第4章 第六节 第一课时 正弦定理与余弦定理（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第六节 解三角形 课标要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R a2=_____________；b2=______________； c2=______________ 变形 (1)a=2Rsin A，b=________， c=________； (2)asin B=bsin A，bsin C =csin B，asin C=csin A cos A=；cos B=； cos C= 2Rsin B 2Rsin C b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 2.三角形中常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高)； (2)S=absin C=acsin B=bcsin A； (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 1.(苏教必修②P114·T7)在△ABC中，若=1，则A=(　　) A.150° B.120° C.90° D.60° 解析：∵=1，∴=1，∴b2+c2=a2，∴A=90°. 细作教材小题 √ 2.(北师大必修②P130·T1)在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则的值为(　　) A. B. C. D.2 解析：因为A=60°，b=1，S△ABC=，所以bcsin A=，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A=1+16-2×1×4×=13，则a=，所以==，故选C. √ 3.(人A必修②P54·T22改编)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a=2，B=30°，则c等于 (　　) A.8 B.4 C. D. 解析：由S△ABC=acsin B=×2c×=4，得c=8. √ 4.(人A必修②P48·T2(2)改编)在△ABC中，已知b=2，A=45°，C=75°，则c=　 　.  解析：B=180°-45°-75°=60°，由正弦定理，得=，得c=+. + 正弦定理与余弦定理 第一课时 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　利用正弦、余弦定理解三角形 [例1]　(利用余弦定理解三角形)在△ABC中，已知B=120°，AC=，AB=2，则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 解析：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B，得BC2+2BC-15=0，解得BC=3或BC=-5(舍去). [例2]　(利用正弦定理解三角形)[多选]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是 (　　) A.b=10，A=45°，C=60° B.b=，c=4，B=60° C.a=，b=2，A=45° D.a=8，b=4，A=80° √ √ 解析：对于A，因为b=10，A=45°，C=60°，所以B=75°，所以△ABC只有一解，故A错误；对于B，因为b=，c=4，B=60°，所以由正弦定理得sin C===<1，因为b<c，所以B<C，所以C>60°，所以△ABC有两解(60°<C<90°或90°<C<120°)，故B正确；对于C，因为a=，b=2，A=45°，由正弦定理得sin B== =，因为<<，a<b，所以△ABC有两解(45°<B<60°或120°<B<135°)，故C正确；对于D，因为a=8，b=4，A=80°，所以b<a，B<80°，所以△ABC只有一解，故D错误. [例3]　(正、余弦定理的综合应用)(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C =(　　) A. B. C. D. √ 解析：因为B=，b2=ac，则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-ac=ac，即a2+c2=ac，根据正弦定理得sin2A+ sin2C=sin Asin C=，所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C =，因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0，则sin A+sin C=.故选C. 1.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 点拨•建模 2.两个注意点 (1)使用正弦定理时易忘比值还等于2R，即===2R(R为△ABC外接圆半径). (2)在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解. √ 逐点清(二)　判断三角形形状 [例4]　(2025·济南模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin C=2sin Bcos A，且(a+b-c)(b+c+a)=2ab，那么△ABC是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析：由(a+b-c)(b+c+a)=2ab，得(a+b)2-c2=2ab，整理得c2=a2+b2，故C=90°，又sin C=2sin Bcos A，由正弦定理与余弦定理得c=2b· ，化简得a=b，所以△ABC为等腰直角三角形. [例5]　在△ABC中，若= ，则该三角形的形状一定是(　　) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形 解析：∵=，∴acos A=bcos B，根据正弦定理可知sin Acos A =sin Bcos B，∴sin 2A=sin 2B，∴在△ABC中，A=B，或2A+2B=π，即A+B=，即C=.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. √ 1.判定三角形形状的途径 (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.判定三角形形状的注意点 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 点拨•建模 逐点清(三)　三角形的面积问题 [例6]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，且a2+b2-c2=ab. (1)求B； 解：在△ABC中a2+b2-c2=ab， 由余弦定理可知cos C===. 因为C∈(0，π)，所以C=.因为sin C=cos B，所以cos B=， 又B∈(0，π)，所以B=. (2)若△ABC的面积为3+，求c. 解：由(1)可得B=，C=，则A=π--=，sin A=sin=sin =×+×=，由正弦定理得==， 从而a=·c=c，b=·c=c， 由三角形面积公式，可知S△ABC=absin C=·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+，可得c2=3+，所以c=2. 1.与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 点拨•建模 2.在△ABC中，常有以下结论： (1)A+B+C=π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A+B)=sin C；cos(A+B)=-cos C；tan(A+B)=-tan C；sin = cos ；cos =sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=bcos A+acos B. 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　利用正弦、余弦定理解三角形 1.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin C=(　　) A. B. C. D. 解析：由a=4，b=5，c=6，得cos C==， 所以sin C===. √ 2.(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=，则B=(　　) A. B. C. D. 解析：因为acos B-bcos A=c，所以由正弦定理得sin Acos B- sin Bcos A=sin C=sin(B+A)，则2sin Bcos A=0.在△ABC中，sin B ≠0，则cos A=0，A=.所以B=π-A-C=π--=，故选C. √ 3.(2025·成都模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则A=(　　) A. B. C. D. 解析：由=，结合正弦定理有=，所以a2-c2= b2+bc，即b2+c2-a2=-bc，由余弦定理，得cos A==-，因为0<A<π，所以A=. √ 逐点验收(二)　判断三角形形状 4.在△ABC中，sin B=sin 2A，c=2a，则(　　) A.∠B为直角 B.∠B为钝角 C.∠C为直角 D.∠C为钝角 解析：由sin B=sin 2A=2sin Acos A，即b=2acos A，cos A=.又c=2a，所以cos A===，化简得b=a，则a∶b∶c=1∶∶2，故在△ABC中，A=，B=，C=.故选C. √ 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“sin2A+ sin2B+cos2C>1”是“△ABC是锐角三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由△ABC是锐角三角形，得0<C<，从而cos C>0，故a2+b2-c2>0，即sin2A+sin2B-sin2C>0，即sin2A+sin2B-(1-cos2C)>0，可得sin2A+sin2B+cos2C>1，即必要性成立；反之，若sin2A+sin2B+cos2C >1，则sin2A+sin2B+cos2C-1>0，即sin2A+sin2B-sin2C>0，可得a2+b2-c2>0，可知cos C>0，但角A，B可能为钝角，所以充分性不成立. √ 逐点验收(三)　三角形的面积问题 6.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=1，C=，△ABC的面积S=2，则△ABC的外接圆的直径为(　　) A.4 B.5 C.5 D.6 解析：由题意知S=absin =2，解得a=4.由余弦定理得c2=a2+ b2-2abcos =(4)2+1-2×4×1×，解得c=5，所以△ABC的外接圆的直径为2R==5. √ 7.(2025年1月·八省高考适应性演练)在△ABC中，BC=8，AC=10，cos∠BAC=，则△ABC的面积为(　　) A.6 B.8 C.24 D.48 解析：设AB=x，根据余弦定理BC2=AC2+AB2- 2AC·AB·cos∠BAC，已知BC=8，AC=10，cos∠BAC =，代入可得82=102+x2-2×10×x×，即x2-12x+36= 0，解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100=AC2，则△ABC为直角三角形，则S=×6×8=24. 故选C. √ 8.(2025·临沂期中)我国南宋著名数学家秦九韶(约1202—1261)独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是S=.现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶，且△ABC的面积是54，则△ABC的周长为　　　　　.  30+6 解析：因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶，由正弦定理得a∶b∶c=2∶3∶，设a=2k，b=3k，c=k，k>0，则c2a2=28k4，=k2，可得△ABC的面积是S△ABC==k2 =54，解得k=6，则a=12，b=18，c=6，所以△ABC的周长为a+b+c=30+6. 9.(2025·赣州质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C； 解：在△ABC中，2cos C(acos B+bcos A)=c， 由正弦定理可得2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C， 即2cos Csin C=sin C， 又0<C<π，sin C≠0， ∴cos C=，解得C=. (2)若c=，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长. 解：由△ABC的面积为，即absin C=， ∵C=，∴ab=6， 由c=，利用余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，可得a2+b2-ab=7， 即(a+b)2=7+3ab=25， ∴a+b=5， 即△ABC的周长为a+b+c=5+. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（三十二）” (单击进入电子文档) $$