专题1.7 二次函数与几何综合（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版 ）

专题1.7 二次函数与几何综合 目录 一.知识储备与题型精析 1 （一）知识储备 1 （二）题型精析 2 考点（一）二次函数与周长综合 2 【题型1】将军饮马问题 2 【题型2】周长相关线段及线段定值问题 3 考点（二）二次函数与面积综合 4 【题型3】二次函数与面积最值问题 4 【题型4】二次函数中面积关系求点的坐标 5 考点（三）二次函数与角度问题综合 6 【题型5】二次函数与特殊角综合 6 【题型6】二次函数与特殊位置关系综合 7 考点（四）二次函数与特殊三角形综合 8 【题型7】二次函数与直角三角形综合 8 【题型8】二次函数与等腰（边）三角形综合 9 【题型9】二次函数与平行四边形综合 10 考点（五）二次函数与特殊四边形综合 11 【题型10】二次函数与矩形综合 11 【题型11】二次函数与菱形综合 12 【题型12】二次函数与正方形综合 13 二．同步练习 14 1. 基础夯实（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 14 2. 能力提升（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 20 3. 直通中考（10题） 25 一.知识储备与题型精析 （一）知识储备 1. 两点之间距离公式： （1） 平行于轴的两点之间距离公式； （2） 平行于轴的两点之间距离公式； （3） 任意两点之间的距离公式 2. 三角形面积公式： 3. 中点坐标公式: 点 ，，则线段中点坐标为（,）. 4. 二次函数三种表达式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）交点式： 5.当直线与直线垂直时，. 6.二次函数几何综合题解题一般步骤： （1）先求解析式：用待定系数法确定二次函数表达式（已知顶点、交点、三点条件）； （2）设动点坐标：用含的式子表示抛物线上动点坐标； （3）转化几何条件：将面积、长度、形状等几何条件转坐标差的等式； （4）列方程或函数：按“存在性”列方程，适时进行分类讨论； （5）检查结果是否符合题意。 （二）题型精析 考点（一）二次函数与周长综合 【题型1】将军饮马问题 【例题1】 （24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【变式1】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为 ． 【题型2】周长相关线段及线段定值问题 【例题2】 （24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 【变式1】（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【变式2】（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为 ． 考点（二）二次函数与面积综合 【题型3】二次函数与面积最值问题 【例题3】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 【变式2】（24-25九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ． 【题型4】二次函数中面积关系求点的坐标 【例题4】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点． （1）求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； （2）在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为 ． 考点（三）二次函数与角度问题综合 【题型5】二次函数与特殊角综合 【例题5】（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点P的坐标； （2）已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 【变式1】（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标 ． 【题型6】二次函数与特殊位置关系综合 【例题6】（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【变式1】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； （3）点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 【变式2】（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 考点（四）二次函数与特殊三角形综合 【题型7】二次函数与直角三角形综合 【例题7】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（22-23九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，点为，是抛物线上一点，且是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ．    【变式2】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且为直角三角形，则 ． 【题型8】二次函数与等腰（边）三角形综合 【例题8】 （24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）由图象写出满足的自变量的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 【变式2】（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，且C、D两点关于y轴对称，过点C作x轴的垂线交抛物线于点E，连接，当是等腰三角形时，线段CD的长为 ．    【题型9】二次函数与平行四边形综合 【例题9】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求点、点的坐标和抛物线的对称轴； （2）求直线的函数关系式； （3）点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【变式1】（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（20-21九年级上·广东·阶段练习）如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中点A、C的横坐标分别为-1和2．点G是抛物线上的动点，在x轴上存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标为 ． 考点（五）二次函数与特殊四边形综合 【题型10】二次函数与矩形综合 【例题10】 （24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）抛物线的解析式为______________； （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【变式1】（2024·陕西西安·三模）已知抛物线，其顶点为，与轴交于点，将抛物线绕原点旋转，点、的对应点分别为、，若四边形为矩形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·福建宁德·模拟预测）已知抛物线的顶点为A，交y轴于点B；抛物线的顶点为C，交y轴于点D．若，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则 ． 【题型11】二次函数与菱形综合 【例题11】（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2021·山东·二模）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点D，以为边向左作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 【题型12】二次函数与正方形综合 【例题12】 （24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的平行线，交抛物线于另一点，点线段上，分别过点作轴的垂线交抛物线于两点．当四边形为正方形时，线段的长为 ． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 5．（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为 ． 7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是 ． 8．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 10．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 12．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，交y轴于点C （1）求此二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点M的坐标，对称轴； （3）求的面积 13．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； （3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 14．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·新疆克孜勒苏·期末）抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求、、点的坐标； （3）为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 2. 能力提升（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点P在y轴右侧的抛物线上，且不与点B重合，当时，点P的坐标为（   ） A．或 B．或， C．或， D．或， 2．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 3．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 5．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 7．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 8．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为 ． 9．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 10．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 12．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）若的面积与的面积相等，求点的坐标． 13．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； （3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； （3）点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 3. 直通中考（10题） 一、单选题 1．（2021·山东淄博·中考真题）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ． 4．（2023·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是 ．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是 ．    5．（2021·广西·中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ． 6．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：    ①当时，； ②当的面积为时，； ③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 7．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式． （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 10．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．   （1）求二次函数的表达式； （2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 二次函数与几何综合 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识储备】 1 【题型精析】 2 考点（一）二次函数与周长综合 2 【题型1】将军饮马问题 2 【题型2】周长相关线段及线段定值问题 6 考点（二）二次函数与面积综合 10 【题型3】二次函数与面积最值问题 10 【题型4】二次函数中面积关系求点的坐标 15 考点（三）二次函数与角度问题综合 19 【题型5】二次函数与特殊角综合 19 【题型6】二次函数与特殊位置关系综合 25 考点（四）二次函数与特殊三角形综合 30 【题型7】二次函数与直角三角形综合 30 【题型8】二次函数与等腰（边）三角形综合 34 考点（五）二次函数与特殊四边形综合 38 【题型9】二次函数与平行四边形综合 38 【题型10】二次函数与矩形综合 44 【题型11】二次函数与菱形综合 46 【题型12】二次函数与正方形综合 51 二．同步练习 56 1. 基础夯实（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 56 2. 能力提升（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 74 3. 直通中考（10题） 97 一.知识储备与题型精析 （一）知识储备 1. 两点之间距离公式： （1） 平行于轴的两点之间距离公式； （2） 平行于轴的两点之间距离公式； （3） 任意两点之间的距离公式 2. 三角形面积公式： 3. 中点坐标公式: 点 ，，则线段中点坐标为（,）. 4. 二次函数三种表达式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）交点式： 5.当直线与直线垂直时，. 6.二次函数几何综合题解题一般步骤： （1）先求解析式：用待定系数法确定二次函数表达式（已知顶点、交点、三点条件）； （2）设动点坐标：用含的式子表示抛物线上动点坐标； （3）转化几何条件：将面积、长度、形状等几何条件转坐标差的等式； （4）列方程或函数：按“存在性”列方程，适时进行分类讨论； （5）检查结果是否符合题意。 （二）题型精析 考点（一）二次函数与周长综合 【题型1】将军饮马问题 【例题1】 （24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 解：（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 【变式1】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 解：如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 【变式2】（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得求出，连接，过点A作轴交于点E，连接，证明四边形是平行四边形，得出，结合二次函数的对称性得到，由两点之间线段最短，当三点共线时，有最小值，再根据平行四边形的性质得到，运用两点距离公式列式计算即可作答． 解：令，则或， 将代入，则， ∴， ∴抛物线的对称轴为， 如图，连接，过点A作轴交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型2】周长相关线段及线段定值问题 【例题2】 （24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，进行求解即可． 解：（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 【变式1】（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 【变式2】（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，先得出抛物线解析式为，设，则，根据题意得出，代入抛物线解析式，即可求解． 解：∵点在抛物线上， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为， 依题意，的纵坐标为， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在上， ∴ 解得：或（舍去） ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，求得二次函数解析式是解题的关键． 考点（二）二次函数与面积综合 【题型3】二次函数与面积最值问题 【例题3】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）的最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式可得；再求出，进而得到直线解析式为；过点E作轴交于F，设，则，则；根据，可得，据此利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵抛物线解析式为， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点E作轴交于F， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t＋2），求出PG＝，可得，进而可得当t＝时，有最大值，问题得解． 解：将点A（−3，0），B（1，0）代入中，得， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令x＝0，则， ∴C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 代入A（−3，0），C（0，2）得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x＋2， 过点P作PGy轴交AC于点G， 设P（t，），则G（t，t＋2）， ∴PG＝， ∴， ∴当t＝时，有最大值，此时P（，）， 故选：A． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 【题型4】二次函数中面积关系求点的坐标 【例题4】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点． （1）求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； （2）在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）点P的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． （1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入，求解即可； （2）由，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标． 解：（1）解：将A、O两点坐标代入解析式，有 ，解得：； ∴此二次函数的解析式为， 变化形式得: ，故顶点坐标； （2）解：假设存在满足条件的点P， 则根据题意得：， 解得：或， 当时，，即， 解得，，即； 当时，， 则； ∴点P的坐标为或或． 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答． 解：依题意，抛物线上存在一点， 故连接，如图所示： ∵点， ∴， ∵与轴交于两点（在的左侧）， ∴令，则， 解得 ∴， ∴， ∵抛物线上存在一点，使得， ∴， 则， 即， 把代入，得， 解得 观察四个选项，唯有符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，先求出A、B、C的坐标，再根据求出点D的纵坐标，进而求出点D的坐标即可． 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 考点（三）二次函数与角度问题综合 【题型5】二次函数与特殊角综合 【例题5】（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点P的坐标； （2）已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1），；（2）①或；② 【分析】（1）把代入抛物线中得：，解方程可得m的值，从而得抛物线的解析式，配方成顶点式可得点P的坐标； （2）①令，可计算C，分两种情况：当点Q在x轴的上方时，如图1，连接，证明是等腰直角三角形，即可得点Q的坐标为；当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E，设，根据，列方程即可解答； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N，设点Q的坐标为，证明，得，即可解答． 解：（1）解：把代入抛物线中得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴P的坐标为； （2）①当时，， ∴C， 分两种情况： 当点Q在x轴的上方时，如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则当点Q与C重合时，， 此时Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E， 设 ∵点Q是对称轴右侧抛物线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， 当时，， ∴Q的坐标为， 综上，点Q的坐标是或； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N， 设点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到的考点有：二次函数解析式的确定，二次函数的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的判定及性质等知识，对学生综合运用知识的能力要求较高． 【变式1】（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标 ． 【答案】 【分析】，令，可求，当时，，即，如图，作于，过作轴于，过作于，设，证明，则，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解作答即可． 解：， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 【题型6】二次函数与特殊位置关系综合 【例题6】（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 解：（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 【变式1】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； （3）点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用二次函数的对称性可得点坐标，即得，再根据平行四边形的性质可得，，进而解答即可求解； （）先求出直线的解析式，再分和点关于对称轴对称两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形， ∴，， ∴点的纵坐标相同， 设点的横坐标为，则， ∴， ∴或； （3）解：把代入，得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交抛物线于点，则， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 当点关于对称轴对称时，可知， ∴， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【变式2】（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 考点（四）二次函数与特殊三角形综合 【题型7】二次函数与直角三角形综合 【例题7】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 解：（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点拨】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，点为，是抛物线上一点，且是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征、直角三角形的判定，解题的关键是理解点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点． 解：当时， ，则， 是以为直角边的直角三角形， 点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 点坐标为或或 ， 故答案为：或或． 【变式2】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且为直角三角形，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先求出A、B、C的坐标 ，然后分当时，此时点B与原点重合；当时，，据此求解即可． 解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴不妨设， 当时，， ∴， 当时，此时点B与原点重合，则， ∴此时点C也与原点重合，不能组成三角形， ∴， 当时，， ∵， ∴， 解得（舍去）或， 综上所述， ， 故答案为： ． 【点拨】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求出A、B、C的坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型8】二次函数与等腰（边）三角形综合 【例题8】 （24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）由图象写出满足的自变量的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）或；（3）或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 解：（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点拨】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 【答案】、、、． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , , ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 【变式2】（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，且C、D两点关于y轴对称，过点C作x轴的垂线交抛物线于点E，连接，当是等腰三角形时，线段CD的长为 ．    【答案】/ 【分析】由点在抛物线上，求出抛物线解析式是，设的横坐标是，则的横坐标是，的坐标是，由是等腰直角三角形，列出关于的方程，求出的值即可解决问题． 解：点在抛物线上， ， ， 抛物线解析式是， 设的横坐标是，则的横坐标是，的坐标是， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 或（舍， 线段长是． 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是二次函数的性质． 考点（五）二次函数与特殊四边形综合 【题型9】二次函数与平行四边形综合 【例题9】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求点、点的坐标和抛物线的对称轴； （2）求直线的函数关系式； （3）点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线；（2）直线的函数关系式为；（3）线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 解：（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点拨】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 【变式1】（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 【变式2】（20-21九年级上·广东·阶段练习）如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中点A、C的横坐标分别为-1和2．点G是抛物线上的动点，在x轴上存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标为 ． 【答案】（1，0）、（-3，0）、、 【分析】此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 解：∵其中点A、C的横坐标分别为-1和2 ∴点A（-1，0） ∴1-b-3=0 解之：b=-2 ∴y=x2-2x-3 当x=2时y=4-4-3=-3． ∴点C（2，-3）； 当x=0时，y=-3 ∴点D（0，-3） ∴CD∥x轴， 当AC为对角线时，即AF∥CG，点G与点D重合    ∴AF1=CD=2 ∴OF1=2-1=1 ∴点F1（1，0） 当AC为一边时，AF2∥CG，CG=AF=2 ∴AF2=2 ∴OF2=|-1-2|=3 ∴点F2（-3，0）； 如图，当GA=CF时，CG和AF的中点坐标相同 设点F（m，0） 则点AF的中点坐标为（ ， 0） 设点G（x，x2-2x-3） ∴CG的中点坐标为 ∴ 解之： ∴点 ∴点F的坐标为 （1，0）、（-3，0）、、． 故答案为：（1，0）、（-3，0）、、． 【点拨】本题主要考查二次函数的综合题的考点，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大． 【题型10】二次函数与矩形综合 【例题10】 （24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）抛物线的解析式为______________； （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合、二次函数的性质等考点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 解：（1）解：设抛物线所对应的函数表达是为： 当时，，则， 将O、C、E三点坐标代入函数表达式得： ， 解得：， 故抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为：， 则，，， ∵， ∴， 设矩形的周长为C， ∴， 化简得：， ∴， ∵． ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）已知抛物线，其顶点为，与轴交于点，将抛物线绕原点旋转，点、的对应点分别为、，若四边形为矩形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等是解题的关键．先求出，，，，结合矩形的性质，列出关于的方程，即可求解． 解：抛物线，其顶点为，与轴交于点， ，， 将抛物线绕原点旋转，点、的对应点分别为、， ，， ∵四边形为矩形， ， ， 解得：． 故选：D． 【变式2】（2023·福建宁德·模拟预测）已知抛物线的顶点为A，交y轴于点B；抛物线的顶点为C，交y轴于点D．若，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的性质分别求出A，B，C，D四点坐标，结合矩形性质列式求解即可得到答案； 解：由题意可得， 当时，，当时，， ∴，， 当时，，当时，， ∴，，， ∴该四边形是、作对角线， ∵四边形为矩形，， ∴，即：， 化简得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质，矩形的性质，解题的关键是求出A，B，C，D四点坐标，并确定其位置，利用矩形性质列式求解． 【题型11】二次函数与菱形综合 【例题11】（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 解：（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式1】（2021·山东·二模）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点D，以为边向左作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与联立可求得点D的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k=h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2+h，由图形可知当抛物线经过点D和点C时抛物线与菱形的边、都有公共点，然后将点C和点D的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围． 解：∵将与联立得：，解得：， ∴点D的坐标为（2，1）． 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）， ∵将x＝h，y＝k，代入得得：h=k，解得：k=h， ∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2+h， 当抛物线经过点C时． 将C（0，0）代入y＝（x−h）2+h，得：h2+h=0，解得：h1＝0（舍去），h2=-． 当抛物线经过点D时． 将D（2，1）代入y＝（x−h）2+h，得：（2−h）2+h＝1，整理得：2h2-7h＋6＝0，解得：h1=2，h2=（舍去）． 综上所述，h的范围是． 故选：A． 【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边、均有交点时抛物线经过的“临界点”为点D和点C是解题的关键． 【变式2】（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个考点是解题的关键；由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标． 解：抛物线的对称轴为直线， 在中，令，得， 即； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴关于直线对称， ∴， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， ∴点D的横坐标为， ∴． 故答案为：． 【题型12】二次函数与正方形综合 【例题12】 （24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），顶点坐标为；（3）， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 解：（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上考点． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键．代入求得抛物线解析式为，设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可． 解：代入到抛物线，得， 解得：， 抛物线解析式为：， 设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为， 轴， 点坐标为， 四边形为正方形， ， 即， 解得：（舍去）， ， ． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的平行线，交抛物线于另一点，点线段上，分别过点作轴的垂线交抛物线于两点．当四边形为正方形时，线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等考点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．点代入抛物线中求出解析式为，再设，进而求得F点坐标为，代入中即可求解． 解：将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为， 设、分别与对称轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴F点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出B、C的坐标，再证明，从而得到当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小，求出直线解析式即可求出答案． 解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上， ∴， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 故选C．    【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，确定出当B、C、D三点共线时，最小是解题的关键． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与轴两交点的距离是解题的关键． 根据，可得，由，令，用求根公式得到两个交点横坐标的值，由此可得，则，再根据平移的性质可得，即点到轴的距离为2，根据函数图象平移得到平移后的二次函数，令，可得，由此可得，结合图形面积公式计算，由此即可求解． 解：已知．点在抛物线上，的面积为4， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴，则， ∴二次函数解析式为：， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，设， ∴，则， ∴， 整理得，， ∵将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为， ∴， ∴设平移后的二次函数解析式为， ∴， 设平移后二次函数与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 5．（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题 6．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为 ． 【答案】 【分析】设 ， 与 轴的交点为H，根据C，D为三等分点可得所以 即 进而求出C的纵坐标为 ，则 解得 这样就可以求出、 的坐标，从而求得． 解：设， 与 轴的交点为H， 根据题意可得， C的纵坐标为 则，解得 故答案为 ． 【点拨】本题考查二次函数对称性、直角坐标系中点的坐标与线段长度的关系的考点，熟练掌握点的坐标与线段长度计算是解题的关键． 7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 10．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 三、解答题 11．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案． 解：（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，， 代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则， 当时，， 故当的值最小时，点． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是函数图象上点的特征． 12．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，交y轴于点C （1）求此二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点M的坐标，对称轴； （3）求的面积 【答案】（1）；（2）抛物线的顶点M的坐标为，对称轴为直线；（3）6 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，顶点式，三角形面积等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）将函数关系式化为顶点式即可得到答案； （3）求出点的坐标，求出，根据三角形面积公式求解即可． 解：（1）解：把点、的坐标分别代入， 得：． 解得：， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点M的坐标为，对称轴为直线； （3）解：对于，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵、， ∴， ∴． 13．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； （3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）M（，）；（3）Q（﹣1，0）或（5，﹣12） 【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解； （2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解； （3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解． 解：（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3； （2）解：当 时， ， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3， 设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋， 当m ＝时，MN的长度最大， 此时M（，）； （3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵ ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝，PB＝，BC＝， ∴ ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝， 设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵， 则， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键． 14．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 解：（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点拨】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 15．（24-25九年级上·新疆克孜勒苏·期末）抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求、、点的坐标； （3）为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】（1）；；（2）；；（3） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 解：（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 2. 能力提升（选择题5题，填空题5题，解答题5题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点P在y轴右侧的抛物线上，且不与点B重合，当时，点P的坐标为（   ） A．或 B．或， C．或， D．或， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与面积的综合问题，先根据抛物线与y轴交点求出c的值， 再求出二次函数于x的交点坐标，设，根据已知条件可得出，解绝对值方程进而可求出点P的坐标． 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线为， 另，则， 解得：，， 则，， ∴， 设， ∵， ∴ 即， 解得：（舍去），，，（舍去）， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选：C 2．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 3．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出，进而根据四边形的邻边之比为：，分类讨论，设点A横坐标为m表示出的坐标，进而即可求解． 解：依题意是矩形； 把点代入中得， 解得， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵四边形的邻边之比为：时， 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 综上所述线段的长为或 故选：B． 5．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，的周长也最小，以此为依据求解即可； 解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 7．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 解：（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 8．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为 ． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 9．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，先分别求出，，设，利用勾股定理得到，，，则，解方程求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可． 解：在中，当时，， ∴， 在中，当时，， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 12．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 13．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； （3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 解：（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 14．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； （3）点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为；（3）或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 解：（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等考点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 15．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）的最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式可得；再求出，进而得到直线解析式为；过点E作轴交于F，设，则，则；根据，可得，据此利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵抛物线解析式为， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点E作轴交于F， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 3. 直通中考（10题） 一、单选题 1．（2021·山东淄博·中考真题）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解． 解：假设点A在点B的左侧， ∵二次函数的图象交轴于两点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∵图象上有且只有三点满足， ∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示： ∵， ∴点， ∴； 故选C． 【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 二、填空题 3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点代入抛物线的解析式，得出m的值，确定的坐标，再根据点的坐标分情况画图求解，即可求出点关于直线的对称点坐标． 解：∵抛物线交轴于、两点，交轴于点， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵是抛物线上的点， ∴， 解得， ∴当时，， 当时，， ①当时，此时点与点重合， 如图1，设点关于直线对称点为，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴，且， ∴， ∴； ②当时， ∴轴， ∴ 如图2，设点关于直线的对称点为M，连接， ∵点关于直线的对称点为M， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 综上可得：点关于直线的对称点的坐标为或． 故答案为：或 【点拨】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键． 4．（2023·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是 ．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得，设，从而，由此得到四边形是平行四边形，结合边上的高为，即可得到函数解析式，进而得到答案． 解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 如图，设，    由题意得，，且， ∴， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由题意得，与的距离是， ∴， ∴边上的高为， ∴四边形面积， ∵， ∴， 故答案为：，． 【点拨】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 5．（2021·广西·中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ． 【答案】． 【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式． 解：∵，，，， ∴，， 由平移的性质可知：, ∴四边形的周长为； 要使其周长最小，则应使的值最小； 设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移； ∴，， 将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：， 将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，, ∴， 当B、E、三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为：， ∴， 当时， ∴ ∴， 将E点坐标代入解析式可得：， 解得：， 此时， 此时四边形的周长为； 当时，，，，， 此时四边形的周长为： ； ∵， ∴当时，其周长最小， 所以抛物线向右平移了个单位， 所以其解析式为：； 故答案为：． 【点拨】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等． 6．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：    ①当时，； ②当的面积为时，； ③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①② 【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③． 解：∵抛物线经过点，顶点为， ∴对称轴， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， 由图象可得：当时，； ∴①正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴设抛物线为， 当时，，当时，， ∴，， 如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作，    ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当是，， ∴， ∴， ∴， 解得：，故②正确； ∵点B是抛物线与y轴的交点， ∴当时，， ∴， ∵为直角三角形， 当时， ∴， ∵，，， ∴，整理得：， 解得：或（舍） ∴， 当时， ∴， ∴，整理得： 解得：或（舍） ∴， 当时， ∴， ∴，无解； 以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，    则，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 当时， ∵， 当时， ，此时不符合题意，故③错误； 故答案为：①②． 【点拨】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键． 三、解答题 7．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等考点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 解：（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 8．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0，；（2）①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 解：（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式． （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点P的坐标是，的面积最大值是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解. 解：（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 10．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．   （1）求二次函数的表达式； （2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或 【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式； （2）连接，根据求出S与t的函数关系式； （3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可． （1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， 二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ， ； （2）如图，连接，      当时，， 或2，， 点P在抛物线上， 点P的纵坐标为， ； （3）设， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 综上：或或． 【点拨】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$