第2章 第七节 对数与对数函数（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第七节 对数与对数函数 课标要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.对数 概念 如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的_____，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax=N⇔x=logaN(a>0，且a≠1) loga1=0，logaa=1，=_____(a>0，且a≠1) 对数 N 续表 运算 法则 loga (MN)=______________ a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga=_____________ logaMn=nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab=(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) logaM+logaN logaM-logaN 2.对数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象 定义域 __________ (0，+∞) 续表 值域 R 性质 过定点_______ 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，+∞)上单调递增 在(0，+∞)上单调递减 (1，0) [提醒]　y=logax(a>0，且a≠1)的图象只在第一、四象限，在直线x=0的右侧. 3.反函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称. y=logax y=x 1.(人A必修①P127·T5改编)设lg 2=a，lg 3=b，则log1210= (　　) A. B. C.2a+b D.2b+a 解析：log1210===. 细作教材小题 √ 2.(湘教必修①P126·T17(1))下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= √ 3.(北师大必修①P128·T3改编)已知x=ln π，y=log52，z=，则(　　) A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 解析：∵x=ln π>ln e=1，0<log52<log5=，即y∈，1=e0>=>=，即z∈，∴y<z<x. √ 4.(人B必修②P28·T5改编)函数y=log2x，x∈[8，+∞)的值域为　　　 　.  解析：∵y=log2x单调递增，x∈[8，+∞)，∴ymin=log28=log223=3，∴函数的值域为[3，+∞). [3，+∞) 5.(苏教必修①P158·T8改编)设a与b为实数，a>0，a≠1.已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示，则a与b的值分别为　　　　.  ，3 解析：由题图可知，函数y=loga(x+b)的图象过点(-2，0)，(0，2)，所以0=loga(-2+b)，且2=logab.由0=loga(-2+b)，得-2+b=1，解得b=3，则2=loga3，得a=，所以a=，b=3. 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　对数的运算 [例1]　点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系式为ΔL=10lg (单位：dB)，取lg 5=0.7，则r从10米变化到40米时，衰减量的增加值约为(　　) A.9 dB B.12 dB C.15 dB D.18 dB 解析：当r=10时，ΔL1=10lg 25π，当r=40时，ΔL2=10lg 400π，则衰减量的增加值约为ΔL2-ΔL1=10lg 400π-10lg 25π=40lg 2=40(lg 10 -lg 5)=40×(1-0.7)=12.故选B. [例2]　(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=　　　.  解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-. 设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)， 所以loga2=，所以=2，解得a=64. 64 [例3]　(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=　　　.  解析：由f(ln 2)f(ln 4)=8，得aln 2·aln 4=8，即aln 2+ln 4=a3ln 2=8，也即(aln 2)3=23，∵a>0且a≠1，∴aln 2=2，两边取对数得ln 2·ln a=ln 2，解得a=e. e 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 点拨•建模 √ 逐点清(二)　对数函数的图象及应用 [例4]　(多选)已知函数y=loga(x+c)(a，c为 常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列 结论成立的是 (　　) A.a>1 B.0<c<1 C.c>1 D.0<a<1 解析：由题图可知，函数在定义域内单调递减，所以0<a<1.又当x=0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1. √ [例5]　方程-|lox|=0的解的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.2或3或4 √ 解析：方程-=0的解的个数， 等价于函数y=和函数y=|lox|的图象的 交点个数，作出两函数的图象，如图所示.数形结合可得，函数y=和函数y=|lox|的图象的交点个数为2，故方程-|lox|=0的解的个数为2.故选A. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)，排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 点拨•建模 √ 逐点清(三)　对数函数的性质及应用 题点1　比较大小 [例6]　设a=log827，b=log0.50.2，c=log424，则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 解析：a=log827=log227=log23，b=log0.50.2=-log20.2=log25，c=log424=log224=log2，因为y=log2x在定义域上是增函数，且3<<5，所以a<c<b. [例7]　(2025·汉中期末)已知正数a，b，c满足=log2a，=b2，=，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c √ 解析：记f(x)=，g(x)=log2x，h(x)=x2， q(x)=，则a，b，c分别为函数g(x)=log2x， h(x)=x2，q(x)=的图象与f(x)=图象交 点的横坐标，由图可知，c<b<a.故选B. 比较对数函数值大小的方法 个性点拨 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 题点2　解简单的对数不等式 [例8]　若loga(a+1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是　　 　.  解析：由题意loga(a+1)<loga(2)<loga1，得或解得<a<1. 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 个性点拨 题点3　对数函数性质的综合应用 [例9]　已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(1-x)(a>0且a≠1). (1)若a=，求f(x)的最值； 解：由得-2<x<1，则f(x)的定义域为(-2，1).当a=时，f(x)=lo(-x2-x+2).因为函数y=lot单调递增，函数t=-x2-x+2在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值为f=lo =2，无最小值. (2)若f(x)有最大值，且∀x∈(-2，1)，∃b∈[0，3]，使得f(x)<2b-2，求a的取值范围. 解：f(x)=loga(-x2-x+2)，由t=-x2-x+2=-+，x∈(-2，1)，得t∈.因为f(x)有最大值，所以y=logat在上有最大值，则a>1，ymax=loga.因为b∈[0，3]，所以2b-2∈.因为∀x∈(-2，1)，∃b∈[0，3]，f(x)<2b-2，所以loga<2.所以a2>，解得a>，故a的取值范围为. 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 个性点拨 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　对数的运算 1.(2025·西安模拟)设a，b，c都是正数，且4a=6b=9c=t，那么(　　) A.+= B.+= C.+= D.+= √ 解析：依题意得a=log4t，b=log6t，c=log9t，所以==logt4，==logt6，==logt9，则+=logt4+logt6=logt24≠=logt9，+ =logt24≠=2logt9=logt81，故A、C错误；+=logt6+logt9=logt54≠ =logt4，故B错误；+=logt4+logt9=logt36=2logt6=，故D正确.故选D. 2.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d=1，2，…，9)的概率为lg.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.2.9 B.3.2 C.3.8 D.3.9 √ 解析：依题意，一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为lg=lg，所求的比为== =≈≈3.8. 3.已知2a=32，loga2·log4x=a，则log5x+logx5=　　　　.  解析：因为2a=32=25，所以a=5.所以loga2·log4x=log52·lox= log52·log2x=××=log5x=×5，即log5x=4，所以x=54.所以log5x+logx5=log554+lo5=4+=. 逐点验收(二)　对数函数的图象及应用 4.(2025·信阳模拟)[多选]函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的大致图象不可能为(　　) √ √ √ 解析：函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0}，因为f(-x)=loga|x|+1=f(x)，所以函数f(x)为偶函数.当x∈(0，+∞)时，f(x)=logax+1(0<a<1)单调递减，且过定点(1，1)，故函数f(x)= loga|x|+1(0<a<1)的大致图象不可能为B、C、D选项.故选BCD. 5.(2025·宁德阶段练习)已知函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数y=f(x)的图象上，则f(4)= (　　) A.-2 B.2 C.1 D.-1 解析：函数y=loga(x-3)+2中，令x-3=1，解得x=4，此时y=loga1+2 =2，所以函数y=loga(x-3)+2的图象恒过定点P(4，2)，又点P在幂函数y=f(x)的图象上，所以f(4)=2.故选B. √ 6.(2025·镇江期末)若不等式x2-loga(x+1)<2x-1在x∈上恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.  解析：x2-loga(x+1)<2x-1变形为x2-2x+1<loga(x+1)， 即(x-1)2<loga(x+1)在x∈上恒成立. 设f(x)=loga(x+1)，g(x)=(x-1)2， 若0<a<1，此时f(x)=loga(x+1)在上单调递减， f(x)=loga(x+1)<loga<0，而当x∈时，g(x)= (x-1)2>0，显然不合题意；当a>1时，画出两个函数的图 象，如图所示.要想满足(x-1)2<loga(x+1)在x∈上恒成立，只需f≥g，即loga≥，解得a≤=.综上，实数a的取值范围是. 逐点验收(三)　对数函数的性质及应用 7.(2025·咸阳模拟)已知a=2-0.01，b=log510，c=log612，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析：a=2-0.01∈(2-1，20)=，b=1+log52>1，c=1+log62>1，且log52>log62，故b>c>a. √ 8.(2024·铜川三模)设函数f(x)=log0.5(ax-x2)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) 解析：设t=ax-x2，则其图象的对称轴为x=，抛物线开口向下，∵y=log0.5t是减函数，∴要使f(x)在区间(0，1)单调递减，则t=ax-x2在区间(0，1)单调递增，即≥1，且a×1-12>0，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞).故选D. √ 9.已知函数f(x)=loga(x2-ax+3)的值域为R，则实数a的取值范围是　　　 　；若f(x)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　.  (0，1)∪(1，2) [2，4) 解析：根据题意，Δ=a2-12<0，所以a∈(-2，2)，又a>0，且a≠1，所以a的取值范围为(0，1)∪(1，2).函数f(x)=loga(x2-ax+3)在[0，1]上单调递减，当0<a<1时，x2-ax+3=+3-≥3->0恒成立，而函数u=x2-ax+3在区间[0，1]上不具有单调性，因此0<a<1不符合题意；当a>1时，函数y=logau在(0，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性，得函数u=x2-ax+3在区间[0，1]上单调递减，因此≥1，并且12-a×1+3>0，解得2≤a<4，所以实数a的取值范围是[2，4). 10.已知4-a=2a，b=log95+log23，5a+12a=13c，则 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 解析：显然函数f(a)=4-a-2a在R上单调递减，f>0，f<0，则1<a<2；又b=log95+log23>log94+log23=log32+log23=log32+>2，则b>2； 综合创新训练题组 √ 由5a+12a=13c，得+=13c-a，而函数y=+在R上单调递减，则13c-a=+>+=1，因此c-a>0，即c>a，又1<a<2，则17<5a+12a<52+122=132，即17<13c<132，因此c<2<b，所以a<c<b. 11.[多选]溶液酸碱度是通过pH来计量的.pH的计算公式为pH=-lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH=7(例如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5~8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：取lg 2=0.3)(　　) A.若苏打水的pH是8，则苏打水中氢离子的浓度为10-8摩尔/升 B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6 C.若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6 D.若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用 √ √ √ 解析：若苏打水的pH是8，即pH=-lg[H+]=8，所以[H+]=10-8，即苏打水中氢离子的浓度为10-8摩尔/升，A正确；若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，pH=-lg(2.5×10-2)=-lg 2.5-lg 10-2=2-(lg 10-lg 4)= 1+2lg 2=1.6，B正确；若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7=10-8.6，因此pH=-lg10-8.6=8.6，即海水的pH是8.6，C正确；若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH =-lg=-lg 4-lg 10-7=7-2lg 2=6.4，而6.4不在6.5~8.5范围内，即该种水不适合饮用，D错误. 12.(2025·淄博一模)设方程ex+x+e=0，ln x+x+e=0的根分别为p，q，函数f(x)=ex+(p+q)x，令 a=f(0)，b=f，c=f，则a，b，c的大小关系为　　　　.(用“>”连接)  解析：由ex+x+e=0，得ex=-x-e，由ln x+x+e=0，得ln x=-x-e，依题意，直线y=-x-e与函数y=ex，y=ln x图象交点的横坐标分别为p，q，而函数y=ex，y=ln x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称， a>c>b 又直线y=-x-e垂直于直线y=x，因此直线y=-x-e与函数y=ex，y=ln x图象的交点关于直线y=x对称，即点(p，q)在直线y=-x-e上，则p+q=-e，f(x)=ex-ex，于是f(0)=1，f=-e<1，f=-e=e<3× =1，而f-f=-e-=(e--1)>0，所以f(0)>f>f，即a>c>b. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十三）” (单击进入电子文档) $$