第3章 第四节 第三课时 利用导数研究函数的零点（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

利用导数研究函数的零点 第三课时 目录 考法(一)　利用导数研究零点个数 考法(二)　由函数的零点个数确定 参数取值范围 2 考法(一)　利用导数研究零点个数 [例1]　已知函数f(x)=excos x-x. (1)求证：当 x∈时，f(x)<1； 解：证明：由函数f(x)=excos x-x，得f'(x)=ex(cos x-sin x)-1， 令g(x)=f'(x)=ex(cos x-sin x)-1，得g'(x)=-2exsin x， 当x∈时，g'(x)<0，所以g(x)单调递减. 又由g(0)=0，所以g(x)<0，即f'(x)<0，所以f(x)单调递减， 由f(0)=1，所以f(x)<f(0)=1. (2)求f(x)在[0，2π]的零点个数. 解：由(1)知，g'(x)=-2exsin x， 由x∈[0，π]，得g'(x)≤0，且g(0)=0，所以g(x)≤g(0)=0， 即f'(x)≤0，且f'(x)不恒为0，所以f(x)单调递减； 由x∈(π，2π]，得g'(x)≥0，且g'(x)不恒为0，g(x)单调递增， 易知g(π)=-eπ-1<0，g(2π)=e2π-1>0， 故存在x0∈(π，2π)，使得g(x0)=0， 则当x∈(π，x0)时，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(x0，2π)时，g(x)>0，f'(x)>0，f(x)单调递增. 综上，f(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，2π]上单调递增. 又因为f(0)=1，f(π)=eπcos π-π=-eπ-π<0，f(2π)=e2π-2π>0， 所以函数f(x)有两个零点. 利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法 (1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置. (3)数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现. 点拨•建模 1.已知函数f(x)=-bln x+1. (1)当b=1时，若f(x)≤1恒成立，求实数a的值. 解：当b=1时，f(x)=-ln x+1， 则f(1)=1，且函数f(x)在其定义域(0，+∞)上连续. 又f(x)≤1=f(1)恒成立，可得x=1是f(x)的一个极大值点， 所以f'(1)=0.又f'(x)=，所以f'(1)=a-aln 1-1=0， 针对训练 则a=1.下面证明当a=1时，f(x)≤1在(0，+∞)上恒成立. 由a=1，可知f(x)=-ln x+1，则f'(x)=， 令g(x)=1-ln x-x，易得g(x)在(0，+∞)上单调递减， 又g(1)=0，所以当x∈(0，1)时，f'(x)>0； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0. 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. 所以f(x)≤f(1)=1，所以f(x)≤1在(0，+∞)上恒成立，故a=1. (2)当a=1时，讨论f(x)的零点个数. 解：当a=1时，f(x)=-bln x+1.令f(x)=-bln x+1=0. 又ln x≠0，所以b=+.令h(x)=+，x∈(0，1)∪(1，+∞)， 则h'(x)=--<0，所以h(x)在(0，1)，(1，+∞)上单调递减. 当0<x<1时，x→0，h(x)→+∞；x→1，h(x)→-∞， 当x>1时，x→1，h(x)→+∞；x→+∞，h(x) →0，函数h(x)=+的图象如图所示，所以当 b≤0时，直线y=b与函数h(x)的图象只有一个交 点；当b>0时，直线y=b与函数h(x)的图象有两个 交点.故当b≤0时，f(x)有1个零点；当b>0时，f(x)有2个零点. 考法(二)　由函数的零点个数确定参数取值范围 [例2]　已知函数f(x)=ex-ax2.若函数g(x)=f(x)-x+1有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 解：令g(x)=f(x)-x+1=0，可得ex-ax2-x+1=0，由题意可得ex-ax2-x+1=0只有一个根.易知x=0不是方程ex-ax2-x+1=0的根，所以x≠0，所以由ex-ax2-x+1=0，得a=.设h(x)=，则y=a与h(x)=的图象只有一个交点. h'(x)==，当x∈(-∞，0)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(0，2)时，h'(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(2，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增. 设t(x)=ex-x+1，则t'(x)=ex-1， 当x∈(-∞，0)时，t'(x)<0，t(x)单调递减； 当x∈(0，+∞)时，t'(x)>0，t(x)单调递增， 所以t(x)≥t(0)=2， 所以h(x)=>0.又h(2)==， 当x→0时，h(x)→+∞，当x→+∞时，h(x)→+∞， 当x→-∞时，h(x)→0，画出h(x)的图象如图所示， 由图可知，若y=a与h(x)=的图象只有一个交点，则0<a<，所以实数a的取值范围是. 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”. 点拨•建模 2.已知函数f(x)=aln x-x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； 解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-1=(x>0). 当a≤0时，f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立， 故f(x)在(0，+∞)上单调递减； 当a>0时，令f'(x)>0，得0<x<a， 针对训练 令f'(x)<0，得x>a， 所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，+∞)上单调递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减； 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，+∞)上单调递减. (2)若f(x)在上存在2个零点，求a的取值范围. 解：若a=0，f(x)=-x，在上无零点，不合题意； 若a≠0，由f(x)=0，得=， 令g(x)=，则直线y=与函数g(x)在上的图象有两个交点，g'(x)=， 当<x<e时，g'(x)>0，当e<x<e2时，g'(x)<0， 所以g(x)在上单调递增，在[e，e2]上单调递减， 所以g(x)max=g(e)=.又g=-e，g(e2)=， 所以要使直线y=与g(x)的图象有两个交点， 则≤<，所以e<a≤，即实数a的取值范围为. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十三）” (单击进入电子文档) $$