专题3.1 函数的概念及其表示（10类必考点）-2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

专题3.1 函数的概念及其表示 【知识梳理】 1 【考点1：函数关系的判断】 3 【考点2：求函数值】 5 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 5 【考点4：区间的概念与运算】 7 【考点5：求具体函数的定义域】 8 【考点6：求抽象函数的定义域】 9 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 11 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 11 【考点9：函数解析式的求法】 12 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 13 【知识梳理】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 6．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 7．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 8．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 9．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 10．求函数解析式的方法 【考点1：函数关系的判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·全国·课后作业）如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（多选）（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点2：求函数值】 1．（24-25高一·全国·课后作业）若f(x)＝，则f（3）＝（    ） A．2 B．4 C．2 D．10 2．（24-25高一上·广东广州·期中）设，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）用列表法将函数表示如下： x 0 y 0 则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·北京·学业考试）已知函数由下表给出： 1 2 3 4 3 1 2 4 那么等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 1．（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为 . 2．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 4．（24-25高一上·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 6．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【考点4：区间的概念与运算】 1．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 2．（辽宁省五校联考2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷）集合（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【考点5：求具体函数的定义域】 1．（24-25高一下·北京房山·期末）函数的定义域为 ． 2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域是 3．（24-25高一上·海南儋州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）下列四个函数：①；②；③；④．其中定义域相同的函数有（   ） A．①，②和③ B．①和② C．②和③ D．②，③和④ 5．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点6：求抽象函数的定义域】 1．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 4．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 5．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 1．（2025·陕西西安·二模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 4．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 5．（24-25高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 6．（24-25高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 1．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 2．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为 ． 4．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一上·山东·期中）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 【考点9：函数解析式的求法】 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 2．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 1．（24-25高二下·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念及其表示 【知识梳理】 1 【考点1：函数关系的判断】 3 【考点2：求函数值】 6 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 7 【考点4：区间的概念与运算】 10 【考点5：求具体函数的定义域】 12 【考点6：求抽象函数的定义域】 14 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 17 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 19 【考点9：函数解析式的求法】 22 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 24 【知识梳理】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 6．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 7．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 8．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 9．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 10．求函数解析式的方法 【考点1：函数关系的判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 【答案】B 【详解】对于给定的任意一个n的值，显然有唯一的y值与之对应，所以y是n的函数，故A错误；n的取值为正整数，所以定义域是，故B正确；根据定义可知值域为，故C错误，D错误． 5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 6．（多选）（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 【考点2：求函数值】 1．（24-25高一·全国·课后作业）若f(x)＝，则f（3）＝（    ） A．2 B．4 C．2 D．10 【答案】A 【分析】根据函数解析式，将代入即可求解. 【详解】解析：因为f(x)＝，所以f（3）＝＝2. 故选：A 【点睛】本题考查了求函数值，考查了基本运算能力，属于基础题. 2．（24-25高一上·广东广州·期中）设，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的自变量算出的值，并将该值代入函数求出函数值即可. 【详解】 故选：B. 3．（2025·全国·模拟预测）用列表法将函数表示如下： x 0 y 0 则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由表格可得答案. 【详解】由表格可得， 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 5．（2025高二·北京·学业考试）已知函数由下表给出： 1 2 3 4 3 1 2 4 那么等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据表中数据运算即可求得结果. 【详解】，. 故选：A. 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 1．（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，， 则， 解得或. 故答案为：或 2．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 4．（24-25高一上·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 5．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据解析式直接求值即可得到结果； （2）根据已知条件解方程即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为，所以，所以 6．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【答案】(1)不在； (2)； (3)． 【分析】（1）计算后可得； （2）代入计算； （3）方程即得． 【详解】（1），所以点不在的图象上； （2）； （3），解得． 【考点4：区间的概念与运算】 1．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 2．（辽宁省五校联考2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷）集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 3．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再用区间表示. 【详解】方程的两根分别为和， 所以不等式，得， 解集用区间表示为. 故选：A 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 5．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据并集定义计算即可. 【详解】集合，， 则． 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【考点5：求具体函数的定义域】 1．（24-25高一下·北京房山·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意得解出即可. 【详解】要使函数有意义， 则，即， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域是 【答案】 【分析】二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可 【详解】由， 得，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·海南儋州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式和根式求的范围即可. 【详解】因为函数，要使得函数有意义， 则且. 解得且. 所以该函数的定义域为. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）下列四个函数：①；②；③；④．其中定义域相同的函数有（   ） A．①，②和③ B．①和② C．②和③ D．②，③和④ 【答案】A 【分析】分别求出四个函数的定义域即可求解. 【详解】①，②，③的定义域都是，而④的定义域为. 故选：A 5．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 6．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3){且 (4)且 【分析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可； （3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可. 【详解】（1） 所以定义域为 （2） 所以定义域为 （3）且 所以定义域为且 （4）且 所以定义域为且 【考点6：求抽象函数的定义域】 1．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 3．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【详解】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 5．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 1．（2025·陕西西安·二模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得两函数的值域，利用交集的定义计算即可. 【详解】因为，所以，，所以， 所以. 故选：A. 2．（多选）（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出集合A和B，再根据集合的交集、并集和补集的定义即可直接计算判断各选项. 【详解】要使函数有意义，则， 所以，即， 因为，所以，即， 所以，，， 故ABD正确，C错误. 故选：ABD 3．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 5．（24-25高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 1．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果. 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 2．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，化简函数解析式为，利用基本不等式可求得函数的值域. 【详解】对于函数，有，可得， 所以函数的定义域为， 所以， 当且仅当即当时等号成立， 故函数的值域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法求解. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 6．（多选）（24-25高一上·山东·期中）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断A；由可判断B；因为，可判断C；与轴有两交点，可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A显然不符合题意； 对于B，因为，所以，故B符合题意； 对于C，因为，所以，故C不符合题意； 对于D，因为与轴有两交点，，故D符合题意． 故选：BD． 【考点9：函数解析式的求法】 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 【答案】 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 2．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 4．（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 1．（24-25高二下·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 2．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据函数的定义域和对应法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为， 故两者不是同一函数； 对于B，由得，故定义域为， 由得， 故的定义域为，故两者不是同一函数； 对于C，，两者定义域均为，对应法则相同，故为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故两者不是同一函数； 故选：C. 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】判断解析式和定义域是否都相同，若相同则是同一函数，若有不同，则不是同一函数. 【详解】A. 与，定义域均为，故是同一函数，A正确； B. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误； C. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误； D. 与，定义域均为，但是解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：A 6．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$