16.1幂的运算（思维导图+知识点+习题精练）2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.1幂的运算第一课时 一、知识框架 二、知识梳理 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意 m、n. 2.扩展： （m，n，p都是正整数） 【注意】 ① 底数a可以代表一个数，也可以代表一个式子； ② 指数可以是一个数，也可以代表一个式子； ③ 幂指数为1时，不要遗漏； ④ 要注意算式里的负号是属于幂的还是指数的. 三、例题精讲 知识点一：同底数幂的乘法运算 学用P1 例1： (1)计算: ①a·a3; ②(-2)×(-2)2×(-2)5; ③(a-b)m·(a-b)·(a-b)3m+1.(m为正整数) 解:①原式=a1+3=a4. ②原式=(-2)1+2+5=(-2)8=256. ③原式=(a-b)m+1+3m+1=(a-b)4m+2. (2)计算: ①35×(-3)3; ②a·(-a2)·(-a3) ; ③32×(-2)2n·(-2)3(n为正整数); ④(x-y)2·(y-x)3·(x-y)4. 解:①原式=-38=-6 561. ②原式= a6. ③原式=-22n+8. ④原式=-(x-y)9. 跟踪训练一： 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘， 对于（1），根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可； 对于（2），先整理，再根据同底数幂相乘法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点二：同底数幂的乘法的逆运算 学用P1 例2： 已知． (1)求的值． (2)求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵ ∴原式． 跟踪训练二： 1、已知 ，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用同底数幂乘法的逆运算计算即可； （）由幂的乘方的逆运算得，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可； 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， 又∵， ∴． 四、知识精练 一、单选题 1．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 3．的值是（   ） A． B． C． D． 4．八年级期末）下列各式的计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 5．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的值等于（　　） A． B． C． D． 8．若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．计算： ． 11．规定，若，则x的值是 ． 12．已知，则的值为 ． 13．若，，则 ． 三、解答题 14．（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 15．已知：，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)试说明：． 16．利用乘法公式解决问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． 17．（1）已知：，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求m的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1幂的运算第一课时 一、知识框架 二、知识梳理 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意 m、n. 2.扩展： （m，n，p都是正整数） 【注意】 ① 底数a可以代表一个数，也可以代表一个式子； ② 指数可以是一个数，也可以代表一个式子； ③ 幂指数为1时，不要遗漏； ④ 要注意算式里的负号是属于幂的还是指数的. 三、例题精讲 知识点一：同底数幂的乘法运算 学用P1 例1： (1)计算: ①a·a3; ②(-2)×(-2)2×(-2)5; ③(a-b)m·(a-b)·(a-b)3m+1.(m为正整数) 解:①原式=a1+3=a4. ②原式=(-2)1+2+5=(-2)8=256. ③原式=(a-b)m+1+3m+1=(a-b)4m+2. (2)计算: ①35×(-3)3; ②a·(-a2)·(-a3) ; ③32×(-2)2n·(-2)3(n为正整数); ④(x-y)2·(y-x)3·(x-y)4. 解:①原式=-38=-6 561. ②原式= a6. ③原式=-22n+8. ④原式=-(x-y)9. 跟踪训练一： 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘， 对于（1），根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可； 对于（2），先整理，再根据同底数幂相乘法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点二：同底数幂的乘法的逆运算 学用P1 例2： 已知． (1)求的值． (2)求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵ ∴原式． 跟踪训练二： 1、已知 ，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用同底数幂乘法的逆运算计算即可； （）由幂的乘方的逆运算得，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可； 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， 又∵， ∴． 四、知识精练 一、单选题 1．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法法则进行作答，即可求解． 【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，即：， 选项A为，对应幂的乘方法则（指数相乘），但题目中是乘法，故错误； 选项B为，错误地将底数相乘，不符合法则； 选项D为，底数被错误地相加，结果显然不成立； 选项C符合同底数幂相乘的法则，因此正确答案为C； 故选：C． 3．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键在于掌握同底数幂相乘的法则． 根据同底数幂相乘的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：B． 4．八年级期末）下列各式的计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘法则判断即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：，故该选项不符合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不符合题意． 故选：C． 5．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法．根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 6．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握（、都是正整数）是解题关键．根据已知等式可得，再根据同底数幂乘法法则，得到，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， 故选：A． 7．已知，，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，根据，求出，然后代入求解即可，掌握同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂相乘的运算法则，把转化为与相乘的形式，再代入已知值计算．本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则是解题的关键． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为整数）， ∴． 又，， ． 故选： ． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，掌握同底数相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 直接运用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 11．规定，若，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，新定义，根据新定义可得，则，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，由，然后把代入即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．（1）计算：；             （2）计算：； （3）计算：；                     （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘法则即可求解； （2）根据积的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据幂的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可； （4）根据积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 15．已知：，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)试说明：． 【答案】(1) (2)60 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）根据可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 16．利用乘法公式解决问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法和幂的乘方进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ． 17．（1）已知：，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求m的值． 【答案】（1）；（2）16；（3）4 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，然后将代入求值即可； （2）将原式整理为，然后将代入求值即可； （3）根据幂的乘方的逆用以及同底数幂的乘法运算法则，可得，进而可得，求解即可获得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴原式； （2）∵， ∴原式； （3）∵， ∴，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$