专题12 图形的变化（湖南专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题12 图形的变化 考点01 尺规作图 1．（2023•永州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（　　） A．BC＝BE B．CD＝DE C．BD＝AD D．BD一定经过△ABC的内心 2．（2024•湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　， 3．（2023•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 　 　． 4．（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 　 　． 5．（2023•岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC＝　 　°． 6．（2025•长沙）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 7．（2024•长沙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE． （1）求CD的长； （2）求△ACE的周长． 8．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）； （2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形． 考点02 图形的平移 1．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　） A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7） 2．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 考点03 解直角三角形的实际应用 1．（2025•长沙）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 2．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3） 3．（2023•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　． 4．（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 　． 5．（2023•湘西州）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CPBP的最小值为 　 　． 6．（2023•娄底）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin∠AFB，则DE＝　 　． 考点04 图形的旋转 1．（2023•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心 C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴 2．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　 　． 3．（2023•益阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为 　 　． 4．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN． 初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　 　，MN与AC的位置关系是 　 　． 特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF． ①求∠BCF的度数； ②求CD的长． 深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由． 5．（2023•邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F． （1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°． （2）当为何值时，△AQF是直角三角形？ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 图形的变化 考点01 尺规作图 1．（2023•永州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（　　） A．BC＝BE B．CD＝DE C．BD＝AD D．BD一定经过△ABC的内心 【分析】由作图知，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质得到CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；根据全等三角形的性质得到BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意． 【解答】解：由作图知，BD平分∠ABC， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意； 在Rt△BCD与Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 2．（2024•湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　， 【分析】由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，结合角平分线的性质可得MD＝MN＝2，则AD＝4MD＝8，进而可得AM＝AD﹣MD＝6． 【解答】解：由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线， ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∵MN⊥AB， ∴MD＝MN＝2． ∴AD＝4MD＝8， ∴AM＝AD﹣MD＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 3．（2023•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 　 　． 【分析】根据角平分线的性质得到CD＝点D到AB的距离＝1． 【解答】解：由作图知AD平分∠BAC， ∵∠C＝90°，点D到AB的距离为1， ∴CD＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 4．（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 　 　． 【分析】延长NM交AD于点Q，再判定四边形CDQN是平行四边形，最后根据三角形的中位线的性质求解． 【解答】解：延长NM交AD于点Q， 由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD， ∴DM＝ME， ∴MN∥AB， ∴DQ＝AQ，CN＝BN， ∴QM＝2， 在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6， ∴四边形CDQN是平行四边形， ∴QN＝CD＝AB＝6， ∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的性质和三角形的中位线的性质是解题的关键． 5．（2023•岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC＝　 　°． 【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论． 【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC∠AOB30°． 故答案为：30． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 6．（2025•长沙）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 7．（2024•长沙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE． （1）求CD的长； （2）求△ACE的周长． 【分析】（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，点D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理可得，CD． （2）由勾股定理得，BC4．由线段垂直平分线的性质得EA＝EB，则△ACE的周长可转化为AC+CE+EB＝AC+BC，进而可得答案． 【解答】解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴点D为AB的中点， ∴CD． （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC4． ∵直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB． ∴△ACE的周长为AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理是解答本题的关键． 8．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）； （2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求； （2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC， ∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 考点02 图形的平移 1．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　） A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7） 【分析】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题． 【解答】解：将点P向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2， 所以点P′的坐标为（3，7）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 2．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的定义逐个判断即可． 【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置， 观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到， A，C，D均不能由图形a通过平移得到， 故选：B． 【点评】本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键． 考点03 解直角三角形的实际应用 1．（2025•长沙）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3） 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键． 3．（2023•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　． 【分析】根据题意可知点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【解答】解：∵点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称， ∴点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴a＝2，1+b＝0， 解得b＝﹣1， ∴a+b＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查关于x轴对称的两点，属于基础题，明白关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 4．（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 　． 【分析】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD， ∴BC＝AD，AC， 如图所示，当点P在BC上时， ∵AB'＝AB＝2， .∴B'在A为圆心，2为半径的弧上运动， 当A，B'，C三点共线时，CB'最短， 此时CB'＝AC﹣AB'2， 当点P在DC上时，如图所示， 此时CB'2， 当P在AD上时，如图所示，此时CB'2， 综上所述，CB'的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（2023•湘西州）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CPBP的最小值为 　 　． 【分析】过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA＝OB＝4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到，进而求出BE＝BO+EO＝6，然后利用CPBP＝CP+PD≥CF代入求解即可． 【解答】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴， ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4， ∴OA＝OB＝4，CF⊥AB， ∴∠OBA＝∠OAB＝30°， ∴， ∵BE⊥AC， ∴， ∴BE＝BO+EO＝6， ∵PD⊥AB，∠ABE＝30°， ∴， ∴CPBP＝CP+PD≥CF ∴的最小值为CF的长度， ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴CF＝BE＝6， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点评】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．（2023•娄底）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin∠AFB，则DE＝　 　． 【分析】由矩形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10，由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE，则sin∠AFB，所以ABAF＝8，BF6，则CD＝AB＝8，CF＝BC﹣BF＝4，由勾股定理得42+（8﹣DE）2＝DE2，求得DE＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝10， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10， 由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE， ∴sin∠AFB， ∴ABAF10＝8， ∴BF6，CD＝AB＝8， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， ∵CF2+CE2＝FE2，且FE＝DE，CE＝8﹣DE， ∴42+（8﹣DE）2＝DE2， 解得DE＝5， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明AF＝AD＝BC＝10并且求出AB的长是解题的关键． 考点04 图形的旋转 1．（2023•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心 C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴 【分析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意； 线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意； 矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意； 过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查中心对称、矩形的性质、轴对称的性质，熟记矩形即是中心对称图形也是轴对称图形是解答本题的关键． 2．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　 　． 【分析】依据AO为∠BAC的平分线可知，∠BAO＝∠CAO∠BAC＝25°，依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′，∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′代入数据即可得解． 【解答】解：∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAO＝∠CAO∠BAC＝25°， 依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′， ∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 3．（2023•益阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为 　 　． 【分析】先根据正方形的性质得到AD＝AB＝4，∠A＝90°，AE＝2，则利用勾股定理可计算出DE＝2，再根据旋转的性质得到DE＝DF＝2，∠EDF＝90°，然后利用△DEF为等腰直角三角形得到EFDE． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝4，∠A＝90°， ∵E为AB的中点， ∴AE＝2， ∴DE2， ∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF， ∴DE＝DF＝2，∠EDF＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴EFDE22． 故答案为：2． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 4．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN． 初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　 　，MN与AC的位置关系是 　 　． 特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF． ①求∠BCF的度数； ②求CD的长． 深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，则MN是△ABC的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：①连接EM，MN，NF，证明△BME是等边三角形，△BNF是等边三角形，得出∠FCB＝30°； ②连接AN，证明△ADN∽△BDE，则 ，设DE＝x，则，在Rt△ABE中，BE＝2，，则，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，勾股定理求得，则； （3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，得出∠BEC+∠BAC＝180°，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，表示∠BAE与∠ABF，即可求解；当F在EC上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°，表示∠BAE 与∠ABF，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴，MN∥AC； 故答案为：MNAC，MN∥AC； （2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF， ∵MN是△BAC的中位线， ∴MN∥AC， ∴∠BMN＝∠BAC＝90°， ∵将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF， ∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°， ∵点A，E，F在同一直线上， ∴∠AEB＝∠BEF＝90°， 在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点， ∴， ∴BM＝ME＝BE， ∴△BME是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°， ∴∠NBF＝60°，BN＝BF， ∴△BNF是等边三角形， 又∵BN＝NC，BN＝NF， ∴NF＝NC， ∴∠NCF＝∠NFC， ∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°， ∴∠FCB＝30°； （2）如图所示，连接AN， ∵AB＝AC，∠BAC＝90° ， ∴，∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°， ∴△ADN∽△BDE， ∴， 设DE＝x，则， 在Rt△ABE中，，则， 在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2， ∴， 解得： 或 （舍去）， ∴； （3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ， ∵MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC， ∴∠MNB＝∠MBN＝θ， ∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF， ∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α， ∴∠EBF＝∠EFB＝θ， ∴∠BEF＝180°﹣2θ， ∵点C，E，F在同一直线上， ∴∠BEC＝2θ， ∴∠BEC+∠BAC＝180°， ∴A，B，E，C在同一个圆上， ∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ， ∵∠ABF＝α+θ， ∴∠BAE+∠ABF＝180°， 如图所示，当F在EC上时， ∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC， ∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ， 将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°， ∴∠ABF＝θ﹣β， ∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB， ∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β， ∵， ∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β， ∴∠BAE＝∠ABF， 综上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位 线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌 以上知识是解题的关键． 5．（2023•邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F． （1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°． （2）当为何值时，△AQF是直角三角形？ 【分析】（1）由旋转的性质可得PA＝QA，∠PAQ＝60°，通过证明点A，点P，点E，点Q四点共圆，可得∠PAQ+∠PEQ＝180°，即可得结论； （2）由旋转的性质可得∠PAQ＝60°，AP＝AQ，由角的数量关系可求∠DAP＝30°，∠APD＝90°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°， ∴PA＝QA，∠PAQ＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠AQP＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝60°， ∴∠AQP＝∠AED， ∴点A，点P，点E，点Q四点共圆， ∴∠PAQ+∠PEQ＝180°， ∴∠PEQ＝120°； （2）解：如图， 根据题意：只有当∠AFQ＝90°时，成立， ∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ， ∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠PAQ＝60°， ∵∠AFQ＝90°， ∴∠PAF＝∠QAF＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADP＝∠ABC＝60°， ∴∠DAP＝30°，∠APD＝90°， ∴tan∠ADP＝tan60°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$