第4章 第六节 第二课时 解三角形的综合问题（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

解三角形的综合问题 第二课时 目录 考法(一)　以多个三角形为载体的解三角形问题 考法(二)　利用基本不等式求最值或范围问题 考法(三)　利用三角函数的性质求最值或范围问题 2 考法(一)　以多个三角形为载体的解三角形问题 [例1]　(2025·佛山期中)在四边形ABCD中，AB∥CD，记∠ACD =α，AD·sin D=AC·cos α，∠BAC的角平分线与BC相交于点E，且AE=1，AB=. (1)求cos α的大小； 解：在△ACD中，由正弦定理得=， 所以ADsin D=ACsin α， 因为AD·sin D=AC·cos α，两式相除得1=， 所以tan α=， 又因为0<α<π，可得α=，所以cos α=. (2)求BC的值. 解：因为AB∥CD，所以∠BAC=α=， 又因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=， 因为S△BAE+S△CAE=S△BAC，且AB=，AE=1， 所以AB·AEsin +AC·AEsin =AB·ACsin ， 即××1×+AC×1×=×AC×，解得AC=， 在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC =+()2-2×××=，所以BC=. 以多个三角形背景解三角形问题的求解思路 (1)将所给平面图形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； (2)充分注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； (3)注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； (4)注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 点拨•建模 1.(2025·鄂东南教改联盟联考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC=，AB=1. 针对训练 (1)若AC=，求△ABC的面积； 解：因为∠ABC=，AB=1，AC=， 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cos∠ABC， 所以7=1+BC2+BC，即BC2+BC-6=0， 解得BC=2(负值舍去)， 所以S△ABC=×AB×BC×sin∠ABC=×1×2×=. (2)若∠ADC=，CD=2，求tan∠CAD. 解：设∠CAD=θ，在△ACD中，由正弦定理得=， 所以=　①， 在△ABC中，∠BAC=-θ，∠BCA=θ-， 则=， 即=　②， 由①②得=， 即2sin=sin θ， ∴2=sin θ， 整理得2sin θ=cos θ， 所以tan∠CAD=. 考法(二)　利用基本不等式求最值或范围问题 [例2]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B =b(1-cos A). (1)求角A的大小； 解：在△ABC中，由asin B=b(1-cos A)及正弦定理， 得sin Asin B=sin B(1-cos A)， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，则有sin A=-cos A， 即sin=，由0<A<π，<A+<，得A+=，所以A=. (2)若D是BC上一点，且=2，AD=1，求△ABC面积的最大值. 解：依题意，BD=a，DC=a，AD=1， 在△ADB与△ACD中，分别由余弦定理得cos∠ADB==， cos∠ADC==， 又cos∠ADB=-cos∠ADC， 于是3+a2-b2-2c2=0，则有b2+2c2-3=a2=(b2+c2-2bccos A)= (b2+c2-bc)， 整理得9=b2+4c2+2bc≥4bc+2bc=6bc， 即bc≤，当且仅当b=2c=时取等号， 所以△ABC面积的最大值为Smax=××sin =. 求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a+b，ab，a2+b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解. 点拨•建模 2.(2025·广州期中)如图，在△ABC中，点D为边 BC上靠近B点的三等分点，∠ADC=60°，AD=2. 针对训练 (1)若∠ACD=45°，求△ABC的面积； 解：在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=60°， 故∠DAC=75°，∠ADB=120°， 由正弦定理得=，即DC=， 故DC==1+，故BD=DC=(1+)， 故△ABC的面积为S△ABC=S△ADC+S△ADB=AD×DC×sin∠ADC+ AD×DB×sin∠ADB=×2×(1+)×+×2××=. 而sin 75°=sin(30°+45°)=×+×=， (2)当最小时，求BD的长. 解：设BD=m(m>0)，则CD=2m， 则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m， 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m， 故===4-=4- =4-， 由于(m+1)+≥2=2，当且仅当m+1=， 即m=-1时取等号， 故4-≥4-=4-2， 即取到最小值即取最小值时，m=-1， 即此时BD=-1. 考法(三)　利用三角函数的性质求最值或范围问题 [例3]　(2025·哈尔滨期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos A-bcos C=ccos B. (1)求角A的大小； 解：2acos A-bcos C=ccos B， 由正弦定理得2sin Acos A-sin Bcos C=sin Ccos B， 即2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)， 即2sin Acos A=sin A，∵A∈(0，π)，∴sin A≠0， ∴cos A=，∴A=. (2)若a=2，求b+c的取值范围. 解：由(1)知A=，又a=2，==， ∴b+c=sin B+sin C=(sin B+sin C)= ==4sin， ∵0<B<，∴<B+<，∴<sin≤1， ∴2<4sin≤4，即b+c的取值范围为(2，4]. (1)解决三角形中的某个量的最值或范围问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. (2)利用三角函数求解最值或范围问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目中隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等. 点拨•建模 3.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A-2sin Acos Bsin C+sin2C=. (1)求角B的值； 解：设△ABC的外接圆半径为R. 由正弦定理===2R， 得sin A=，sin B=，sin C=. 针对训练 因为sin2A-2sin Acos Bsin C+sin2C=， 则-2··cos B·+=， 整理得a2+c2-2accos B=3R2， 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=3R2，即sin2B==. 又因为B∈，则sin B>0，可得sin B=，所以B=. (2)求的取值范围. 解：由正弦定理可得===sin A+cos A =sin，因为△ABC是锐角三角形，则解得<A<， 则<A+<，可得<sin≤1，所以的取值范围是. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（三十三）” (单击进入电子文档) $$