第2章 第一节 函数的概念及其表示（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第二章 函　数 第一节 函数的概念及其表示 课标要求 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.理解函数的三种表示方法：图象法、列表法、解析法.会根据不同的需要选择恰当的方法. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 4 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.函数的定义 前提 设A，B是两个______________ 对应 关系 对于集合A中的______一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y=f(x)，x∈A 非空的实数集 任意 唯一确定 2.函数的定义域、值域 在函数y=f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______. 3.函数的三要素 ________、__________和______. 定义域 值域 定义域 对应关系 值域 4.同一个函数 如果两个函数的________相同，且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 5.函数的表示法 表示函数的常用方法有：________、________、________. 6.分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 定义域 对应关系 解析法 列表法 图象法 对应关系 1.(人A必修①P66·例3改编)下列函数中与函数y=x是同一个函数的是 (　　) A.y=()2 B.u= C.y= D.m= 解析：函数y=()2与函数m=和y=x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y==|x|与y=x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B. 细作教材小题 √ 2.(人A必修①P72·T1(4)改编)函数f(x)=的定义域为(　　) A.(-∞，4] B.(-∞，3)∪(3，4] C.[-2，2] D.(-1，2] 解析：依题意有解得x≤4且x≠3，故选B. √ 3.(人B必修①P116·T2改编)已知函数f(x)=若f(x)=，则x=　　　.  ± 4.(苏教必修①P115·T4)下列图象中，表示函数关系y=f(x)的有　　　　.  (1)(4) 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　函数的概念 [例1]　(多选)有以下判断，其中正确的是 (　　) A.f(x)=与g(x)=表示同一函数 B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个 C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数 D.若f(x)=|x-1|-x，则f=0 √ 解析：函数f(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，函数g(x)=定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；若函数y=f(x)在x=1处有定义，则f(x)的图象与直线x=1的交点有1个；若函数y=f(x)在x=1处没有定义，则f(x)的图象与直线x=1没有交点，故B正确；函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确；由f(x)=|x-1|-x，可得f=0，所以f=f(0)=1，故D错误. [例2]　函数y=的定义域为(　　) A.[-2，2] B.(-1，2] C.(-1，0)∪(0，2] D.(-1，1)∪(1，2] 解析：由已知可得即因此，函数y=的定义域为(-1，0)∪(0，2].故选C. √ [例3]　已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x-1)的定义域是 (　　) A.[0，5] B.[-1，4] C.[-3，2] D.[-2，3] 解析：函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，所以-1≤x+1≤4.于是对于函数y=f(x)，有-1≤x≤4，所以对于函数y=f(x-1)，有-1≤x-1≤4，解得0≤x≤5.所以函数y=f(x-1)的定义域是[0，5]. √ (1)判断两个函数是否为同一个函数，关键有两点：定义域是否相同，对应关系即解析式是否相同. (2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合，如分式的分母不等于0、对数的真数大于0且不等于1等，所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组)，不等式(组)的解集即为定义域. (3)对于抽象函数，若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出；若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a，b])的值域. 点拨•建模 逐点清(二)　函数的解析式 [例4]　(1)(换元法)已知f(1-sin x)=cos2x，求f(x)的解析式； 解：设1-sin x=t，t∈[0，2]， 则sin x=1-t，∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x， ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2，t∈[0，2]. 即f(x)=2x-x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)已知f =x2+，求f(x)的解析式； 解：∵f =x2+=-2， ∴f(x)=x2-2，x∈(-∞，-2]∪[2，+∞). (3)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式； 解：∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. (4)(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，求f(x)的解析式. 解：∵2f(x)+f(-x)=3x①， ∴将x用-x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x②， 由①②解得f(x)=3x. 函数解析式的求法 点拨•建模 待定 系数法 已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数)，可用待定系数法求解 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 解方程 组法 已知关于f(x)与f(或f(-x))的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式 √ 逐点清(三)　分段函数 题点1　求函数值 [例5]　已知g(x)=则f(f(26))等于(　　) A. B. C.1 D.2 解析：∵26>4，∴f(26)=log5(26-1)=2.又2<4，∴f(f(26))=f(2)=e2-2 =1.故选C. [例6]　(2025·聊城模拟)已知函数f(x)=则 f(2 024)=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 解析：由题意知f(2 024)=f(2)=f=f=f(3)=f(1)=f=f=sin=1. √ 求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 个性点拨 题点2　与方程结合 [例7]　设f(x)=若f(m)=f(m+1)，则f=(　　) A.14 B.16 C.2 D.6 解析：因为f(x)的定义域为(0，+∞)，则解得m>0.若m≥1，则m+1≥2>1，可得2(m-1)=2m-2≠2m，不合题意；若0<m<1，则m+1>1，可得=2m，解得m=.综上所述，m=.所以f=f(8)=14. √ 分段函数与方程结合求参数的方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值. 个性点拨 [例8]　已知函数f(x)=则f(x)<f(x+1)的解集为　　　 .  题点3　与不等式结合 解析：当x>1时，不等式f(x)<f(x+1)可化为log2x<log2(x+1)，此时不等式恒成立，所以x>1.当x≤1且x+1>1，即0<x≤1时，不等式f(x)<f(x+1)可化为x2-1<log2(x+1).因为当0<x≤1时，-1<x2-1≤0，log2(x+1)>log21=0，所以当0<x≤1时，x2-1<log2(x+1)恒成立，所以0<x≤1.当x≤1且x+1≤1，即x≤0时，不等式f(x)<f(x+1)可转化为x2-1<(x+1)2-1，化简整理得2x+1>0，解得x>-，所以-<x≤0.综上所述，不等式f(x)<f(x+1)的解集为. 与分段函数有关的不等式问题的解题策略 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 个性点拨 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　函数的概念 1.函数f(x)=+ln(1-x)的定义域是(　　) A.(-2，1) B.(-3，1) C.(1，2) D.(1，3) 解析：由题意得解得-2<x<1.故函数f(x)的定义域是(-2，1). √ 2.下列各组函数表示同一函数的是 (　　) A.f(x)=，g(x)= B.f(x)=1，g(x)=x0 C.f(x)=g(t)=|t| D.f(x)=x+1，g(x)= √ 解析：对于A，f(x)=的定义域为全体实数，g(x)=的定义域为[0，+∞)，不是同一函数；对于B，f(x)=1的定义域为全体实数，g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，不是同一函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系和值域均相同，是同一函数；对于D，f(x)=x+1的定义域为全体实数，g(x)=的定义域为{x|x≠1}，不是同一函数. 3.若函数y=f(2x)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)-f(-x)的定义域为 (　　) A.[-2，2] B.[-2，4] C.[-4，4] D.[-8，8] 解析：因为函数y=f(2x)的定义域为[-2，4]，则-2≤x≤4，可得-4≤ 2x≤8，所以函数y=f(x)的定义域为[-4，8].对于函数y=f(x)-f(-x)，则有解得-4≤x≤4.因此，函数y=f(x)-f(-x)的定义域为[-4，4]. √ 4.函数f(x)=的值域为　 　 　　.  解析：函数f(x)的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)， ∵f(x)===2+， ≠0， ∴f(x)≠2.∴函数f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). (-∞，2)∪(2，+∞) 逐点验收(二)　函数的解析式 5.[多选]已知f(3x-1)=9x2，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)=9x2 B.f(x)=(x+1)2 C.f(2)=36 D.f(-2)=1 解析：因为f(3x-1)=9x2=(3x-1)2+2(3x-1)+1， 所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2，则f(2)=9，f(-2)=1.故B、D正确. √ √ 6.已知函数f=，则f(x)=(　　) A.-1 　B.-1 C.-1 　D.-1 解析：令t=1-x，则x=1-t，且x≠0，则t≠1，可得f= =-1，所以f(x)=-1. √ 7.设函数f(x)=2f+1，则f(10)等于(　　) A.1 B.-1 C.10 D. 解析：由f(x)=2f+1，得f=2f(x)+1，联立方程组解得f(x)=-1，所以f(10)=-1.故选B. √ 逐点验收(三)　分段函数 8.已知函数f(x)=若f(f(0))=-2，则实数a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：因为f(x)=所以f(0)=03+1=1，所以f(f(0))=f(1)=1-a=-2，解得a=3. √ 9.设函数f(x)=则使f(x)≤4成立的x的取值范围为(　　) A.(-∞，4] B.(-∞，2] C.(1，2] D.(1，4] 解析：当x<1时，由f(x)≤4，得2x-1≤4=22，得x-1≤2，解得x≤3，所以x<1；当x≥1时，由f(x)≤4，得x2≤4，解得-2≤x≤2，所以1≤x≤2.综上，x≤2，即使f(x)≤4成立的x的取值范围为(-∞，2]. √ 10.(2025·武汉阶段练习)已知函数f(x)=若f(a+1)-f(2a-1)≥0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，2] B.[2，+∞) C.[2，6] D. √ 解析：因为当x∈(0，2]时，f(x)=log2x单调递增， 此时f(x)≤f(2)=1，当x∈(2，+∞)时，f(x)=2x-3单调 递增，此时f(x)>f(2)=1，所以f(x)=是定义在(0，+∞)上的增函数，所以若f(a+1)-f(2a-1)≥0，即f(a+1)≥f(2a-1)，则a+1≥2a-1>0，解得<a≤2，故选D. 11.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) √ 解析：当a>2，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2= 当2<x<a时，f(x)=-x2+ax-2a2，此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0，所以f(x)<0，不满 足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当0<a≤2，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2 =x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0，解得x>2a，由于x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解 得0<a≤1；当a=0，x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0，解得x>-a，由于x>2时，f(x)>0， 故-a≤2，解得-2≤a<0.综上-2≤a≤1.故选B. (1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. 细节、微点提醒 (4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（七）” (单击进入电子文档) $$