精品解析：山东省青岛市实验高级中学(青岛十五中)2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

青岛实验高中2024—2025学年度第二学期 第四学段质量检测 高一数学试卷 2025年7月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，再结合共轭复数运算，即可求解虚部. 【详解】因为， 所以，即复数的虚部为. 故选：D. 2. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 3. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥体积可得圆锥的高，进而可得圆锥母线长，根据扇形面积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的底面半径为，其体积为， 所以，解得， 所以，故圆锥的侧面积为. 故选：D 4. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 5. 已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得出时，取得最小值，此时复数，再结合复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，当时，取得最小值为，可得， 此时z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 6. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本平均数与方差公式直接计算可得解. 【详解】不妨设记录错误的两个数据分别为，， 改正后的数据为，， 由已知可得， 则， 所以改正后的平均数， 又， 则， 所以改正后的方差， 故选：A. 7. 如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当平面直角坐标，设盛水筒经过秒后到水面的距离为米，结合题意先依次得到筒车半径、和，，进而求出，接着求出盛水槽的正上方所对的弦距离水面的高度为，再解不等式即可求解. 【详解】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 设盛水筒经过秒后到水面的距离为米， 由题可知筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 又由题知，， 则，， 作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，则（H为中点）， 则距离水面的高度为， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 故，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽. 故选：A. 8. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为6cm的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的半径最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正六面体是一个中心对称图形，其内切球的球心就在正六面体的中心，可利用等体积法来求出内切球的半径，即可判断选项. 【详解】由于这六个等边三角形围成的六面体就是正六面体， 所以可知内切球的球心一定是正六面体的中心，且球心到六个面的距离相等，这个距离就是内切球的半径. 由于正六面体是由两个正四面体组成，根据棱长为，如图可知： 根据勾股定理， 所以正四面体的体积为， 即正六面体的体积为， 现在设内切球半径为，根据等体积法可知： ， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则与共线 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量共线定理，基底的定义，以及投影向量公式，即可判断选项. 【详解】A. 已知非零向量，，，根据平行向量的传递性可知，若，，则，故A正确； B. 由向量共线定理可知，若四边形中有，则与共线，故B正确； C.因为，所以，所以，不可以作为平面向量的一组基底，故C错误； D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AB 10. 粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（ ） A. 事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B. 事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C. 白色与红色粉笔都用到的概率为 D. 白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义，可判定A错误；根据对立事件的定义，可得判定B正确，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，可判定C错误，D正确. 【详解】记白、红、黄、蓝、绿颜色的粉笔分别为：， 对于A中，“都入选”与“至少1支入选”可以同时发生，所以A错误； 对于B中，对于是否入选所有事件类型有：都入选，入选不入选，不入选入选和都不入选，所以事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件，所以B正确； 对于C中，设从5支中随机选3支，则有，，，，，，，，，，共10种选法， 其中都入选的选法有3种，故所求概率，所以C错误； 对于D中，由至少1支入选的选法有9种，故所求概率，所以D正确． 故选：BD． 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积不变 C. 平面平面 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据为中点时，异面直线与所成角为判断A；根据判断B；证明平面即可判断C；将平面沿展开使其与平面重合时，再求的距离即可判断D. 【详解】解：对于A选项，由正方体的性质易知，为等边三角形， 所以，当为中点时，， 所以，此时，异面直线与所成角为，故A选项错误； 对于B选项，由正方体的性质易知平面，平面，侧面为正方形， 所以，，由于平面， 所以平面 设到平面的距离为，则， 因为， 所以，三棱锥的体积，故正确； 对于C选项，由正方体的性质易知平面，平面， 所以，，由于，平面， 所以平面，平面， 所以，同理证得， 由于，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面，故C选项正确； 对于D选项，根据题意，将平面沿展开使其与平面重合时，如图， 因为，所以，， 所以，故正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_______ 【答案】##0.28 【解析】 【分析】由向量共线关系得出方程，求解，再由余弦二倍角求得结果. 【详解】由，可得，即， ，解得：或（舍）， ． 故答案为：. 13. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法列出样本空间，根据古典概率的公式计算. 【详解】记哪吒、敖丙、哪吒父亲，母亲分别为， 小明随机购买2个盲盒，包含的情况如下：，共6种情况， 其中恰有哪吒及其父母中的一位的情况有：，包含2种， 所以恰有哪吒及其父母中的一位的概率. 故答案为：. 14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值. 【详解】由题设，则， 所以， ， 令，，则 ， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算性质结合题干中的等式可得出的值，由已知条件得，结合平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得结果. 【小问1详解】 因为向量、满足，，且， 即，解得， 因为，即, 解得. 【小问2详解】 因为， ， 因此. 因为，因此，即与的夹角为. 16. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数． 【答案】（1）人， 人， 20人 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先先确定分层抽样的比例，进而可求得样本中老年、中青年、少年的人数. （2）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得的值. （3）根据百分位数的概念进行求解即可. 【小问1详解】 老年、中青年、少年的人数比例为 抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为20人. 【小问2详解】 由题意可得，. 解得：. 【小问3详解】 设当天游客满意度分值的分位数为，因为， ． 所以位于区间内，则 解得：，所以估计当天游客满意度分值的分位数为． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求出，即可求出A；（2）利用正弦定理求出，设，，利用向量的中线公式求出，，代入面积公式求面积. 【小问1详解】 由正弦定理可将原等式化为 在中， ∴ ∴，又在中， ∴，∴，即， 而，，故即. 【小问2详解】 由 ，可得, 在中，, , ， 设，，而边上的中线, 在中， 得即， ∴， ∴ 18. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. （1）求证:平面MCD; （2），求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点， 所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD，因此平面MCD； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点S，结合中位线性质可得S，M，C，D四点共面，再利用结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用所给条件，结合线面垂直的判定定理与性质定理与余弦定理计算可得的余弦值，再利用等体积法可求出点到平面的距离，结合的长度即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接AC，BD交于点，则为平行四边形ABCD的中心， 又， 则等腰中，根据三线合一，有， 又，平面， 故平面， 设， 则， ， ， 相加并整理得，① 在Rt，Rt中，有， 即，（2），，③ 解方程组①②③得，， 故， 于是， 在中，是PC中点， 故， 于是， 设点A到平面PBC的距离为，由，得， 故， 故所求线面角的正弦值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若，，且点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知应用向量数量积的运算律有，即可得； （2）由（1）及题设的定义知，设，，，应用等面积法有，应用向量数量积的定义求解； （3）由题设，设，，，，，，由已知得，再应用余弦定理及得，最后应用基本不等式求最值. 【小问1详解】 ，则， ， ，故. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 由费马点定义知， 设，，，由， 整理得，整理得， 则. 【小问3详解】 因为点为的费马点，所以， 设，，，，，， 由，得． 由余弦定理得， ， ， 由，得， ，又，，所以， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，所以，解得或（舍去）， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛实验高中2024—2025学年度第二学期 第四学段质量检测 高一数学试卷 2025年7月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（   ） A. B. C. D. 8. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为6cm的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的半径最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则与共线 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 10. 粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（ ） A. 事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B. 事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C. 白色与红色粉笔都用到的概率为 D. 白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积不变 C. 平面平面 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_______ 13. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为________. 14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 16. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 18. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. （1）求证:平面MCD; （2），求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若，，且点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $