第2章 第四节 函数性质的综合应用（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第四节 函数性质的综合应用 目录 01.互动课堂——解题思维建模 02.即练即评——课堂效果评价 2 互动课堂——解题思维建模 01 √ 逐点清(一)　单调性与奇偶性结合 [例1]　(2025·沧州调研)已知奇函数f(x)在R上单调递增，g(x)=xf(x). 若a=g(-log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 解析：易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)=0，∴g(x)在(0，+∞)上单调递增.又3>log25.1>2>20.8，且a= g(-log25.1)=g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b. [例2]　已知函数f(x)=ln(|x|-1)，则使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是 (　　) A.(-∞，-1)∪(1，+∞) 　　　　 　B.(-2，-1) C.(-∞，-2)∪(1，+∞) 　　　　　 D.∪(1，+∞) √ 解析：由于f(x)=ln(|x|-1)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，关于原点对称，且f(-x)=ln(|-x|-1)=ln(|x|-1)=f(x)，故f(x)为偶函数.当x>1时，f(x)=ln(x-1)单调递增，当x<-1时，f(x)=ln(-x-1)单调递减.由f(x+1)<f(2x)，可得1<|x+1|<|2x|，平方得1<(x+1)2<4x2，解得x<-2或x>1，故x的取值范围是(-∞，-2)∪(1，+∞). 单调性与奇偶性结合的两类题型及解题策略 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 点拨•建模 √ 逐点清(二)　奇偶性与周期性结合 [例3]　设函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)+2为奇函数，y=f(x-2)为偶函数，若f(2 024)=-5，则f(-2)= (　　) A.1 B.-1 C.0 D.-3 解析：由函数y=f(x-1)+2是R上的奇函数，得f(-x-1)+2=-f(x-1)-2，即f(-x-1)+f(x-1)=-4，则f(-x-2)+f(x)=-4.由y=f(x-2)为偶函数，得f(-x-2) =f(x-2)，于是f(x-2)+f(x)=-4，显然有f(x)+f(x+2)=-4，因此f(x+2)=f(x-2)，即f(x+4)=f(x)，函数f(x)的周期为4.由f(2 024)=-5，得f(0)=-5，又f(-2)+ f(0)=-4，所以f(-2)=-4-f(0)=1. [例4]　已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的偶函数，且满足f(x+2)= -f(x)，f(0)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=　　　.  解析：由f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数.根据题意，f(x)是定义域为(-∞，+∞)的偶函数，则有f(-1)=f(1)，又由f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(-1)=-f(1)=f(1)，所以f(1) =f(-1)=0.由f(x+2)=-f(x)，得f(2)=-f(0)=-1，f(3)=-f(1)=0，f(4)=f(0)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=506 ×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0. 0 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 点拨•建模 √ 逐点清(三)　奇偶性、对称性及周期性结合 [例5]　(2024·内江三模)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(x+2)=-f(x)成立，且函数f(x+1)为偶函数，f(1)=2，则f(1)+f(2)+ …+f(2 024)= (　　) A.-1 B.0 C.1 012 D.2 024 解析：由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即f(x)的一个周期为4，由f(x+1)为偶函数可知f(x)关于x=1轴对称，即f(2)=f(0)，又f(x+2)=-f(x)可知f(2)=-f(0)，所以f(2)=f(0)=0，显然f(3)=-f(1)=-2，f(4)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.故选B. [例6]　已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x) =5，g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4，则 f(k)= (　　) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 √ 解析：由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，可得g(2+x)=g(2-x).在f(x)+g(2-x)=5中，用-x替换x，可得f(-x)+g(2+x)=5，可得f(-x)=f(x)　①，y=f(x)为偶函数.在g(x)-f(x-4)=7中，用2-x替换x，得g(2-x)=f(-x-2)+7，代入f(x)+g(2-x)=5中，得f(x)+f(-x-2)=-2　②，所以y=f(x)的图象关于点(-1，-1)中心对称，所以f(1)=f(-1)=-1.由①②可得f(x)+f(x+2)=-2， 所以f(x+2)+f(x+4)=-2，所以f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5，又g(2)=4，所以可得f(0)=1，又f(x)+f(x+2)=-2，所以f(0)+f(2)=-2，得f(2)=-3，又f(3)=f(-1) =-1，f(4)=f(0)=1，所以 f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选D. (1)若函数y=f(x)的对称轴为x=a，x=b，则其周期为T=2|b-a|. (2)若函数y=f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T=2|b-a|. (3)若函数y=f(x)的对称轴为x=a，对称中心为(b，0)，则其周期为T=4|b-a|. 点拨•建模 √ 逐点清(四)　函数性质的综合应用 [例7]　已知定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x)的图象是连续不断的且y=f(x+2)为偶函数.若∀x1，x2∈[2，4]有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则下面结论正确的是 (　　) A.f(65.5)<f(-24.5)<f(83.5) B.f(-24.5)<f(65.5)<f(83.5) C.f(65.5)<f(83.5)<f(-24.5) D.f(-24.5)<f(83.5)<f(65.5) 解析：∵y=f(x+2)为偶函数，∴f(-x+2)=f(x+2) 且f(x)的图象关于x=2对称.∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(x)的图象关于(0，0)对称，∴f(x)为周期函数， T=8.∵∀x1，x2∈[2，4]有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0， ∴f(x)在[2，4]上单调递减.由f(x)的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如图所示.∵f(-24.5)=f(-0.5)，f(83.5)=f(3.5)，f(65.5)=f(1.5)，∴f(-24.5)<f(83.5)<f(65.5). 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 02 1.(2025·扬州联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递减，f(2)=0，则不等式f(x-1)f(x)<0的解集是 (　　) A.(-2，2) 　B.(-∞，-2)∪(1，2) C.(-∞，-1)∪(0，3) 　D.(-2，-1)∪(2，3) √ 解析：因为函数f(x)是偶函数，在(-∞，0]上单调递减， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(-2)=f(2)=0. 当-2<x<2时，f(x)<0，当x>2或x<-2时，f(x)>0.若f(x-1)f(x)<0， 则当时，得2<x<3； 当时，此时-2<x<-1. 综上，原不等式的解集为(-2，-1)∪(2，3).故选D. 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(-∞，0]单调递减，则 (　　) A.f(f(x))在[0，+∞)单调递减 B.f(g(x))在[0，+∞)单调递减 C.g(g(x))在[0，+∞)单调递减 D.g(f(x))在[0，+∞)单调递减 √ 解析：不妨设f(x)=x2，g(x)=-x，满足题意，此时f(f(x))==x4在[0，+∞)单调递增，故A错误；f(g(x))=(-x)2=x2在[0，+∞)单调递增，故B错误；g(g(x))=-(-x)=x在[0，+∞)单调递增，故C错误；因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(-∞，0]单调递减，所以f(x)在[0，+∞)单调递增，g(x)在[0，+∞)单调递减.不妨设0≤x1<x2，则f(x1)<f(x2)，g(f(x1))>g(f(x2))，所以g(f(x))在[0，+∞) 单调递减，故D正确.故选D. 3.已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=3，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= (　　) A.2 025 B.0 C.3 D.-2 025 √ 解析：因为f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0.因为f(1-x)=f(1+x)，所以f(-x)=f(1+1+x)=f(2+x)=-f(x)，可得f(2+2+x)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为4.因为f(0)=f(4)=0，f(1)=3，f(1-x)=f(1+x)，所以f(0)=f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-3.所以f(1)+f(2)+f(3) +f(4)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=506×0+f(2 025)=f(1)=3. 4.(2025·枣庄模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(2x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=a·2x+b.若f(0)+f(3)=6，则f(log296)的值是 (　　) A.-12 B.-2 C.2 D.12 √ 解析：由f(2x+1)为奇函数，可知函数f(x)关于(1，0)中心对称.又f(x+2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称.所以函数f(x)的周期T=4，且f(0)=-f(2)，f(3)=f(1)=a·21+b=0，所以f(0)+f(3)=-f(2)=-a·22-b=6，解得a=-3，b=6.所以当x∈[1，2]时，f(x)=-3·2x+6，f(log296)= f(4+log26)=f(log26)=f(4-log26)=f=-3×+6=-2，故选B. 5.[多选]已知函数f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)成立，当x∈[0，2)时，f(x)=2x-1，给出下列结论，其中正确的是 (　　) A.f(2)=0 B.点(4，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心 C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递增 D.函数f(x)在[-6，6]上有3个零点 √ √ 解析：因为f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期 为4，f(2)=f(-2)，又函数f(x)是R上的奇函数， 故f(2)=-f(-2)，所以f(2)=f(-2)=0，故A正确； 因为点(0，0)是f(x)图象的对称中心，f(x)的周期为4，所以点(4，0)也是函数f(x)的图象的一个对称中心，故B正确；作出函数f(x)的部分图象如图所示，易知函数f(x)在[-6，-2]上不具有单调性，故C不正确；函数f(x)在[-6，6]上有7个零点，故D不正确. 6.[多选]已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x-3)，f(1+x) =f(3-x)，当0≤x≤2时，f(x)=x2-x，则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的周期为4 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2 D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为- √ √ √ 解析：∵f(x+1)=f(x-3)，∴f(x+3+1)=f(x+3-3)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)的周期为4，故A正确；由f(1+x)=f(3-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；当0≤x≤2时，f(x)=x2-x在上单调递减，在上单调递增，根据对称性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(2)=4-2=2，故C正确； 根据周期性及单调性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[6，8]上的最小值为f=f =f=f=-=-，故D错误. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十）” (单击进入电子文档) $$