第2章 第五节 幂函数与二次函数（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第五节 幂函数与二次函数 课标要求 1.结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解它们的变化情况；了解幂函数的概念. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点_______和_______，且在(0，+∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，+∞)上单调递减；④当α为奇数时，y=xα为________；当α为偶数时，y=xα为________. (0，0) (1，1) (1，1) 奇函数 偶函数 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)=_______________ 顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为________ 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的______ ax2+bx+c(a≠0) (m，n) 零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R 值域 __________________ 续表 对称轴 __________ 顶点 坐标 ___________________ 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递____； 在上单调递____ 在上单调递____； 在上单调递____ x=- 减 增 增 减 1.(人B必修②P36·例2改编)幂函数f(x)=的大致图象是(　　) 细作教材小题 √ 解析：因为f(x)=，定义域为R，所以排除A、D.因为f(-x)= ==f(x)，所以函数为偶函数，所以排除B. 2.(人A必修①P91·T1改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2，)，则函数f(x)=　 　　.  解析：设f(x)=xα，则=2α，解得α=，故函数f(x)=. 3.(苏教必修①P140·例2(3)改编)，1，的大小关系为 　 　 　.  解析：因为函数y=x1.3在区间[0，+∞)上单调递增， 又<1，所以<11.3=1. 因为函数y=在区间[0，+∞)上单调递增， 又3>1，所以>=1.所以<1<. <1< 4.(人A必修①P86·T7改编)f(x)=x2-2x，x∈[2，4]的单调递增区间为　 　　 ，f(x)min=　 　.  解析：∵函数f(x)图象的对称轴为x=1，开口向上，∴当x∈[2，4]时，f(x)的单调递增区间为[2，4]，f(x)min=f(2)=0. [2，4] 　0 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　幂函数的图象与性质 [例1]　(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的是 (　　) A.函数f(x)为非奇非偶函数 B.函数f(x)的定义域为R C.f(x)的单调递增区间为[0，+∞) D.若x2>x1>0，则>f √ 解析：设幂函数f(x)=xα，α为实数，其图象经过点(4，2)，所以4α=2，则α=，所以f(x)=，定义域为[0，+∞)，f(x)为非奇非偶函数，故A正确，B错误；且f(x)=在[0，+∞)上为增函数，故C正确；因为函数f(x)=是凸函数，所以对定义域内任意x1<x2，都有< f成立，故D错误.故选AC. [例2]　如图是幂函数y=xa的部分图象，已知a分 别取，4，-4，-这四个值，则与曲线C1，C2，C3， C4相应的a依次为(　　)  A.4，，-，-4 B.-4，-，4 C.-，4，-4， D.4，，-4，- √ 解析：当a>0时，幂函数在(0，+∞)上单调递增，当a<0时，幂函数在(0，+∞)上单调递减，且在直线x=1的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数a依次增大，所以曲线C1，C2，C3，C4对应的a值依次为4，，-，-4. 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. (3)当α>0时，幂函数y=xα在(0，+∞)上单调递增，当α<0时，幂函数y=xα在(0，+∞)上单调递减. 点拨•建模 逐点清(二)　二次函数的解析式 [例3]　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 解：法一：利用“一般式”解题 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二：利用“顶点式”解题 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1)， 所以抛物线的对称轴为x==， 所以m=. 又根据题意，函数有最大值8，所以n=8， 所以f(x)=a+8. 因为f(2)=-1，所以a+8=-1， 解得a=-4， 所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 法三：利用“零点式”解题 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)， 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8，即=8， 解得a=-4. 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 点拨•建模 逐点清(三)　二次函数的图象与性质 [例4]　 (多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x=-1， 给出下面四个结论正确的为 (　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c<0 D.5a<b √ √ 解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2-4ac>0，即b2>4ac，故A正确；对称轴为x=-1，即-=-1，所以2a-b=0，故B错误；结合图象，当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，故C错误；由对称轴为x=-1知，b=2a，根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a=b，即5a<b，故D正确. [例5]　(2025·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； 解：由题意知a≠0. 当a>0时，f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上，对称轴方程为x=， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2， 又a>0，所以0<a≤； 当a<0时，f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下，对称轴方程为x=<0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减恒成立. 综上，a的取值范围是(-∞，0)∪. (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.　 解：①当0<≤1，即a≥时，f(x)在区间[1，2]上单调递增， 此时g(a)=f(1)=3a-2. ②当1<<2，即<a<时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)=f=2a--1. ③当≥2，即0<a≤时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)=f(2)=6a-3. 综上所述，g(a)= 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　幂函数的图象与性质 1.[多选]幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0，+∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　) A.m=3 B.函数f(x)在(-∞，0)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于原点对称 √ √ √ 解析：因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0，+∞)上单调递增，所以解得m=3，所以f(x)=x3.所以f(-x)=(-x)3=-x3= -f(x)，故f(x)=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(-∞，0) 上单调递增.故选ABD. 2.已知函数f(x)是定义在[a，b]内的连续函数，若对于任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，都有f>恒成立，则称f(x)在[a，b]内是“上凸函数”.则在①f(x)=x-2，②f(x)=x3，③f(x)=这三个函数中，当1≤x1<x2≤2时，“上凸函数”的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析：对于f(x)=x-2，f(x)=x3，当1≤x1<x2≤2时，取x1=1，x2=2，>f，故①②不是“上凸函数”；对于f(x)=，任取1≤x1<x2≤2，则f==，要证f >，只需证>，即证x1+x2-2>0，又x1+x2-2>2-2=0成立，则f>恒成立，故f(x)=在[1，2]内是“上凸函数”. 逐点验收(二)　二次函数的图象与性质 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=bx2+ax+c(b≠0)的图象可能是下图中的(　　) √ 解析：对于A，由图象可知两个二次函数的图象均开口向上，故a>0，b>0，则两函数的对称轴-<0，-<0，均在纵轴左侧，与选项矛盾，故A错误；对于B，同A项，有a<0，b<0，对称轴-<0，-<0，均在纵轴左侧，与选项矛盾，故B错误；对于C、D，由图象可知ab<0，故两函数的对称轴->0，->0，均在纵轴右侧，故C错误，D正确. 4.已知函数y=x2-3x-4，当0≤x≤m时，-≤y≤-4，则实数m的取值范围是(　　) A.[3，+∞) B. C. D. √ 解析：由y=x2-3x-4可得y=-，即二次 函数y=x2-3x-4的图象开口向上，对称轴为x=.画出 其函数图象如图所示，易知，当x=时，y=-； 当x=0或x=3时，y=-4.根据题意，当0≤x≤m时， -≤y≤-4，结合图象可知≤m≤3.所以实数m的取值范围是. 5.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式； 解：根据题意，二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3，可得函数f(x)的对称轴为x=1. 因为函数f(x)的最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1. 又因为f(0)=3，可得f(0)=a+1=3，解得a=2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)若f(x)在区间[3a，a+1]上不具有单调性，求实数a的取值范围； 解：由函数f(x)=2(x-1)2+1，其对称轴为x=1， 要使得函数f(x)在区间[3a，a+1]上不具有单调性， 则满足3a<1<a+1，解得0<a<， 即实数a的取值范围为. (3)在区间[-3，-1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围. 解：由函数f(x)=2x2-4x+3，若在区间[-3，-1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，则由2x2-4x+3>2x+2m+1在区间[-3，-1]上恒成立. 即m<x2-3x+1在区间[-3，-1]上恒成立. 设g(x)=x2-3x+1，其对称轴为x=，则g(x)在x∈[-3，-1]上单调递减，所以函数g(x)的最小值为g(-1)=5，则有m<5， 所以实数m的取值范围为(-∞，5). (1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. (2)根与系数的关系：x1+x2=-，x1·x2=. (3)二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性：当b=0时，二次函数为偶函数. 细节、微点提醒 (4)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. (5)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十一）” (单击进入电子文档) $$