第3章 第四节 第四课时 极值点偏移问题（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

极值点偏移问题 第四课时 已知函数f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)=c的两根的中点刚好满足=x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示.若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示. 设a，b>0，a≠b，则>>，其中被称之为对数平均数，上述不等式称为对数均值不等式. 目录 方法(一)　对称构造法 方法(二)　比值代换法 4 方法(一)　对称构造法 [例1]　已知函数f(x)=x2，a为实数. (1)求函数f(x)的单调区间； 解：函数f(x)=x2的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x+x=x(2ln x-3a+1)， 令f'(x)=0，则ln x=，得x=.  (导函数解析式中“变号因子”为2ln x-3a+1，显然y=2ln x-3a+1为增函数，故只需求出其零点，即可判断f'(x)的符号) 当x∈时，f'(x)<0；当x∈时，f'(x)>0. 故函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)若函数f(x)在x=e处取得极值，且f'(x1)=f'(x2)，x1<x2，证明：x1+x2>2. 解：证明：因为函数f(x)在x=e处取得极值， 由(1)知x==e，得a=1， 所以f(x)=x2，得f'(x)=x(2ln x-2)=2x(ln x-1). 令g(x)=2x(ln x-1)， 因为g'(x)=2ln x，当x=1时，g'(x)=0， 所以函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且当x∈(0，e)时，g(x)=2x(ln x-1)<0， 当x∈(e，+∞)时，g(x)=2x(ln x-1)>0， 故0<x1<1<x2<e. (关键点：首先确定x1，x2的取值范围，然后把所证不等式变形，目的是把两个变量化归到同一个单调区间内，便于构造函数) 要证x1+x2>2，只需证x2>2-x1，易知x2>1，2-x1>1，下面证明g(x1)=g(x2)>g(2-x1). 设t(x)=g(2-x)-g(x)，x∈(0，1)， 则t'(x)=-g'(2-x)-g'(x)=-2ln(2-x)-2ln x=-2ln[(2-x)x]>0， 故t(x)在(0，1)上单调递增，故t(x)<t(1)=0， 所以t(x1)=g(2-x1)-g(x1)<0， 则g(2-x1)<g(x2)，所以2-x1<x2，即得x1+x2>2. 对称构造法是解决极值点偏移的基本方法，主要有四个基本步骤：①求函数f(x)的极值点x0；②构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x)；③确定函数F(x)的单调性；④结合F(x0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x)，f(2x0-x)的大小关系.记忆口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪，四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 点拨•建模 1.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=-ln x+x-a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； 解：由题意知函数f(x)的定义域为(0，+∞). 由f'(x)=-+1==， 可得函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 针对训练 所以f(x)min=f(1)=e+1-a. 又f(x)≥0，所以e+1-a≥0，解得a≤e+1， 所以a的取值范围为(-∞，e+1]. (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 解：证明：不妨设x1<x2，则由(1)知0<x1<1<x2，0<<1. 由f(x1)=f(x2)=0，得-ln x1+x1=-ln x2+x2， 即+x1-ln x1=+x2-ln x2. 因为函数y=ex+x在R上单调递增，所以x1-ln x1=x2-ln x2成立. 构造函数h(x)=x-ln x(x>0)，g(x)=h(x)-h=x--2ln x， 则g'(x)=1+-=≥0， 所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0，即当x>1时，h(x)>h， 所以h(x1)=h(x2)>h.又h'(x)=1-=， 所以h(x)在(0，1)上单调递减， 所以0<x1<<1，即x1x2<1. 方法(二)　比值代换法 [例2]　(2024·南昌二模)已知函数f(x)=x(ln x-a)，g(x)=+a-ax.若g(x)的两个相异零点为x1，x2，求证：x1x2>e2. 证明：法一：等价变换后构商引参 由题意知，g(x)=ln x-ax，不妨设x1>x2>0， 由得 (关键点：进行两式的和与差的运算，构建出关于两个变量的积、商、和、差的式子) 则==.令t=，则t>1，=， 即ln(x1x2)=ln t. 要证x1x2>e2，只需证ln(x1x2)>2，只需证ln t>2， 即证ln t>，即证ln t->0. 令m(t)=ln t-(t>1)，因为m'(t)=>0， 所以m(t)在(1，+∞)上单调递增， 所以m(t)>m(1)=ln 1-=0， 所以ln t->0成立，故x1x2>e2. 法二：直接引入两变量之商作为变量 由题意得g(x)=ln x-ax，不妨设x1>x2>0，t=，显然t>1，则x1=tx2. (关键点：根据两数大小关系，引入两者之商作为变量，构建两个自变量之间的关系) 由得即 两式相除得=，即1+=t，得ln x2=， 所以ln x1=ln(tx2)=ln t+ln x2=ln t+=ln t=ln t. 所以ln x1+ln x2=ln t+=ln t. 要证x1x2>e2，只需证ln(x1x2)>2， 即ln x1+ln x2>2，也就是ln t>2.  (难点：应注意等价转化,使结构最简,从而使构造的函数解析式最简,达到简化解题思路的目的.如此处转化为ln t>2后,可以直接构造函数y=ln t-2;也可以根据t>1,将不等式转化为(t+1)ln t>2(t-1),进而构造函数y=(t+1)ln t-2(t-1);还可以转化为ln t>,进而构造函数y= ln t-) 又t>1，所以t-1>0，不等式等价于(t+1)ln t>2(t-1)， 即(t+1)ln t-2(t-1)>0. 记G(t)=(t+1)ln t-2(t-1)(t>1)，则G'(t)=ln t+(t+1)×-2=ln t+-1. 记h(t)=G'(t)=ln t+-1(t>1)， 则h'(t)=-=. 因为t>1，所以h'(t)>0，故h(t)在(1，+∞)上单调递增， 所以h(t)>h(1)=ln 1+-1=0，故G'(t)>0， 所以G(t)在(1，+∞)上单调递增， 所以G(t)>G(1)=(1+1)ln 1-2×(1-1)=0， 即(t+1)ln t-2(t-1)>0. 故原不等式得证. 用比值换元构造函数解决极值点偏移问题的步骤 点拨•建模 联立消参 利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的参数 转化所证 根据所求问题，结合消参后的式子合理转化为x1，x2的关系 抓商换元 令t=，则x2=tx1，代入式子，直接消掉变量x1，x2，转化为关于t的函数 用导求解 利用导数求解关于t的函数的极值、最值等问题 2.已知函数f(x)=ln x-2ax(a∈R)有两个零点x1，x2(x1<x2).证明：f'<0. 证明：由已知可得 可得a=. 由f(x)=ln x-2ax可得f'(x)=-2a，要证f'<0，即证x1+x2>， 针对训练 即证x1+x2>， 即证ln<=. 由题意可知x2>x1>0，令t=∈(0，1)， 即证ln t<. 构造函数h(t)=ln t-，其中0<t<1， 即证h(t)<0，h'(t)=-=>0， 所以函数h(t)在(0，1)上单调递增， 所以h(t)<h(1)=0，故原不等式成立. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十四）” (单击进入电子文档) $$