AC=10(km). 细作教材小题 √ 2.(人A必修②P50·例10改编)如图所示，C，D， A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C， D两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，如果C， D间的距离是a，测角仪高为b，则塔高为 (　　) A.+b B. C.+b D. √ 解析：在△BC1D1中，=，∴=， 即BD1=.在△A1BD1中，=， ∴=，即A1B=BD1·sin β=. 则塔高为+b. 3.(北师大必修②P123·T1)如图，在加工一个零 件时，需要计算A，C两孔中心的距离，已知BC= 60.5 mm，AB=15.8 mm，∠ABC=80°，则AC= 　　　mm.(cos 80°≈0.173 65，计算精确到0.01 mm)  解析：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=15.82+ 60.52-2×15.8×60.5cos 80°，故AC2≈15.82+60.52-2×15.8×60.5× 0.173 65≈3 577.91，故AC≈≈59.82 mm. 59.82 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　距离问题 [例1]　已知飞机的飞行航线AB和地面 目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C 的俯角为30°，飞行26 km到达B处，测得目 标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为 (　　) A.13 km B.5 km C.5 km D.13 km 解析：由题知，在△ABC中， ∠A=30°，∠B=180°-75°=105°， 所以∠C=180°-30°-105°=45°， 由正弦定理可知=⇒BC=·sin 30°=×=13(km). [例2]　如图所示，为了测量A，B处岛屿的 距离，某人在D处观测，A，B分别在D处的北偏 西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20 海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 (　　) A.20 海里 B.10 海里 C.20(1+) 海里 D.10(1+)海里 √ 解析：在△ACD中，∠ADC=90°+15°=105°， ∠ACD=90°-60°=30°，∠CAD=180°-105°-30°=45°， 由正弦定理得=，AC== =10(+1). 在△BCD中，∠BDC=45°，∠BCD=90°， 所以∠CBD=45°，所以BC=CD=20，由余弦定理得AB===10(海里). 1.距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解. 2.关注两个关键点 (1)基线的选取要恰当准确. (2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 点拨•建模 √ 逐点清(二)　高度问题 [例3]　如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1，CC1 分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，B1，C1 分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上， A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得 A1B1=80米，CC1=86米，∠C1A1B1=48.60°，∠A1C1B1 =30°，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为(参考数据：tan 33.69°≈0.667，tan 51.34°≈1.250，sin 48.60°≈0.750) (　　) A.268米 B.265米 C.266米 D.267米 解析：如图，分别过B，C作BF⊥AA1，CD⊥BB1， 垂足分别为F，D，过D作DE⊥AA1，垂足为E.根据题意 易得∠ABF=51.34°，∠BCD=33.69°.在△A1B1C1中， 由正弦定理得B1C1==≈ =120，在Rt△BDC中，DC=B1C1=120，则BD=120tan 33.69°≈120 ×0.667=80.04.在Rt△AFB中，BF=A1B1=80，则AF=80tan 51.34°≈ 80×1.250=100，所以A1=CC1+BD+AF≈86+80.04+100≈266米. 处理高度问题的注意事项 (1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键. (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 点拨•建模 逐点清(三)　角度问题 [例4]　如图，在海岸A处，发现北偏东45° 方向，距离A为(-1)n mile的B处有一艘走私船， 在A处北偏西75°方向，距离A为2 n mile的C处 有一艘缉私艇奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.则缉私艇沿北偏东　　　方向行驶才能最快追上走私船，需要的时间是　　　h.  60° 解析：设缉私艇用t h在D处追上走私船， 则有CD=10t n mile，BD=10t n mile， 在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°， 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC， 即BC2=(-1)2+22-2·(-1)·2·cos 120°=6，∴BC=. 由正弦定理得sin∠ABC=·sin∠BAC=·=， ∴∠ABC=45°，BC与正北方向成90°角. ∵∠CBD=90°+30°=120°， ∴在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD===， ∴∠BCD=30°，∴∠BDC=30°， ∴BD=BC=，即10t=，∴t= h. ∴缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，需要的时间是 h. 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义. (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 1.为运输方便，某工程队将从A到D修建一条湖 底隧道，如图，工程队从A出发向正东行10 km到 达B，然后从B向南偏西45°方向行了一段距离到达C，再从C向北偏西75°方向行了4 km到达D，已知C在A南偏东15°方向上，则A到D的距离为(　　) A.15 km B.2 km C.10 km D.15 km √ 解析：连接AC，由题意，∠ABC=45°， ∠ACD=75°-15°=60°，∠BCD=75°+45° =120°，∠ACB=60°，AB=10，CD=4. 在△ABC中，由正弦定理得，=，即=， 则AC=10.在△ACD中，由余弦定理得，AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD=152，则AD=2 km. 2.某个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　) A.8 km B.3 km C.3 km D.5 km √ 解析：如图，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=2， BC=2，依题意，∠BCD=90°. 在△ABC中，由余弦定理得AC= ==2，由正弦定理得sin∠ACB==. 在△ACD中，cos∠ACD=cos(90°+∠ACB)=-sin∠ACB=-，由余弦定理得AD===3， 所以A地到D地的直线距离是3 km. 3.如图，某人欲测校内某旗杆高MN，选择地面 A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点(其中A处、 他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面).从A点测 得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45° 以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知C处距地面10 m，则旗杆高MN= (　　) A.12 m B.15 m C.16 m D.18 m √ 解析：由题意可知，BC=10，∠CAB=45°，∠CBA=90°，所以AC=BC=10.在△MAC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，所以∠AMC=45°.由正弦定理可知，=，即=，解得AM=10，在Rt△AMN中，∠MAN=60°，AM=10，则MN=AM·sin∠MAN=10×=15 m.故选B. 4.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是 关于测量的数学著作，其中有一题是测量海 岛上松树的高.如图，点E，H，G在水平线 CI上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，DE与BH交于点J，则松树的高度AB= (　　) A.-EG B.+EG C.-DJ D.+DJ √ 解析：记AB=x，GI=a，EH=b，EG=d，DJ=e， 易知△DHJ∽△AHB，则==⇒=1-. 又△AHI∽△ADF， 所以===1-=⇒x=+e， 即AB=+DJ.故选D. 5.在一次海上联合作战演习中，红方一艘 侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12公里的 水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的 速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为　　　小时，角α的正弦值为　　　.   2 解析：设红方侦查艇经过x小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC=14x，BC=10x， ∠ABC=120°.根据余弦定理得(14x)2=122+ (10x)2-240×x×cos 120°，解得x=2，故AC=28，BC=20.根据正弦定理得=，解得sin α==. 在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 细节、微点提醒 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（三十四）” (单击进入电子文档) $$