专题 2.1 圆（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（苏科版 ）

专题 2.1 圆 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）圆的定义 1 【题型1】圆的定义认识 2 知识点（二）点与圆的位置关系 2 【题型2】判断点和圆的位置关系 2 【题型3】由点和圆的位置关系求半径或半径取值范围 3 知识点（三）点与圆有关的概念： 3 【题型4】弦的数量 4 【题型5】圆内最长的弦 4 【题型6】弧的辨析 5 【题型7】圆心角与圆周角辨析 6 【题型8】同心圆、等圆与等弧的辨析 7 知识点（四）同圆与等圆的性质： 7 【题型9】利用同圆或等圆半径相等的应用 7 【题型10】利用同圆或等圆半径相等求值 8 【题型11】利用同圆或等圆半径相等证明 9 二．同步练习 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（16题）】 13 【中考真题8题】 18 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）圆的定义 定义1：在平面上：到定点的距离等于定长的所有的点形成的轨迹叫做圆，其中定点叫圆心，定长叫半径，以为圆心的圆的圆记作☉o，读作圆. 定义2：如图1，在平面内把线段绕着端点旋转1周，端点运动所形成的图形叫做圆.其中，点叫做圆心，线段叫做半径. 图1 小结：确定一个圆需要两个要素：圆心、半径，圆的圆心确定圆的位置；圆的半径确定圆的大小. 【题型1】圆的定义认识 【例题1】 （24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）早在多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是 ． 【变式1】 （24-25八年级上·上海·阶段练习）经过定点，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是 ． 知识点（二）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系表示如下： 点与圆的位置关系 图形 数量关系（表示的长，表示圆的半径） 点在圆内 点在圆内 点在圆上 点在圆上 点在圆外 点在圆外 【题型2】判断点和圆的位置关系 【例题2】 （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【变式1】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆外 B．点在圆外、点在圆内 C．点在圆内、点在圆外 D．点、均在圆内 【变式2】 （24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边中，点A在以边为直径的圆 ．（填“上”“内”或“外”） 【题型3】由点和圆的位置关系求半径或半径取值范围 【例题3】 （2022九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 【变式1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以为半径作圆与轴相交，且原点在圆的外部，那么半径的取值范围是 ． 知识点（三）点与圆有关的概念 （1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径，图1上的弦有弦、弦，其中经过圆心的弦叫直径，如图1中的弦AB就是直径. 图2 【题型4】弦的数量 【例题 4】 （23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【变式1】 （23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式2】 （22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【题型5】圆内最长的弦 【例题 5】 （24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【变式1】 （24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【变式2】 （2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    （2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，如图3弧记作，劣弧用表示，优弧用三个字母表示，如图1中的优弧. 图3 【题型6】弧的辨析 【例题 6】 （2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（     ） A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧 B．圆上任意两点间的线段叫作弧 C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧 D．任意两点间的部分叫作弧 【变式1】 （22-23九年级·江苏·假期作业）（1）图①中有 条弧，分别为 ； （2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ． 【变式2】 （24-25九年级上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦 C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 （3） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图3，是☉o的圆心角； （4） 圆周角：顶点在圆周上，两边与圆相交，像这样的角叫做圆周角，如图4，在☉o中，是圆周角. 图3 图4 【题型7】圆心角与圆周角辨析 【例题 7】 （21-22九年级上·全国·课后作业）图中所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 ；优弧所对的圆周角是 ． 【变式1】 （24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 （19-20九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图与相切于点为上点,则下列说法中错误的（  ） A．是圆心角 B．是圆周角 C．是圆周角 D．是圆心角 （5） 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆，如图3，在☉o中，是圆周角. （6） 等圆与等弧：能够互相重合的圆叫等圆，能够互相重合的弧叫等弧. 如图4，若 则这两个圆是等圆. 图5 图6 【题型8】同心圆、等圆与等弧的辨析 【例题 8】 （24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A．②③④ B．①⑤⑥ C．①②④ D．④⑤⑥ 【变式1】 下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 （    ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．②④ 【变式2】 （22-23九年级上·浙江·单元测试）下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 知识点（四）同圆与等圆的性质： 同圆或等圆的半径相等. 【题型9】利用同圆或等圆半径相等的应用 【例题 9】 （2022九年级上·浙江·专题练习）下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④ 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【变式2】（24-25九年级上·广东河源·期中）如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若，则画出的圆的半径为 ． 【题型10】利用同圆或等圆半径相等求值 【例题 10】 （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，求的度数． 【变式1】 （2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是 ． 【题型11】利用同圆或等圆半径相等证明 【例题 11】 （24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【变式1】（2025·福建福州·三模）已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． （1）作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，当，求证：四边形是菱形． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 4．（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，点到圆心的距离，则点与的位置关系是（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 6．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 8．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 9．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为 ． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 11．（2025·重庆渝中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 12．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． （1）与相等吗？为什么？ （2）若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 14．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 15．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 16．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 6．（2025·山东济宁·三模）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A，B两点间的距离为；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 7．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是 ． 9．（2025·江西新余·模拟预测）如图，正方形的边长为6，以边上的动点O 为圆心，为半径作圆，将 沿翻折得到，若过一边上的中点，则的半径为 ． 10．（2025·四川内江·二模）如图所示，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则的度数为 ． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，以为圆心的长度为半径画弧，交的垂直平分线于点，若，则 ． 12．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图1，P是圆O外一点，A，B为圆上两点，连接，分别交圆O于C，D两点，，连接． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点M，连接，当点C为中点时，求证：四边形为菱形． 14．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． （1）设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的长； （3）在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 15．（2025·广东肇庆·二模）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】 （1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】 （2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】 （3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 16．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）【知识背景】 如图①、在中，分别以 为边向外作等腰直角 和等腰直角，，连结，可得出，其依据是 ．（填序号） ①；②； ③；④ ；⑤ 【方法探索】 数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等边，点D是外一点，连接，若 ，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等边，连接．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 如图④， 为的直径，，C是上异于A，B 的任一点，连接，点D 是外一点，且，连接．若在点 C 运动过程中，始终有 ，连接，若线段长度的最大值为a，最小值为b，则 的值为 ． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 3．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 二、填空题 5．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 6．（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    7．（2023·黑龙江·中考真题）在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ． 8．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 9．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 10．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①． 试判断：的形状为________．    （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③． 求线段长度的最大值和最小值．    （22-23九年级上·浙江·单元测试）圆的有关概念： （1）圆两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做 ．线段叫做 ． （b）圆是所有点到定点的距离 定长的点的集合． （2）弦：连接圆上任意两点的 叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； （3）弧：圆上任意两点间的部分叫 （弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） （4）等弧：在同圆与等圆中，能够 的弧叫等弧． （5）等圆：能够 的两个圆叫等圆，半径 的两个圆也叫等圆． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.1 圆 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）圆的定义 1 【题型1】圆的定义认识 2 知识点（二）点与圆的位置关系 3 【题型2】判断点和圆的位置关系 3 【题型3】由点和圆的位置关系求半径或半径取值范围 5 知识点（三）点与圆有关的概念： 7 【题型4】弦的数量 8 【题型5】圆内最长的弦 9 【题型6】弧的辨析 11 【题型7】圆心角与圆周角辨析 13 【题型8】同心圆、等圆与等弧的辨析 15 知识点（四）同圆与等圆的性质： 16 【题型9】利用同圆或等圆半径相等的应用 16 【题型10】利用同圆或等圆半径相等求值 18 【题型11】利用同圆或等圆半径相等证明 21 二．同步练习 24 【基础巩固（16题）】 24 【能力提升（16题）】 35 【中考真题8题】 56 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）圆的定义 定义1：在平面上：到定点的距离等于定长的所有的点形成的轨迹叫做圆，其中定点叫圆心，定长叫半径，以为圆心的圆的圆记作☉o，读作圆. 定义2：如图1，在平面内把线段绕着端点旋转1周，端点运动所形成的图形叫做圆.其中，点叫做圆心，线段叫做半径. 图1 小结：确定一个圆需要两个要素：圆心、半径，圆的圆心确定圆的位置；圆的半径确定圆的大小. 【题型1】圆的定义认识 【例题1】 （24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）早在多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是 ． 【答案】圆心 【分析】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的集合定义．根据圆的集合定义直接回答即可． 解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径． 故答案为：圆心． 【变式1】 （24-25八年级上·上海·阶段练习）经过定点，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是 ． 【答案】以点A为圆心，8厘米长为半径的圆 【分析】此题考查了点的运动轨迹问题和点和圆的位置关系与数量之间的联系．注意：点在圆上，即点到圆心的距离等于该圆的半径．要求作经过定点A，且半径为8厘米的圆的圆心，则圆心应满足到点A的距离恒等于8厘米，根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析． 解：根据题意，得圆心应满足到点A的距离恒等于8厘米，即经过定点A，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是以点A为圆心，8厘米长为半径的圆． 故答案为以点A为圆心，8厘米长为半径的圆． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是 ． 【答案】以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点 【分析】本题考查了圆的运动轨迹，三角形中线，设的中点为D，则，故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆，为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点，从而得出答案． 解：设的中点为D，则， 故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆， 因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点， 故答案为：以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点． 知识点（二）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系表示如下： 点与圆的位置关系 图形 数量关系（表示的长，表示圆的半径） 点在圆内 点在圆内 点在圆上 点在圆上 点在圆外 点在圆外 【题型2】判断点和圆的位置关系 【例题2】 （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系． 解：∵m使关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵圆的半径为2， ∴点P在内． 【变式1】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆外 B．点在圆外、点在圆内 C．点在圆内、点在圆外 D．点、均在圆内 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置，由，得到，，再根据勾股定理，计算出，，则，，然后根据点与圆的位置关系进行判断． 解：如图，连接，， ∵四边形为矩形， ∴， ，点在边上，且， ，， ， ， ， 点在圆内、点在圆外 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边中，点A在以边为直径的圆 ．（填“上”“内”或“外”） 【答案】外 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，比较半径和A到圆心的距离之间的大小关系即可得解，熟练掌握点和圆的位置关系、等边三角形的性质是解题的关键． 解：如图，为等边三角形，    过A作于点，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即此时， ∴点A在以为直径的圆外， 故答案为：外． 【题型3】由点和圆的位置关系求半径或半径取值范围 【例题3】 （2022九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 【答案】或 【分析】题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了勾股定理． 利用点在上，得到，然后分类讨论：当点在外，，在中，利用勾股定理可计算出；当点在内，，利用勾股定理可计算出，于是可得到的长． 解：如图， 直径， ， ， ， 点与圆上各点所连接线段最短为1， ， 当点在外，， 在中，； 当点在内，， 在中，， 的长为或． 【变式1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以为半径作圆与轴相交，且原点在圆的外部，那么半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解答本题的关键是根据点与圆的位置关系得到半径的取值范围． 分别根据原点在圆的外部，圆与轴相交，可得半径的取值范围． 解：， ， 原点在圆的外部， ，即， 圆与轴相交， ， ， 故答案为：． 知识点（三）点与圆有关的概念 （1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径，图1上的弦有弦、弦，其中经过圆心的弦叫直径，如图1中的弦AB就是直径. 图2 【题型4】弦的数量 【例题 4】 （23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 解：如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【变式1】 （23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 解：在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式2】 （22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【题型5】圆内最长的弦 【例题 5】 （24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 【变式1】 （24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 【变式2】 （2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． （2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，如图3弧记作，劣弧用表示，优弧用三个字母表示，如图1中的优弧. 图3 【题型6】弧的辨析 【例题 6】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（     ） A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧 B．圆上任意两点间的线段叫作弧 C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧 D．任意两点间的部分叫作弧 【答案】A 【分析】此题考查了圆弧的认识．根据：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，逐一判断即可． 解：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆上任意两点间的线段叫作弦． 观察四个选项，只有选项A说法正确， 故选：A． 【变式1】 （22-23九年级·江苏·假期作业）（1）图①中有 条弧，分别为 ； （2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ． 【答案】 2； , ； ； ； ． 【分析】（1）根据弧的定义求解可得； （2）根据半圆、劣弧、优弧概念求解可得． 解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ； 故答案为：2， , ； （2）写出图②中的一个半圆 ； 劣弧： ；优弧：． 故答案为： ； ；． 【点拨】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、半圆、劣弧的概念． 【变式2】 （24-25九年级上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦 C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难度不大．利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 解：A、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，不符合题意； B、在一个圆中，直径是最长的弦，符合题意； C、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意； D、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． （3） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图3，是☉o的圆心角； （4） 圆周角：顶点在圆周上，两边与圆相交，像这样的角叫做圆周角，如图4，在☉o中，是圆周角. 图3 图4 【题型7】圆心角与圆周角辨析 【例题 7】（21-22九年级上·全国·课后作业）图中所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 ；优弧所对的圆周角是 ． 【答案】 和 和 【分析】根据圆心角，圆周角和优弧的定义，即可求解． 解：所对的圆心角是；所对的圆周角是和；优弧所对的圆周角是和． 故答案为：；和；和 【点拨】本题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握圆心角，圆周角和优弧的定义是解题的关键． 【变式1】 （24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 【变式2】 （19-20九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图与相切于点为上点,则下列说法中错误的（  ） A．是圆心角 B．是圆周角 C．是圆周角 D．是圆心角 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的定义去排除错误答案，顶点在圆心上的角且两边都和圆相交的角为圆心角，角度在圆周上且两边都和圆相交的角为圆周角. 解：根据圆周角和圆心角的定义去排除错误答案， A中是圆心角，正确； B中是圆周角，正确； C中是圆周角，错误，因为角的两边不都和圆相交，所以不是圆周角； D中是圆心角，正确； 【点拨】本题考查圆心角和圆周角的定义，其中顶点在圆周上而且两边和圆相交的角才称为圆周角. （5） 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆，如图3，在☉o中，是圆周角. （6） 等圆与等弧：能够互相重合的圆叫等圆，能够互相重合的弧叫等弧. 如图4，若 则这两个圆是等圆. 图5 图6 【题型8】同心圆、等圆与等弧的辨析 【例题 8】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A．②③④ B．①⑤⑥ C．①②④ D．④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，根据等圆、等弧、直径、半径、弦的定义逐项判断即可得出答案． 解：①面积相等的圆的半径相等，因此面积相等的圆是等圆是正确的，故①符合题意； ②过圆心的线段不一定是圆的直径，故②不符合题意； ③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③不符合题意； ④半径不是弦，故④不符合题意； ⑤直径是圆中最长的弦，正确，故⑤符合题意； ⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆，正确，故⑥符合题意． ∴正确的是①⑤⑥． 故选B． 【变式1】 下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 （    ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．②④ 【答案】A 【分析】利用等圆、等弧、弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 解：①直径相等的两个圆能重合，所以是等圆，①是真命题； ②长度相等的弧不一定能重合，所以不一定是等弧，②是假命题； ③圆中最长的弦是直径，通过圆心的弦是直径，③是真命题； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可以是半圆，所以可能是等弧，④是假命题． 故选A． 【点拨】本题考查了命题与定理及圆的认识的知识，解题的关键是了解等圆、等弧、弦的定义，难度不大，属于基础题． 【变式2】 （22-23九年级上·浙江·单元测试）下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点拨】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 知识点（四）同圆与等圆的性质： 同圆或等圆的半径相等. 【题型9】利用同圆或等圆半径相等的应用 【例题 9】（2022九年级上·浙江·专题练习）下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据四个点共圆的条件：对角互补，进行判断． 解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆． 故选：C． 【点拨】本题考查了共圆问题，掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义．圆是到定点的距离等于定长的所有的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径，确定圆的两个要素是圆心和半径，所以要画了个圆就要保持圆心位置不变，圆的半径不变． 解：A选项：保持圆心位置不变，如果圆的半径发生变化，则不能画出圆，故A选项不符合题意； B选项：保持圆的半径不变，如果圆心的位置发生变化，则不能画出圆，故B选项不符合题意； C选项：保持圆心位置和圆的半径不变，可以画出一个圆，故C选项符合题意； D选项：圆心的位置可以改变，改变了圆心的位置不能画出一个圆，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广东河源·期中）如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若，则画出的圆的半径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查直角三角形中线的性质和圆的性质，关键在于对两种综合的掌握． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即为圆的半径． 解：如图，连接， ∵两个滑槽互相垂直，点P是木棒的中点， ∴． ∴画出的圆半径为． 故答案为：13． 【题型10】利用同圆或等圆半径相等求值 【例题 10】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再结合，进一步作答即可． 解：连接，如图， ，， ， ， 而， ， ， ， ， 而， ， ∴． 【变式1】 （2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、圆的基本概念、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，利用平行线的性质得到，得出，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， 正方形的边长为． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关概念等知识，连接，证明，则有，，再由直角三角形性质可得，然后通过勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 【题型11】利用同圆或等圆半径相等证明 【例题 11】（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【答案】在，证明见分析 【分析】根据矩形的性质得到，，，进而说明即可证明． 解：，，，四个点是否在同一个圆上． 证明：四边形是矩形， ，，， ， 、、、四点在以圆心长为半径的同一个圆上． 【变式1】（2025·福建福州·三模）已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． （1）作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，当，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，圆的有关概念，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作的垂直平分线，找到的中点O，再以O为圆心，为半径作圆即可； （2）先证明，结合可证四边形是平行四边形，再由可证四边形是菱形． 解：（1）解：如图，为所求， （2）证明：∵与分别为和的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上． ∴在中，， ， 又平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【答案】（1），见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 解：（1）．理由如下： 在和中， ， ． 又于点，于点，即分别是边上的高， ． （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 解：∵圆的半径为，点P到圆心的距离为， ∴，即， ∴点P与圆的位置关系是：P在圆内． 故选：C． 4．（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 解：∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 5．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，点到圆心的距离，则点与的位置关系是（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，点和圆的位置关系（判断点与圆的位置关系）等知识点，熟练掌握根据点到圆心的距离与圆的半径判断点和圆的位置关系是解题的关键：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 先求出方程的根，确定圆的半径，再根据点到圆心的距离与圆的半径判断点和圆的位置关系即可． 解：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 的半径， 点到圆心的距离， 点在内， 故选：． 6．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 8．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了旋转的性质，理解旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 解：如图，在旋转过程中，当与重合时，即在位置，有最小值，最小值为. 9．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 解：如图所示，连接，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 11．（2025·重庆渝中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 【答案】 上 或 【分析】本题考查了旋转的性质，点和圆的位置关系．根据题意画出图形，即可得解． 解：点如图所示，则点在上； 如图，线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 故答案为：上；或． 12．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是 【答案】/ 【分析】本题主要考查直角三角形的斜边的中线性质；先求出进而得出，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即，即可得出t最小时，点P在上，用两点间的距离公式即可得出结论． 解：如图，连接， ∵、、， ∴， ∴，     ∵， ∴ 要t最小，就是点A到上的一点的距离最小， ∴点P在上， ∵， ∴， ∴t的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． （1）与相等吗？为什么？ （2）若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 解：（1）解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 14．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 解：证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的定义等知识．连接，根据，可得，结合，根据等边对等角以及三角形的外角性质求解． 解：连接，如图， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 解：证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明为等边三角形得出，再由圆的面积公式计算即可得解． 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答． 解：解方程得：（舍去） ∴圆O的半径是8， ∵点A到圆心O的距离为6，， ∴点A在圆O内． 故选：B． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 5．（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 6．（2025·山东济宁·三模）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A，B两点间的距离为；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是动点图象问题，由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①、②、③，最后根据可对④进行判断． 解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确，不符合题意； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故②正确，不符合题意； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故③正确，不符合题意； 当点P运动到点B时，，即， ∴是等边三角形， ∴，故④错误，符合题意． 综上，正确的说法是①②③． 故选：A． 二、填空题 7．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆周长的计算公式，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据圆周长计算公式可得，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质，得到，再根据等腰三角形的判定得到，由此可得，即得答案． 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，， ∵，经过点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至的延长线与的交点处时， 取得最大值为， 当点C运动至与的交点处时， 取得最小值为， 在中，， 的取值范围是． 【点拨】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 9．（2025·江西新余·模拟预测）如图，正方形的边长为6，以边上的动点O 为圆心，为半径作圆，将 沿翻折得到，若过一边上的中点，则的半径为 ． 【答案】2或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、圆的基本知识、折叠的性质以及勾股定理等知识，分情况讨论是解题关键．设的半径为r，分 经过 的中点、经过的中点以及经过的中点三种情况，分别求解即可． 解：设的半径为r，如下图， ①如图1，当 经过 的中点，即经过的中点， 2； ②如图2，当经过的中点，则 ， ， 在中， ， ， 解得：（负值已舍去）； ③如图3，当经过的中点，连接， ∴，，， ∴在中，可有， ，解得． 综上所述，的半径为2或或． 10．（2025·四川内江·二模）如图所示，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，三角形外角的性质，根据旋转的性质得到，，则可证明是等边三角形，得到旋转角为，然后利用三角形外角和定理计算即可． 解：绕点按顺时针方向旋转得到，点落在上， ，， 连接，    ， ∴， 为等边三角形， ， 绕点按顺时针方向旋转了， ， ． 故答案为：. 11．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，以为圆心的长度为半径画弧，交的垂直平分线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，过作，交于点，则，由正方形可得，，根据题意可知，，证明是等边三角形，故有，则，则，再通过勾股定理得出，最后代入求值即可． 解：如图，连接，过作，交于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵以为圆心的长度为半径画弧，交的垂直平分线于点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，圆的有关概念，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 12．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】## 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，到圆上一点的最值问题，勾股定理，取点的中点，连接，得出，则在以为圆心的圆上运动，当在上时，取得最小值，进而勾股定理即可求解． 解：如图，取的中点，连接， ∵ ∴ ∴在以为圆心的圆上运动， ∴当在上时，取得最小值， 最小值为 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图1，P是圆O外一点，A，B为圆上两点，连接，分别交圆O于C，D两点，，连接． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点M，连接，当点C为中点时，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题主要考查圆心角定理的推论，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质定理以及菱形的判定定理，熟练掌握上述定理，并能综合运用，是解题的关键． （1）作，，垂足分别为，先证，得，由角平分线的性质定理，可得，进而即可得到结论； （2）根据等腰三角形三线合一得，由直角三角形的性质可得，进而可知为中点，得，由四边相等的四边形是菱形即可得到结论． 解：（1）证明：作，，垂足分别为． ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴，即：， ∵，平分， ∴． 又∵为中点， ∴． ∴ ∴为中点． ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 14．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． （1）设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的长； （3）在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】（1）见分析；（2）2或；（3）135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 解：（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 15．（2025·广东肇庆·二模）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】 （1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】 （2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】 （3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【答案】（1）；（2）16；（3） 【分析】（1）由旋转的性质得，，，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，即可求解； （2）由圆的定义得当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，由圆的内接四边形性质得，可得、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，即可求解． 解：（1）由旋转得， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 故答案为：； （2）∵是的弦，且的半径为8， ∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ， ∴的最大值是16； （3）∵，， ∴是的直径，且圆心在上， ∴，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ，， ， ∵， ∴， ∴、、三点在同一条直线上， ∵， ∴ ， ∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∴周长的最大值是． 【点拨】本题考查了旋转的性质，圆的定义，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质等；理解圆的定义，掌握旋转的性质，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 16．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）【知识背景】 如图①、在中，分别以 为边向外作等腰直角 和等腰直角，，连结，可得出，其依据是 ．（填序号） ①；②； ③；④ ；⑤ 【方法探索】 数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等边，点D是外一点，连接，若 ，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等边，连接．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 如图④， 为的直径，，C是上异于A，B 的任一点，连接，点D 是外一点，且，连接．若在点 C 运动过程中，始终有 ，连接，若线段长度的最大值为a，最小值为b，则 的值为 ． 【答案】知识背景：②；方法探索：；运用创新： 【分析】知识背景：根据等腰直角三角形的性质可得，推出，利用即可得出，进而得解； 方法探索：利用等边三角形的性质证明，推出，再根据，求出，利用勾股定理求出，即可解答； 运用创新：过点A作，使，连接．同理知识背景得：，推出，当三点共线，且点C在点O上方时，有最大值，即有最大值，当三点共线，且点C在点O下方时，有最小值，即有最小值，即可解答． 解：知识背景： 解：∵ 和是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 则其依据是②； 方法探索：∵ 和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 运用创新： 如图，过点A作，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理知识背景得：， ∴， 当三点共线，且点C在点O上方时，有最大值，即有最大值，如图， ∵， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为； 当三点共线，且点C在点O下方时，有最小值，即有最小值，如图， 同理：线段长度的最小值为； 则 ． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，点到圆上距离，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成． 解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形， 只有乙是扇形， 故选：B． 【点拨】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 3．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得． 解：∵，， ∴， ∴， ∵，C为的中点， ∴， 故选A． 【点拨】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 二、填空题 5．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 6．（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时，    ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时 当在上时，如图所示，此时    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 7．（2023·黑龙江·中考真题）在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可． 解：如图，在中，，，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 过点A作交的延长线于点G， ∴， 又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，， ∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时） ∴面积的最大值， 故答案为：．    【点拨】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键． 8．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点拨】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题 9．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见详解；（2）证明过程见详解 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 解：（1）解：如图所示， ∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点， ∴点即为所求点的位置； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 10．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①． 试判断：的形状为________．    （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③． 求线段长度的最大值和最小值．    【答案】（1）等腰直角三角形；（2）探究一：；探究二：线段长度的最大值为，最小值为 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值． 解：（1）解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）探究一：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，，      是的中点， ，且， ， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为， ， 的最大值为，最小值为． 【点拨】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． （22-23九年级上·浙江·单元测试）圆的有关概念： （1）圆两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做 ．线段叫做 ． （b）圆是所有点到定点的距离 定长的点的集合． （2）弦：连接圆上任意两点的 叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； （3）弧：圆上任意两点间的部分叫 （弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） （4）等弧：在同圆与等圆中，能够 的弧叫等弧． （5）等圆：能够 的两个圆叫等圆，半径 的两个圆也叫等圆． 【答案】 圆心 半径 等于 线段 弧 完全重合 完全重合 相等 【分析】根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答． 解：（1）圆两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心．线段叫做半径． （b）圆是所有点到定点的距离等于定长的点的集合． （2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； （3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） （4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧． （5）等圆：能够完全重合 的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆． 故答案为：圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等． 【点拨】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$