精品解析：湖南省衡阳市石鼓区多校 2024-2025学年八年级下学期6月期末联合考试数学试题

2025年上八年级数学学科期末检测卷 考生注意：1．本学科试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 2．本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框，直接在试题卷上作答无效． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 2. 人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0， 点在第四象限． 故选D． 4. 一支蜡烛长20cm.若点燃后每小时燃烧5cm.则燃烧剩余的长度y (cm) 与燃烧时间x(小时)之间的函数关系的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出点燃前的长度与燃烧4小时的长度变换，再根据各函数的图像即可判断. 【详解】根据题意可知点燃前长度为20cm, 点燃后每小时燃烧5cm，故可燃4小时，长度由20变为0cm, 即可判断C选项正确. 故选：C 【点睛】此题主要考查函数图像的判断，解题的关键是根据题意得出变化的规律. 5. 若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. -5 B. -2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质找出关于k的不等式是关键． 6. 下列描述一次函数的图象与性质错误的是（ ） A. 点和都在此图象上 B. 直线经过一、二、四象限 C. 与正比例函数的图象平行 D. 直线与轴的交点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】把（0，5），（1，1）代入直线的解析式可判断A；由k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限可判断B；由正比例函数的比例系数=一次函数的比例系数，且b≠0可判断C；令y=0，求出x，可得与x轴的交点坐标，可判断D． 【详解】解：A、因为当x=0时，y=5，所以点（0，5）在此图象上，当x=1时，y=1，所以点（1，1）在此图象上，故选项正确，不合题意； B、因为k=-4＜0，b=5＞0，直线经过第一、二、四象限，故选项正确，不合题意； C、因为正比例函数的比例系数=一次函数的比例系数=-4，且b≠0，所以它们的图象平行，故选项正确，不合题意； D、因为y=0时，x=，直线与y轴交点坐标是（，0），故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，正比例函数与一次函数的关系，判断点在图象上的方法，明确一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，b）是解答此题的关键． 7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数和一次函数图象的特点，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； B、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项错误； C、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项正确； D、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； 故选：C． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形 B. 矩形的对角线垂直 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判断，熟练掌握相关的性质和判定是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定方法逐一分析选项即可． 【详解】解：A． 平行四边形是中心对称图形（绕对角线交点旋转重合），但不是轴对称图形（无对称轴），故A错误； B．矩形的对角线相等且互相平分，但垂直仅当矩形为正方形时成立，一般矩形的对角线不垂直，故B错误； C．菱形的对角线互相垂直且平分，但相等仅当菱形为正方形时成立，一般菱形的对角线不相等，故C错误； D．对角线互相平分说明为平行四边形；对角线垂直，说明为菱形；对角线相等则菱形变为正方形，故D正确． 故选：D． 9. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．） 11. ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂， 先化简零次幂，负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案：3． 12. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 故答案为： 13. 射击队在某次射击比赛的选拔训练中，甲、乙两名运动员各项成绩比较突出，现决定从这两人中选取一人参加比赛，这两人选拔测试的10次射击成绩分析如表所示： 运动员 平均成绩（环） 方差 甲 9.1 0.69 乙 9.1 0.03 历次比赛经验说明，平均成绩在9.0环以上就很可能获得奖牌，若你是教练员并想确保取得这块奖牌，最有可能选择______参加比赛（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义解答即可. 【详解】解：因为两人平均成绩都是环，而乙的方差比甲小， 所以乙的成绩比甲稳定， 所以最有可能选择乙参加比赛. 故答案为：乙. 【点睛】本题考查平均数和方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 14. 如图，在中，，的度数为______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ∴； 故答案为：110． 15. 直线与坐标轴所围成的三角形的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】分别求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】令x＝0代入， ∴y＝-6， ∴一次函数与y轴的交点坐标为（0，-6）， 令y＝0代入， ∴x＝2， ∴一次函数与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积为：×6×2＝6 故答案为：6． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知三角形面积公式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O， ∴， ∴关于原点对称， ∵点A坐标是， ∴点C的坐标是； 故答案为：． 17. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 18. 如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26每题10分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式 20. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论. 【详解】因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，. 又分别是、的中点， 所以BE=CF,所以（SAS）， 所以（全等三角形的对应边相等）. 考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质. 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 22. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 23. 新型消费引领时尚，绿色消费蔚然成风．2023年“十一”假期期间，全国高速公路服务区新能源汽车充电量创了历史新高，新能源汽车悄然走红．某汽车销售公司购进两种型号的新能源汽车，已知型新能源汽车的单价比型新能源汽车的单价贵4万元，用102万元购买型新能源汽车的数量和用78万元购买型新能源汽车的数量相同． （1）型、型新能源汽车的单价分别是多少万元？ （2）该公司准备再次购进型和型新能源汽车共40辆，且购买型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍．若厂家这两种型号的新能源汽车均打七折，则购买型和型新能源汽车各多少辆时花费最少？最少花费是多少万元？ 【答案】（1）型新能源汽车的单价是17万元，型新能源汽车的单价是13万元 （2）购买型新能源汽车10辆、型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式与一次函数的应用； （1）设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元，根据题意列出一次函数关系式，根据题意得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元． 依题意得． 解得． 经检验，是原方程的解， 则． 答：型新能源汽车的单价是17万元，型新能源汽车的单价是13万元． 【小问2详解】 设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元． 根据题意得 型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍， ， 解得． ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值， 此时． 答：购买型新能源汽车10辆、型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元． 24. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 25. 【问题呈现】 四边形和都是正方形，直线，交于点P． 【问题解决】 （1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________． 【答案】（1），，证明见解析；（2）①成立，见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解； （2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解； ②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：（1），证明如下： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， ∵点G在边AB上， ∴点E，A，D三点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，理由如下： 如图，设交于点I，则， ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 26. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为． （1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________； （2）两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式； （3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”． ①若为整数，求点的坐标； ②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）①点的坐标为；点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义可得点的“友谊直线”的解析式为，再根据A、B坐标可得直线的解析式为，则直线的“友谊点”的坐标为． （2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可； （3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为． ②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的“友谊点”的坐标为． 【小问2详解】 解：将代入，得，解得， ∴直线解析式为， 根据定义，的“友谊点”的坐标为， ∵两点关于轴对称， ∴点的坐标为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：①∵直线不经过第二象限， ∴， 解得， 又∵为整数， ∴的值为2， 根据题意，直线的“友谊点”的坐标为， ∴点的坐标为． ②当时，， ∴点的坐标为， 当时，即， 解得， ∴点的坐标为， ∵直线不经过第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上八年级数学学科期末检测卷 考生注意：1．本学科试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 2．本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框，直接在试题卷上作答无效． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 一支蜡烛长20cm.若点燃后每小时燃烧5cm.则燃烧剩余的长度y (cm) 与燃烧时间x(小时)之间的函数关系的图像大致为( ) A B. C. D. 5. 若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. -5 B. -2 C. 1 D. 4 6. 下列描述一次函数的图象与性质错误的是（ ） A. 点和都在此图象上 B. 直线经过一、二、四象限 C. 与正比例函数的图象平行 D. 直线与轴的交点坐标是 7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形 B. 矩形的对角线垂直 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分、垂直且相等四边形是正方形 9. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．） 11. ___________． 12. 分式方程解为__________． 13. 射击队在某次射击比赛的选拔训练中，甲、乙两名运动员各项成绩比较突出，现决定从这两人中选取一人参加比赛，这两人选拔测试的10次射击成绩分析如表所示： 运动员 平均成绩（环） 方差 甲 9.1 0.69 乙 9.1 0.03 历次比赛经验说明，平均成绩在9.0环以上就很可能获得奖牌，若你是教练员并想确保取得这块奖牌，最有可能选择______参加比赛（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，在中，，的度数为______． 15. 直线与坐标轴所围成的三角形的面积是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 17. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 18. 如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26每题10分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 22. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 23. 新型消费引领时尚，绿色消费蔚然成风．2023年“十一”假期期间，全国高速公路服务区新能源汽车充电量创了历史新高，新能源汽车悄然走红．某汽车销售公司购进两种型号的新能源汽车，已知型新能源汽车的单价比型新能源汽车的单价贵4万元，用102万元购买型新能源汽车的数量和用78万元购买型新能源汽车的数量相同． （1）型、型新能源汽车单价分别是多少万元？ （2）该公司准备再次购进型和型新能源汽车共40辆，且购买型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍．若厂家这两种型号的新能源汽车均打七折，则购买型和型新能源汽车各多少辆时花费最少？最少花费是多少万元？ 24. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 25. 【问题呈现】 四边形和都是正方形，直线，交于点P． 【问题解决】 （1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________． 26. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为． （1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________； （2）两点关于轴对称，且点“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式； （3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”． ①若为整数，求点的坐标； ②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$