专题01 三角形中的三线与内外角（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题01 三角形中的三线与内外角 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的三边关系化简绝对值 1 题型二、三角形中的三线计算问题 2 题型三、三角形中的折叠求角度问题 6 题型四、三角形的内外角有关的问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的三边关系化简绝对值 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若、、分别为三边，化简：． 2．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 题型二、三角形中的三线计算问题 4．如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 5．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 6．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 题型三、三角形中的折叠求角度问题 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 8．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 9．如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 题型四、三角形的内外角有关的问题 10．如图，在中，点在边上，且平分交于点． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 11．（24-25七年级下·全国·期中）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 12．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． (1)如图1，若，则的度数为___________． (2)当时，求证：； (3)如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，点分别是、的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25七年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A．B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，是的平分线，外角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 5．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 6．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，的面积为，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，得到；…；按此规律，第次操作后，得到，要使的面积超过，则至少需要操作 次． 三、解答题 7．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为______； (2)若，是的高，求的度数． 10．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 11．如图1，在中，，D是上一点，且． (1)请说明； (2)如图2，若平分，交于点F，交于点E，与相等吗？请说明理由． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，与的周长差为，求的长． 13．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分． (1)如图1，的度数为______； (2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：． 14．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的三线与内外角 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的三边关系化简绝对值 1 题型二、三角形中的三线计算问题 2 题型三、三角形中的折叠求角度问题 6 题型四、三角形的内外角有关的问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的三边关系化简绝对值 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若、、分别为三边，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 【详解】解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 2．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 题型二、三角形中的三线计算问题 4．如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 5．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答 （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答． （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）（1）解：①∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是高， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 6．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三、三角形中的折叠求角度问题 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 8．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 9．如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 题型四、三角形的内外角有关的问题 10．如图，在中，点在边上，且平分交于点． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角定理，角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角定理是解题的关键． （1）在中，由三角形内角和定理求解即可； （2）先由外角定理求出，然后由角平分线求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ． 在中， ， ； （2）解：是的外角， ． ， ． 平分， ． 在中，， ． 11．（24-25七年级下·全国·期中）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理． （1）根据得到，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 因为， 所以， 所以平分． （2）解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以． 12．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． (1)如图1，若，则的度数为___________． (2)当时，求证：； (3)如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角的平分线，对顶角相等，三角形内角和定理计算解答即可． （2）根据（1）的证明解答即可； （3）根据（2）的结论，证明解答即可； 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： 根据（2）解答，得， 根据三角形内角和定理，得， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， 故． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，点分别是、的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：，，，依此即可求解． 【详解】解：∵点D为边的中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴，， ∴． 即阴影部分的面积等于4． 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键 根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段， 据此，符合题意的是； 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，是的平分线，外角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质． 利用三角形的外角求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 5．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接，根据三角形内角和定理可得的度数，再由折叠的性质可得，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴ 由折叠的性质得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，的面积为，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，得到；…；按此规律，第次操作后，得到，要使的面积超过，则至少需要操作 次． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，图形规律，连接根据三角形中线的性质得出与的面积相等，根据得出的面积等于的面积的倍，等于， 同理可得的面积为，的面积为，得出第一次操作后的，的面积为，根据规律得出第四次操作后的面积为，结合题意即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，面积为， ∴与的面积相等，等于， ∵， ∴的面积等于的面积的倍，等于， 同理可得的面积为，的面积为， ∴的面积等于， 同理可证，第二次操作后的面积为 的面积的倍，等于； 第三次操作后的面积为的面积的倍，等于； 第四次操作后的面积为的面积的倍，等于； 故按此规律，要使三角形的面积超过，至少操作次， 故答案为：． 三、解答题 7．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为______； (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的外角定理进行角度的计算是解答此题的关键． （1）首先由是中线得，再分别求出和的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据是的高得，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的外角定理可得的度数． 【详解】（1）解：是中线， ， ，， 的周长， 则的周长， 的周长的周长， 故答案为：； （2）解：∵是的高， ， ，是的角平分线， ， ． 10．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 11．如图1，在中，，D是上一点，且． (1)请说明； (2)如图2，若平分，交于点F，交于点E，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据等量代换可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再求出，然后根据对顶角相等可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：是的高， ， 是的角平分线，， ， ； （2）是中点， ， 与的周长差为，； ， ， ． 13．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分． (1)如图1，的度数为______； (2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，内错角相等两直线平行，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据已知得，进而得出，再根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据角平分线定义得，进而得，再根据三角形外角的性质得，然后结合已知可得，则答案可证． 【详解】（1）解：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，得，，根据解答即可； （2）根据三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线证明即可； （3）根据（2）证明可以直接写出结论． 本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点为边延长线上一点，射线平分，点为射线上一点． (1)若， 当平分时，___________； 当平分时，___________； (2)当平分时，，，则___________； 当平分时，，则___________； (3)若，，当直线垂直于的边时，的度数为___________． 【答案】(1)，， (2)， (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和的性质可得结论； （2）根据据角平分线的定义和三角形内角和、平行线性质转化角的关系，可得结论； （3）直线与的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论． 【详解】（1）解：当平分时，如解图1； 又∵平分， ∴，， ， ∴， ∴； 当平分时，如解图2； 又∵平分， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， （2）当平分时，，，如解图3， ∴，， ，， ∴，， ∴，即 ∴， 当平分时，， 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵，， ∴， ①当时，如解图5，则， ∵， ∴； ②当时，如解图6，点P在射线的反向延长线上，不合题意舍去， 中，； ③当时，延长交直线于H，如图7，则， ∵， ∴ 中，； 综上，的度数为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$