13.3　三角形的内角与外角 教案 2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十三章　三角形 13.3　三角形的内角与外角 13.3.1　三角形的内角 第1课时　三角形的内角和定理 课标摘录 探索并证明三角形的内角和定理. 教学目标 1.探索并证明三角形的内角和定理. 2.能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题,培养学生用数学知识解决简单几何问题的能力. 教学重难点 重点:探索三角形内角和定理的过程及三角形内角和定理的应用. 难点:通过添加辅助线构造辅助图形证明三角形内角和定理. 教学策略 通过设置疑问,巧设悬念,激发学生获取知识的求知欲.让学生自主探究,在探究过程中充分发挥学生的主动性,先提出猜想,再验证猜想.在学生提出验证三角形内角和的不同方法时,教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法,从而培养学生的推理能力. 情境导入 如图,有一块残缺的三角形木板,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板的第三个角的度数是多少? 新知初探 任务　探索并证明三角形的内角和定理 活动1:我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°,大家回忆一下,当时是怎样知道这个结论的呢? 学生:通过度量或者剪拼的方法得到的. 【师生活动】每个学生画出一个三角形,并将它的内角剪下,试着拼拼看.通过小组合作交流有几种拼合方法,最后师生总结出几种拼图方法.(课件展示拼图方法) 教师:形状各异的三角形有无数个,不可能用度量或剪拼的方法一一验证所有的三角形.另外,测量是有误差的,可能出现某个三角形的三个内角之和大于180°或小于180°,从而导致了结果的不确定性.现在我们就来学习通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和等于180°. 【设计意图】让学生从丰富的拼图活动中发展思维的灵活性、创造性,为下一环节“说理”证明作好准备. 活动2:在准备的三角形硬纸上标出三角形三个内角的编码,如图①. 观察如图②③所示的两种拼法,教师提出问题,小组交流. 问题1:在图②中,直线MN与BC是什么关系?平行. 问题2:在图③中,直线CM与AB是什么关系?平行. 问题3:你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗? 【设计意图】经历剪拼的探索过程,为学生搭建了一个桥梁,为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法. 问题:老师刚给出的命题是文字性命题,证明文字性命题,我们应该经历哪些步骤? 【学生活动】学生在学案纸上完成已知、求证的书写,并请一名同学板书. 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 【师生活动】教师讲解证法一(教材证法,构造平行,利用平角等于180°),然后类比证法一,学生探究其他证明思路. (证法二、证法三见课件) 问题:多种方法证明三角形内角和等于180°的关键是什么? 借助平行线“移角”,将三个角转化成一个平角. 归纳总结: (1)为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线. (2)为了证明三个角的和为180°,通过作平行线,利用平行线的性质将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的常用方法. 【设计意图】通过小组讨论,让学生各抒己见,畅所欲言,有意识地培养学生的逻辑推理、语言表达能力以及一题多解的创新精神,让学生体会数学辅助线的桥梁作用,在潜移默化中渗透初中阶段一个重要数学思想——转化思想,为学好初中数学打下坚实的基础. 【典例讲解】 [例1]见课件 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 [例2]见课件 【即时测评】见导学案 【设计意图】例1运用三角形内角和定理求相关角的度数,使学生进一步巩固定理内容.例2利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题,通过一题多解,培养学生思维的发散性,提高学生的应用意识和数学表达能力. 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第1课时　三角形的内角和定理 1.三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180° 2.三角形内角和定理的证明 教学反思 本节课的设计先让学生动手操作,以便使学生对三角形的内角和有一定的感性认识,然后根据拼图说出结论成立的理由,由浅入深,循序渐进,学生易接受.教师引导学生对三角形的三个内角进行拼合,可以出现不同的方法,这样能让学生充分发挥自己的主动性,培养学生的创新能力. 第2课时　直角三角形的性质与判定 课标摘录 1.理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余. 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 教学目标 1.理解并掌握直角三角形的性质和判定,体会从一般到特殊的数学思想,增强合作交流的能力和创新意识. 2.能运用直角三角形的性质和判定解决简单问题,培养学生应用数学知识解决简单几何问题的能力. 教学重难点 重点:探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理. 难点:相关推理的表述及性质定理和判定定理的应用. 教学策略 本节课的学习是建立在三角形内角和定理的基础之上的,所以以三角形内角和定理的内容和学习方法导入新课,仿照三角形内角和定理的探索过程学习直角三角形的性质和判定,最后通过例题与练习强化重点知识的学习. 情境导入 上节课我们学习了一般三角形的一个重要性质,就是三角形的内角和定理,它反映了三角形三个内角之间的关系,今天我们学习具有特殊内角的三角形——直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示,例如:直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. 思考:直角三角形作为特殊的三角形,它是否具有一般三角形的性质呢?直角三角形的内角之间有什么独特的性质吗? 新知初探 任务一　探究直角三角形的性质 活动:(1)大家观察一下手中的三角尺,两锐角的度数之和为多少度? (2)请同学们画一个直角三角形ABC,其中∠C=90°,用量角器分别量出∠A,∠B的度数,并且求出∠A+∠B的值. 问题:根据测量的结果,你能得到什么结论? 【师生活动】学生讨论后,得出结论:直角三角形的两个锐角互余. (3)结合图形你能写出已知、求证和证明吗? 【师生活动】学生回答,教师板书,师生共同完成证明过程. 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°. 求证:∠A+∠B=90°. 证明:在Rt△ABC中,∠C=90°, 由三角形的内角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°, 即∠A+∠B+90°=180°, ∴∠A+∠B=90°. 也就是说,直角三角形的两个锐角互余. 证明后的结论可以作为定理使用,这个结论被称为“直角三角形性质定理”. 追问:你能用几何语言表述这个定理吗? ∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°. 【设计意图】类比三角形内角和定理的探索步骤,让学生经历从“测量角度——猜想结论——演绎证明——定理表述”等几个环节,强化学生对数学学习基本方法的认识,培养学生自主学习的能力和类比的数学思想. [例题]见课件 【即时测评】见导学案 任务二　探究直角三角形的判定方法 活动:我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.把这个定理的题设和结论反过来,你能得到什么结论? 有两个角互余的三角形是直角三角形. 追问1:这个结论是正确的吗? 追问2:参照直角三角形性质的几何推理过程,你能写出已知、求证与证明吗? 【师生活动】学生独立思考,然后小组讨论、交流,形成结论,汇报交流结果. 已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理), ∵∠A+∠B=90°(已知), ∴∠C=90°, ∴△ABC是直角三角形(直角三角形的定义). 归纳总结:有两个角互余的三角形是直角三角形. 追问:你能用几何语言叙述这个定理吗? 在△ABC中,∵∠A+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形. 【设计意图】本环节让学生从改变命题的题设与结论出发,得到新的命题,再通过推理证明了命题的正确性,从而得到了新的定理,初步感受定理与逆定理的关系,培养学生的抽象能力. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第2课时　直角三角形的性质与判定 1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形 教学反思 本节课借助特殊三角形(三角尺)初步感知直角三角形的两个锐角的关系,学生初步建立一个表象,通过设置问题为后面的猜测和验证做了铺垫,引发思考,激发学习兴趣. 13.3.2　三角形的外角 课标摘录 1.理解三角形外角的概念. 2.掌握三角形的内角和定理的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 教学目标 1.理解外角的定义并能够识别三角形的外角. 2.掌握三角形外角的性质,能够用三角形外角的性质求与三角形有关的角的度数. 3.在学习外角及外角性质中体会数学中的转化思想. 教学重难点 重点:三角形外角的识别及外角性质的运用. 难点:运用三角形外角性质进行有关计算时,能准确地表达推理的过程和方法,并能够迁移到生活中. 教学策略 本节课主要通过学生自主探索,概括出三角形外角的性质,并通过交流探讨、说理论证,加深对三角形外角性质的认识,进一步综合运用三角形外角的性质、三角形的内角和定理进行相关计算.在课堂上要充分体现学生的主体地位,让学生掌握发现知识——探索知识——掌握知识——运用知识的学习方法. 情境导入 问题1:如图,∠A=60°,∠B=45°,则∠C=　　　　°.  问题2:把上图中△ABC中的一边BC延长,得到∠ACD,∠ACD还是三角形的内角吗? 新知初探 任务　探究三角形外角的性质 活动1:如图, 把△ABC中的一边BC延长,得到∠ACD. 问题1:∠ACD与∠ACB从位置上看有什么关系?邻补角. 问题2:∠ACD处于三角形的什么位置,内部还是外部?外部. 归纳总结:像∠ACD这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角. 问题3:你能说出三角形外角的特征吗? 小结:(1)顶点在三角形的一个顶点上;(2)一条边是三角形的一边;(3)另一条边是三角形某条边的延长线. 问题4:画出△ABC的所有外角,共有几个呢? 小结:每一个三角形都有6个外角.每一个顶点对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角. 【即时测评】见导学案 活动2:三角形外角性质的探究. 问题1: 如图,在△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,你能求出∠ACD的度数吗? 问题2:在练习本上画出一个△ABC及其外角∠ACD,分别度量∠A与∠B和∠ACD的大小.∠A和∠B的和与∠ACD有什么关系? 问题3:任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系? 问题4:如何证明这个结论? 【师生活动】学生小组讨论,尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质. 已知:如图,在△ABC中,D为BC延长线上一点. 求证:∠ACD=∠A+∠B. 证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠ACD+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠ACB,∠ACD=180°-∠ACB, ∴∠ACD=∠A+∠B. 追问:你还有其他的证法吗? 过点C作AB的平行线,应用平行线的性质证明结论. 归纳总结: (1)三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. (2)因为三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,所以可以得到三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角. 【设计意图】三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的,通过探究过程中的提示,让学生自行发现它们之间的关系,充分调动学生的学习主动性,进一步提出要求,让学生用证明的方法去说明理由,培养学生的推理论证能力. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例题　如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少? 分析:由图形可知,所求的三个角均为△ABC的外角,所以利用三角形外角的性质,把外角的和转化为三角形内角的和进行计算. (解题过程见课件) 追问:你还有其他解法吗? 利用外角与内角互为邻补角,将所求的外角和转化为求内角和. 归纳总结:三角形的外角和等于360°.注意研究三角形的外角和时,通常每个顶点处取一个外角. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 13.3.2　三角形的外角 1.三角形外角的概念 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 3.三角形的外角和等于360° 教学反思 在教学过程中,应让学生自主探索,利用多种方法进行研究.同时要关注学生的合作交流,开阔学生的思路,让学生在经历整个探索过程的同时,体会数学的严谨性,感受数学基础的重要性. 学科网（北京）股份有限公司 $$