第2章 第六节 指数与指数函数（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第六节 指数与指数函数 课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.根式 (1)如果xn=a，那么_____叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. x 根式 (3)性质： ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作=0. ③()n=____. ④当n为奇数时， =____. ⑤当n为偶数时， =|a|= a a a -a 2.分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂：=______(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)正数的负分数指数幂：=______=_______ (a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 (1)aras=_____； (2)(ar)s=_____； (3)(ab)r=______(a>0，b>0，r，s∈R). ar+s ars arbr 4.指数函数及其性质 (1)概念： 函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，函数的定义域是R. (2)图象与性质：   a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 _________   (0，+∞) 续表 性质 过定点_______，即x=0时，y=1 当x>0时，______； 当x<0时，_______ 当x<0时，______； 当x>0时，________ 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递减 (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 1.(苏教必修①P147·T7)函数y=2-x的图象为 (　　) 解析：因为函数y=2-x的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，故选A. 细作教材小题 √ 2.(人A必修①P107·T2改编)[多选]下列运算正确的是 (　　) A.=(x>0) B.=(m-n(m>n) C.=(p>0) D.=(a>0) √ √ √ 3.(人A必修①P119·T6改编)已知a=0.750.1，b=1.012.7，c=1.013.5，则 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析：因为函数y=1.01x在(-∞，+∞)上单调递增，且3.5>2.7，所以1.013.5>1.012.7>1.因为函数y=0.75x在(-∞，+∞)上单调递减，又0.1>0，所以0.750.1<1.故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a. √ 4.(人A必修①P110·T8改编)已知+=3，则a+a-1=　　　　；a2+a-2=　　　　.  解析：由+=3，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7，则a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47. 7 47 5.(北师大必修①P92·T8改编)函数f(x)=ax(a>0)的图象经过点(2，3)，且f(2m-1)>，则m的取值范围为　 　.  解析：由题意，a2=3，a>0，故a=，所以f(x)=()x在R上单调递增，f(2m-1)>=f(-2)，故2m-1>-2，m>-. 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　指数幂的运算 [例1]　化简(a>0，b>0)的结果是(　　) A. B. C. D. 解析：===ab-1=. [例2]　+-(π+e)0-×=　　　.  解析：0.06+-(π+e)0-× =(0.43+22-1-(32× =0.4-1+4-1-33×3-2=+4-1-3=. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 点拨•建模 √ 逐点清(二)　指数函数的图象及应用 [例3]　图中的曲线是指数函数y=ax的图象，已知 a的取值分别为π， ，则曲线c1，c2，c3， c4对应的a依次为(　　) A.，π， B.，π， C.π， D.π， √ 解析：不妨取x=1，由指数函数y=ax的图象可知，c2对应的a最大，其次是c1，然后是c4，最小的是c3，所以曲线c1，c2，c3，c4对应的a依次为π， .故选C. [例4]　(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为 (　　) A.0<a<1，b<0 B.0<a<1，0<b≤1 C.a>1，b<0 D.a>1，0<b≤1 √ √ √ 解析：若0<a<1，则函数y=ax的图象如图1所示，要想f(x)=ax-b的图象不经过第三象限，则需要向上平移或向下平移不超过1个单位长度，故-b>0或-1≤-b<0，解得b<0或0<b≤1，故A、B正确；若a>1，则函数y=ax的图象如图2所示，要想f(x)=ax-b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故-b>0，解得b<0，故C正确，D错误. 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 点拨•建模 逐点清(三)　指数函数的性质及应用 题点1　比较大小 [例5]　(2025·吉林模拟)已知a=0.310.1，b=0.310.2，c=0.320.1，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析：由y=0.31x单调递减可知0.310.1>0.310.2，即a>b； 由y=x0.1单调递增可知0.320.1>0.310.1，即c>a，所以c>a>b. √ [例6]　若ea+πb≥e-b+π-a，则下列结论一定成立的是 (　　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 解析：∵ea+πb≥e-b+π-a，∴ea-π-a≥e-b-πb.令f(x)=ex-π-x，易知f(x)是R上的增函数，上式可化为f(a)≥f(-b)，∴a≥-b，即a+b≥0.故选D. √ 比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式，并要注意底数的范围是(0，1)还是(1，+∞)，若不能化为同底，则可化为同指数或利用中间量比较. 个性点拨 题点2　解简单的指数不等式 [例7]　若≤，则函数y=2x的值域是(　　) A. B. C. D.[2，+∞) √ 解析：因为=，所以≤可化为≤ =24-2x.由指数函数的单调性可得x2+1≤4-2x，解得-3≤x≤1，所以2-3≤2x≤21，故函数y=2x的值域是. [例8]　已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1-x<2，则p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：∵ax<1，当a>1时，y=ax是增函数，∴p： {x|x<0}.对于不等式2x+1<x+2，作出函数y=2x+1与y=x+2 的图象，如图所示.由图象可知，不等式2x+1<x+2的解 集为{x|-1<x<0}，∴q：{x|-1<x<0}.又∵{x|-1<x<0}⫋{x|x<0}，∴p是q的必要不充分条件. 解指数不等式的3种方法 个性点拨 性质法 解形如ax>ab的不等式，可借助函数y=ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1或0<a<1两种情况进行讨论 转化法 解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y=ax的单调性求解 图象法 解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解 题点3　指数函数性质的综合应用 [例9]　若函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，2) B.(0，1) C.(1，4] D.(-∞，4] √ 解析：令t=2x2-ax+1，则y=at，t=2x2-ax+1的对称轴为x=，则t=2x2-ax+1在上单调递减，在上单调递增.当0<a<1时，y=at在定义域内单调递减，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.因为f(x)在(1，3)上单调递增，所以 不等式无解.当a>1时，y=at在定义域内单调递增，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.因为f(x)在(1，3)上单调递增，所以解得1<a≤4.综上，实数a的取值范围为(1，4].故选C. [例10]　已知函数f(x)=(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数. (1)求a的值； 解： f(x)=×2x+，因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 所以×+2x=-， 所以=0，即+1=0，解得a=-1. (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)-mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围. 解：因为f(x)=-2x，x∈[1，2]， 所以-22x≥m， 所以m≥+2x，x∈[1，2]，令t=2x，t∈[2，4]， 由于y=t+在[2，4]上单调递增， 所以m≥4+=.故实数m的取值范围为. 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 个性点拨 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　指数幂的运算 1.地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M与所释放的能量E的关系为E=104.8+1.5M(焦耳)(≈3.16)，那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的(　　) A.3.16倍 B.31.6倍 C.100倍 D.1 000倍 √ 解析：由题意，设4级地震释放的能量为E1，6级地震释放的能量为E2，所以E1=104.8+1.5×4=1010.8，E2=104.8+1.5×6=1013.8，所以==103= 1 000.即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的1 000倍. 2.[多选]下列计算正确的是 (　　) A.= B.()(-3)÷=-9a(a>0，b>0) C.= D.已知x2+x-2=2，则x+x-1=2 √ √ 解析：====≠，所以A错误；() (-3)÷=-9·=-9a，所以B正确；= = ==，所以C正确；因为(x+x-1)2=x2+2+x-2=4，所以x+x-1=±2，所以D错误.故选BC. 逐点验收(二)　指数函数的图象及应用 3.二次函数y=ax2+bx+c与指数函数y=的图象只可能是(　　) √ 解析：因为y=为指数函数，所以>0，且≠1，所以-<0，因为二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=-，所以排除B、D；由指数函数的图象可知0<<1，所以-<-<0，所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以排除C.故选A. 4.[多选]已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列可能成立的关系式为 (　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b √ √ √ 解析：由题意，在同一坐标系内分别画出函数 y=3x和y=6x的图象，如图所示，由图象知，当a=b =0时，3a=6b=1，故A正确；作出直线y=k，当k>1 时，若3a=6b=k，则0<b<a，故B正确；作出直线 y=m，当0<m<1时，若3a=6b=m，则a<b<0，故C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b=6b，故D错误. 5.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是　　　　.  解析：在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2| 与y=b的图象，如图所示.当0<b<2时，两函数图象 有两个交点，从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.故 实数b的取值范围是(0，2). (0，2) 逐点验收(三)　指数函数的性质及应用 6.设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c>a>b B.a>b>c C.a>c>b D.b>c>a 解析：∵函数y=单调递减，>，∴>，∴b>c.又函数y=是R上的增函数，>，∴>，即a>b.综上可得，a>b>c. √ 7.[多选]已知函数f(x)=，则(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0，2] C.函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增 D.函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减 √ √ √ 解析：令u=x2+4x+3=(x+2)2-1，则u∈[-1，+∞)，f(x)的定义域与u=x2+4x+3的定义域相同，均为R，故A正确；因为y=，u∈[-1，+∞)的值域为(0，2]，所以函数f(x)的值域为(0，2]，故B正确；因为u=x2+4x+3在[-2，+∞)上单调递增，且y=，u∈[-1，+∞)在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减，故C不正确，D正确. 8.(2025·聊城期末)已知函数f(x)=e-|x|，则使得f(2a)<f(a-1)成立的正实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.(0，1) D. √ 解析：由题意可知f(x)的定义域为R，且f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，f(x)=，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(x)>0.所以不等式f(2a)<f(a-1)成立，需|2a|>|a-1|，解得a<-1或a>，又a>0，所以a>，即正实数a的取值范围是.故选A. 9.使得“函数f(x)=在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是(　　) A.t≥2 B.t≤1 C.t≥3 D.t≤0 综合创新训练题组 √ 解析：因为函数y=在R上单调递减，函数f(x)=在区间上单调递减，所以函数y=x2-4tx=(x-2t)2-4t2在上单调递增，则2t≤2，解得t≤1，所以函数f(x)=在区间上单调递减的充要条件为t≤1，那么其成立的一个充分不必要条件可以是t≤0. 10.某同学向老师请教一题：当x∈(1，+∞)时，函数y=x-4ex-aln x 的图象恒在直线y=x+1的上方(不含该直线)，求实数a的取值范围.老师告诉该同学：“ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且方程x-4ln x=0在上有解”，根据老师的提示可得a的取值范围是 　　　 　.  解析：因为x>1，所以ln x>0，由x-4ex-aln x>x+1可得a<= ，由题意ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且方程x-4ln x=0在上有解，x=x0>1，所以≥ =-4，当且仅当x=x0时等号成立，所以a<-4，因此实数a的取值范围是. 11.已知函数y=mx+2m与函数y=2x+2-2-2-x的图象交于点M，N，P，此三点中最远的两点间距离为，则实数m=　　　　.  解析：不妨记y1=f(x)=mx+2m=m(x+2)，y2=g(x)=2x+2-2-2-x=2x+2- 2-(2+x)，因为函数y=mx与y=2x-2-x是奇函数且关于坐标原点对称，所 以f(x)，g两个函数均是以点(-2，0)为对称中心的函数， 所以三个交点其中一个必是点(-2，0)，另外两个点关于点(-2，0)对称，不妨记N(-2，0)，设M， 所以即 解得x1=-1或x1=-3，m=. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十二）” (单击进入电子文档) $$