第2章 第二节 函数的单调性与最大(小)值（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第二节 函数的单调性与最大(小)值 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.函数的单调性 (1)函数的单调性 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 续表 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有_________； ∃x0∈D，使得_________ ∀x∈D，都有_________； ∃x0∈D，使得_________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M 1.(人A必修①P85·T1改编)已知函数y=f(x)的 图象如图所示，其单调递增区间是 (　　) A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4] C.[-3，1] D.[-3，4] 解析：由题图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为[-3，1].故选C. 细作教材小题 √ 2.(人A必修①P86·T3改编)[多选]下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是 (　　) A.y=-x B.y=x2-x C.y=-x2-2x D.y=ex √ √ 3.(人B必修①P107·T1改编)[多选]已知函数f(x)在区间[-1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，那么下列说法一定正确的是 (　　) A.f(0)<f(2) B.f(3)>f(2) C.f(x)在区间[-1，5]上有最小值 D.f(x)在区间[-1，5]上的最小值是f(5) √ √ 解析：∵f(x)在区间[-1，2]上单调递增，∴f(0)<f(2)，故A正确.∵函数f(x)在区间[2，5]上单调递减，∴f(3)<f(2)，故B错误.∵函数f(x)在区间[-1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，∴函数f(x)在区间[-1，5]上有最大值，也有最小值，且f(2)是最大值，f(-1)或f(5)是最小值，故C正确，D错误. 4.(人A必修①P81·例5 改编)函数y=-在区间[1，2]上的最大值为(　　) A.-　　 B.- C.-1　　 D.不存在 解析： y=-在(-1，+∞)上单调递增，则y=-在区间[1，2]上单调递增，所以ymax=-=-. √ 5.(苏教必修①P134·T6)设m为实数，若函数f(x)=x2+mx-2在区间 (-∞，2)上单调递减，则m的取值范围为　　　 　.  解析：由题意，得f(x)为图象开口向上的二次函数，对称轴为直线x=-，要使得函数f(x)在(-∞，2)上单调递减，则-≥2，解得m≤-4. (-∞，-4] 互动课堂——解题思维建模 02 √ 逐点清(一)　确定函数的单调性(区间) [例1]　(函数的单调性的理解)[多选]如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论正确的是 (　　) A. >0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D. >0 解析：因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1 ≠x2)，x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同，所以A、B、D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b). √ √ [例2]　(求函数的单调区间)函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A.(0，+∞) 　B.(-∞，0) C.(-∞，0)∪(0，+∞) 　D.(-∞，0)，(0，+∞) 解析：∵函数f(x)==1-，定义域为{x|x≠0}，且y=的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，∴函数f(x)=的单调递增区间为 (-∞，0)，(0，+∞). √ [例3]　(判断或证明函数的单调性)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1，1)上的单调性. 解：法一：定义法　设-1<x1<x2<1，又f(x)=a=a，所以f(x1)-f(x2)=a-a=. 由于-1<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0，故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递增. 法二：导数法　f'(x)===-. 当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1，1)上单调递减； 当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-1，1)上单调递增. 综上，当a>0时，函数f(x)在(-1，1)上单调递减； 当a<0时，函数f(x)在(-1，1)上单调递增. 判断或证明函数单调性的方法 点拨•建模 定义法 设元、作差、变形、判断符号、得出结论 性质法 直接利用函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性，如“增+增”为增，“增-减”为增，“减+减”为减，“减-增”为减 图象法 利用图象的上升或下降判断 导数法 利用导数值的正负确定函数的单调区间 √ 逐点清(二)　函数单调性的应用 题点1　比较函数值的大小 [例4]　(2025·湛江阶段练习)已知函数f(x)在[3，+∞)上单调递减，且f(x)的图象关于直线x=3对称，则a=f(0.2)，b=f(2)，c=f(0)的大小关系是(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 解析：因为函数f(x)在[3，+∞)上单调递减，且f(x)的图象关于直线x=3对称，所以函数f(x)在(-∞，3)上单调递增，因为0<0.2<2<3，所以f(0)<f(0.2)<f(2)，即c<a<b，故选D. 比较函数值的大小时，先把自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 个性点拨 题点2　求函数的最值 [例5]　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[，+∞) √ √ √ 解析：对于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).对于B，(分离常数法)y===2+，显然≠0，∴y≠2.故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞).对于C，(换元法)设t=，则x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2+，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)， 可得函数的值域为.对于D，函数的定义域为[1，+∞)，∵y=与y=在[1，+∞)上均单调递增，∴y=+在[1，+∞)上为增函数，∴当x=1时，ymin=，即函数的值域为[，+∞). [例6]　(2025·石家庄质检)已知max{a，b}表示取a和b中较大的数.若对任意x∈R，函数f(x)=max，则f(x)的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 √ 解析：如图，在同一平面直角坐标系中， 画出函数y=-x+3，y=x+，y=x2-4x+3的图象. 根据max{a，b}的定义，可得函数f(x)的图象 为图中实线部分.由得 A(0，3)，由得B(1，2)，由图知f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，f(x)最小，且最小值为f(1) =2.故选D. 求函数最值的4种基本方法 个性点拨 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 分离 常数法 分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式 题点3　解不等式 [例7]　已知函数y=f(x)的定义域为R，当x1≠x2时，<3，则f(2x-1)-f(2)-6x+9<0的解集为(　　) A.(-∞，3) B.(1，+∞) C. D. √ 解析：因为当x1≠x2时，<3，即<0，所以g(x)=f(x)-3x在R上单调递减.因为f(2x-1)-f(2)-6x+9<0⇔f(2x-1)-3(2x-1)<f(2)-3×2，所以g(2x-1)<g(2)，所以2x-1>2，解得x>，所以不等式的解集为. 利用函数单调性解不等式的具体步骤 (1)将不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式； (2)考查函数f(x)的单调性； (3)根据函数f(x)的单调性去掉“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式，从而得解. 个性点拨 题点4　求参数的取值范围 [例8]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 解析：若函数f(x)在R上单调递增，则需满足解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B. √ 求参数的范围(或值)的注意点 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内具有单调性. 个性点拨 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　确定函数的单调性(区间) 1.函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递减区间是(　　) A.(-∞，0) 　B.(0，2) C.(-∞，0)和(2，+∞) 　D.(2，+∞) √ 解析： f(x)=(x-4)·|x|=函数图象如图所示，由图可知函数的单调递减区间为(0，2). 2.函数f(x)=log2(x2-2x-8)的单调递增区间是 (　　) A.(-∞，-2) B.(-∞，1) C.(1，+∞) D.(4，+∞) 解析：由x2-2x-8>0，得x>4或x<-2.设t=x2-2x-8，则y=log2t单调递增.要求函数f(x)的单调递增区间，即求t=x2-2x-8(x>4或x<-2)的单调递增区间.因为函数t=x2-2x-8(x>4或x<-2)的单调递增区间为(4，+∞)，所以函数f(x)的单调递增区间为(4，+∞). √ 3.讨论函数f(x)=x+(a>0)在(0，+∞)上的单调性. 解：法一　设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=-=·(x1x2-a). 当0<x1<x2≤时，0<x1x2<a. 又x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在(0，]上单调递减. 当≤x1<x2时，x1x2>a. 又x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[，+∞)上单调递增. 综上，f(x)在(0，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增. 法二　因为f(x)=x+，所以f'(x)=1-. 当x>0时，由f'(x)>0，得1->0，即x2>a，解得x>； 由f'(x)<0，得1-<0，即x2<a，解得0<x<. 所以f(x)在(0，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增. 逐点验收(二)　函数单调性的应用 4.(2025·武汉模拟)已知函数f(x)=-，若a=f(21.3)，b=f(40.7)，c=f(log38)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c 解析：函数f(x)=-是R上的减函数，又log38<2<21.3<21.4=40.7，所以f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即b<a<c. √ 5.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) 解析：由题意得y=x(x-a)在区间(0，1)单调递减，所以x=≥1，解得a≥2.故选D. √ 6.(2025·北京西城一模)已知函数f(x)=若f(x)存在最小值，则c的最大值为(　　) A. B. C. D. √ 解析：当-2<x<0时，f(x)=x2+x=-，故当x=-时，f(x)有最小值-；当0≤x<c时，f(x)=-单调递减，所以-<f(x)≤0，由题意f(x)存在最小值，则-≥-，解得0<c≤，即c的最大值为，故选A. 7.已知函数f(x)=-x2-3在区间上单调递增，则满足f>f的x取值范围为　　　　.  解析：函数f(x)=-x2-3的定义域为R，且f=--3= -x2-3=f(x)，即f(x)=-x2-3为偶函数.又函数f(x)=-x2-3在区间上单调递增，则f(x)=-x2-3在区间上单调递减，所以不等式f>f，即f()>f，则<1，即-1<x-1<1，解得0<x<2.故满足f>f的x取值范围为. 8.函数y=的值域为　　　　.  解析：由y===1+，令t=x2+1，则t≥1， ∴∈[-2，0)，∴y=1+∈[-1，1)， ∴所求函数的值域为[-1，1). [-1，1) 细节、微点提醒 与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增. ②<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减. (2)y=x+的单调递增区间为(-∞，-1]和[1，+∞)，单调递减区间为(-1，0)和(0，1). (3)y=ax+(a>0，b>0)的单调递增区间为和，单调递减区间为和. (4)在共同定义域上，两个增函数的和仍单调递增，两个减函数的和仍单调递减. (5)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（八）” (单击进入电子文档) $$