第3章 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第三章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算 课标要求 1.能根据导数定义求函数y=C，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如y=f(ax+b))的导数. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 4 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.导数的概念 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=_________________为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0)或y'，即f'(x0)= ___________________. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，其切线方程为_________________. 斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 3.基本初等函数的导数公式 f(x)=c(c为常数) f'(x)=____ f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=______ f(x)=sin x f'(x)=______ f(x)=cos x f'(x)=_______ f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=_______ f(x)=ex f'(x)=____ f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 4.导数的运算法则 加减 [f(x)±g(x)]'=____________ 积 [f(x)g(x)]'=_________________，[cf(x)]'=______ 商 =__________________________ f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf'(x) (g(x)≠0) 5.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=_______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. y'u·u'x 1.(人A选必修②P76·例3改编)若函数f(x)=2x+cos x，则 (　　) A.f'(x)=2x+sin x B.f'(x)=2x-sin x C.f'(x)=2xln 2+sin x 　D.f'(x)=2xln 2-sin x 解析：因为函数f(x)=2x+cos x，则f'(x)=2xln 2-sin x. 细作教材小题 √ 2.(苏教选必修①P231·T9)对于函数f(x)=xln x，若f'(x0)=2，则实数x0的值为 (　　) A.e2 B.e C. D.ln 2 解析： f(x)=xln x⇒f'(x)=ln x+1，因为f'(x0)=2，所以ln x0+1= 2⇒ln x0=1⇒x0=e. √ 3.(人A选必修②P82·T11改编)设曲线y=e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a的值为　　　.  解析：∵y=e2ax，∴y'=e2ax·(2ax)'=2a·e2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k=y'|x=0=2ae0=2a，又∵切线与直线2x-y+1=0垂直，∴2a×2=-1，∴a=-. - 4.(人A选必修②P81·T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x，则f'=　　　　.  解析：f'(x)=-f'sin x-cos x，令x=，得f'=-f'-，解得f'=1-. 1- 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　导数的运算 [例1]　(2025·济南质检)[多选]下列求导运算正确的是 (　　) A.'=- B.(x2ex)'=2x+ex C.=-sin D.=1+ √ 解析：'=-·(ln x)'=-，故A正确；(x2ex)'=(x2+2x)ex，故B错误；'=-2sin，故C错误；'=1+，故D正确. [例2]　已知函数f(x)=ln(2x-3)+axe-x，若f'(2)=1，则a=　　 .  解析：因为f(x)=ln(2x-3)+axe-x，所以f'(x)=+ae-x-axe-x，所以f'(2)=2+ae-2-2ae-2=2-ae-2=1，则a=e2. e2 导数运算的3个关键点 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 点拨•建模 √ 逐点清(二)　导数的几何意义 题点1　求曲线的切线方程 [例3]　(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 解析：因为f'(x)=，所以f'(0)=3，所以曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为y-1=3(x-0)，即3x-y+1=0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=，故选A. [例4]　(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　，　　　　.  解析：先求当x>0时，曲线y=ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y'=，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以=，解得y0=1，代入y=ln x，得x0=e，所以切线斜率为，切线方程为y=x.同理可求得当x<0时的切线方程为y=-x.综上可知，两条切线方程为y=x，y=-x. y=x y=-x 与切线有关的问题的处理策略 (1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k=f'(x0). (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f'(x1)=k. (3)若已知曲线y=f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解. 个性点拨 ①当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0). ②当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步： 第一步：设出切点坐标P'(x1，f(x1))； 第二步：写出曲线在点P'(x1，f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程. 题点2　求参数的值(范围) [例5]　函数f(x)=x-aln x在区间(1，6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围是(　　) A.(1，6) B.(1，3) C.(3，4) D.(4，6) √ 当a>0时，满足所以3<a<4. 解析：设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k， 则k=f'(x0)=1-，当a≤0时，k=1->0，故不存在k1k2=-1； [例6]　(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　　　　 　.  解析：因为y=(x+a)ex，所以y'=(x+a+1)ex.设切点为A(x0，(x0+a))， O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA=y'=(x0+a+1)=，化简，得+ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程+ax0-a=0有两个不同的根，所以Δ=a2+4a>0，解得a<-4或a>0，所以a的取值范围是(-∞，-4)∪(0，+∞). (-∞，-4)∪(0，+∞) 利用导数的几何意义求参数的基本方法 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解，其关键点：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上，故满足切线方程；③切点在曲线上，故满足曲线方程；④注意曲线上点的横坐标的取值范围. 个性点拨 [例7]　已知定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)=-2x2+m，g(x)= -3ln x-x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为 (　　) A.2 B.5 C.1 D.0 逐点清(三)　两曲线的公切线 √ 解析：设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)=-2x2+m，得f'(x)=-4x，则切线的斜率为k=f'(a)=-4a.由g(x)=-3ln x-x，得g'(x)=--1，则切线的斜率为k=g'(a)=--1.因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以-4a=--1，解得a=1或a=-(舍去).又g(1)=-1，即公共点的坐标为(1，-1)，将点(1，-1)代入f(x)=-2x2+m，可得m=1. [例8]　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　.  ln 2 解析：由y=ex+x，得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，故曲线y=ex+x在(0，1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a，得y'=，设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，ln(x0+1)+a)，由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=-，则切点为，切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2，根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 公切线问题的解题策略 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　导数的运算 1.[多选]下列求导运算正确的是(　　) A.若f(x)=sin(2x+3)，则f'(x)=2cos(2x+3) B.若f(x)=e-2x+1，则f'(x)=e-2x+1 C.若f(x)=，则f'(x)= D.若f(x)=xln x，则f'(x)=ln x+1 √ √ √ 解析：因为f(x)=sin(2x+3)，所以f'(x)=2cos(2x+3)，故A正确；因为f(x)=e-2x+1，所以f'(x)=-2e-2x+1，故B错误； 因为f(x)=，所以f'(x)=，故C正确； 因为f(x)=xln x，所以f'(x)=ln x+1，故D正确. 2.若函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=2f'(1)ln x+x，则f(e)= (　　) A.0 B.-1 C.-2+e D.-2 解析：由f(x)=2f'(1)ln x+x，得f'(x)=+1，令x=1，则f'(1) =+1，解得f'(1)=-1，所以f(x)=-2ln x+x，f(e)=-2+e.故选C. √ 3.设函数f(x)=，若f'(1)=，则a=　　　.   解析：由函数的解析式可得f'(x)==，则f'(1)==，据此可得=，整理可得a2-2a+1=0， 解得a=1. 1 逐点验收(二)　导数的几何意义 4.曲线y=在点(-1，-3)处的切线方程为(　　) A.y=5x+2 B.y=5x-2 C.y=-5x-2 D.y=-5x+2 解析：∵y'==，∴所求切线斜率k==5，∴所求切线方程为y+3=5(x+1)，即y=5x+2. √ 5.(2024·乌鲁木齐二模)过点(1，4)且与曲线f(x)=x3+x+2相切的直线方程为 (　　) A.4x-y=0 B.7x-4y+9=0 C.4x-y=0或7x-4y+9=0 D.4x-y=0或4x-7y+24=0 √ 解析：由f'(x)=3x2+1，设切点为(x0，y0)，则过点(1，4)的曲线y=f(x)的切线为 l：y-y0=(3+1)(x-x0)，有 解得或代入l可得4x-y=0或7x-4y+9=0.故选C. √ 6.已知函数f(x)=ln x+x，过原点作曲线y=f(x)的切线l，则切点P的坐标为 (　　) A.(1，1) B.(e，e+1) C. D.(e2，e2+2) 解析：由题意可知f'(x)=+1，设切点为P(x0，ln x0+x0)，则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0，因为切线过原点，所以0= (-x0)+ln x0+x0=ln x0-1，解得x0=e，则P(e，e+1). 7.已知过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C：f(x)=xex相切，则实数a的取值范围是　　 　.  解析：由f(x)=xex⇒f'(x)=(x+1)ex，设切点坐标为(x0，x0)，所以切线的斜率为f'(x0)=(x0+1)，切线方程为y-x0=(x0+1)(x-x0).切线过点A(a，0)，所以0-x0=(x0+1)(a-x0)，化简得-ax0-a=0.因为过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C：f(x)=xex相切，所以关于x0的方程-ax0-a=0有两个不同的实数根，所以该方程的判别式Δ=(-a)2+ 4a>0⇒a>0或a<-4，因此实数a的取值范围是(-∞，-4)∪(0，+∞). (-∞，-4)∪(0，+∞) 逐点验收(三)　两曲线的公切线 8.(2025·齐齐哈尔联考)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=(　　) A.1 B. C.1-ln 2 D.1-2ln 2 √ 解析：设y=kx+b与y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1，ln x1 +2)和(x2，ln(x2+1))，则切线分别为y-ln x1-2=(x-x1)，y-ln(x2+1)= (x-x2).化简得y=x+ln x1+1，y=x-+ln(x2+1)，依题意，得解得x1=，从而b=ln x1+1=1-ln 2.故选C. 9.已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为　　　　　　.  解析：设曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2在公共点(x0，y0)处的切线相同，则f'(x)=2x，g'(x)=，由题意知f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)，即解得a=2e，x0=，故切点为(，e)，切线斜率为k=f'(x0)=2，所以切线方程为y-e=2(x-)，即2x-y-e=0. 2x-y-e=0 1.明确两点不同 区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 2.谨防两个易误 (1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误. (2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混. 细节、微点提醒 3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十八）” (单击进入电子文档) $$