第4章 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:______________. (2)商数关系:_______________________________.  sin2α+cos2α=1 =tan α 2.三角函数的诱导公式 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α ______ ______ ______ ______ ______ 余弦 cos α ______ ______ ______ ______ ______ 正切 tan α ______ ______ -tan α     口诀 奇变偶不变，符号看象限 -sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α -tan α 3.同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α)； (2)cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α)； (3)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 1.(人A必修①P184·T1改编)[多选]已知cos α=-，且α为第三象限角，则(　　) A.sin α=- B.tan α= C.sin α= D.tan α= 细作教材小题 √ √ 2.(人A必修①P186·T15改编)已知tan α=2，则=(　　) A.- B.-3 C. D.3 √ 3.(北师大必修②P25·T4改编)已知cos(π-α)=-，则sin+ sin=　　　.  解析:易知cos α=，故sin+sin=-cos α-cos α=-. - 4.(苏教必修①P193·T19(1)改编)已知sin α+cos α=，则sin αcos α =　　　，sin4α+cos4α=　　　.  解析:由sin α+cos α=，得1+2sin αcos α=2，故sin αcos α=.由sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-=. 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　同角三角函数的基本关系及其应用 题点1　 “弦”“切”互化 [例1]　(2025·德宏期末)已知=，则tan α=(　　) A. B. C.或1 D.或1 解析:因为== ===，解得tan α=. [例2]　(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ=，则sin θ-cos θ=　　.  解析:由且θ∈， 解得故sin θ-cos θ=-. - 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用= tan α可以实现角α的弦切互化. (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值.因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 个性点拨 题点2　“和”“积”转换 [例3]　(多选)已知α∈(0，π)，且sin α+cos α=，则(　　) A.<α<π B.sin αcos α=- C.cos α-sin α= D.cos α-sin α=- √ √ √ 解析:由sin α+cos α=两边平方得，sin2α+cos2α+2sin αcos α=，即1+2sin αcos α=，所以sin αcos α=-，B正确；因为α∈，所以sin α>0，故cos α<0，所以<α<π，A正确；= sin2α+cos2α-2sin αcos α=1+=，因为sin α>0，cos α<0，所以cos α -sin α<0，故cos α-sin α=-，C错误，D正确.故选ABD. “sin α±cos α，sin αcos α”的应用 (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α，sin αcos α=，sin αcos α=.因此在解题中已知1个可求另外2个. 个性点拨 √ 逐点清(二)　诱导公式及其应用 [例4]　已知角α终边上一点P，则的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为角α终边上一点P，所以tan α=-， 所以==tan α=-. [例5]　已知sin=，则cos=　　　.  解析:由题意可得cos=cos=cos =sin=. 诱导公式的3个应用 (1)求值:负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简:统一角，统一名，同角名少为终了. (3)应用技巧:常见互余关系有±α与∓α，+α与-α等，常见互补关系有-α与+α，+α与-α，+α与-α等. 点拨•建模 √ 逐点清(三)　基本关系与诱导公式的综合应用 [例6]　(2025·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π-α)-3cos+5 =0，tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0，则sin α的值是(　　) A. B. C. D. 解析:由已知得消去sin β，得tan α =3，∴sin α=3cos α，代入sin2α+cos2α=1，化简得sin2α=，又α为锐角，∴sin α>0，则sin α=. [例7]　已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P在角θ的终边上，则=(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为sin=sin=sin=-，cos= cos=cos=-，所以P.由于点P在角θ的终边上，所以tan θ==，故==tan θ=. √ (1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　同角三角函数的基本关系及其应用 1.若实数α满足cos α=tan α，则+cos4α的值为(　　) A.2 B. C. D.1 解析:由cos α=tan α=，则cos2α=sin α，又cos2α+sin2α=1，得+cos4α=+sin2α=+sin2α=1+sin α+sin2α=1+cos2α +sin2α=2. √ 2.(2025·济南模拟)已知sin α+cos α=，则tan α+=(　　) A.- B. C.- D. 解析:因为sin α+cos α=，平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=，又sin2α+cos2α=1，故sin αcos α=，所以tan α+=+= ==. √ 3.(2025·唐山月考)若tan θ=2，则=　　　.  解析:=· =·=-. - 逐点验收(二)　诱导公式及其应用 4.(2025·长宁期中)已知sin=，θ∈，则tan的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析:sin=-sin=-cos θ=，则cos θ=-.因为θ∈ ，所以sin θ==，所以tan θ==-，所以tan=-tan θ=. √ 5.直线2x+y-3=0的倾斜角是θ，则的值是(　　) A.-3 B.-1 C.- D.1 解析:由直线2x+y-3=0，可得直线的斜率为k=-2，所以tan θ=-2. 所以====-.故选C. √ 6.(2024·岳阳二模)已知n∈Z，sin+cos=，则(　　) A.cos α+sin α= B.cos α+sin α=- C.sin 2α=- D.sin 2α= √ 解析:设k∈Z，①当n=4k时，sin+cos=sin(2kπ+α) +cos(2kπ-α)=sin α+cos α=.②当n=4k+1时，sin+cos =sin+cos=cos α+sin α=.③当n=4k+2时，sin+cos=sin(2kπ+π+α)+cos(2kπ+π-α)=-sin α-cos α=，此时cos α+sin α=-. ④当n=4k+3时，sin+cos=sin+ cos=-sin α-cos α=，此时cos α+sin α=-.综合①②③④，可以排除A、B；(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=sin2α +cos2α+sin 2α=1+sin 2α=，所以sin 2α=-，故C正确，D错误. 7.已知α为锐角，且cos=，则tan=(　　) A.- B.- C. D. 解析:因为α为锐角，所以α+∈且cos=，故sin=，由诱导公式得sin=sin=cos =，cos=sin=.所以tan===. √ “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十六）” (单击进入电子文档) $$