专题10 图形的变化（五大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖南专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题10 图形的变化 考点01 投影与视图 1．（2024•湖南）如图，该纸杯的主视图是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•岳阳）下列几何体的主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•衡阳）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•湘西州）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 6．（2023•郴州）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023•永州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2022•湘潭）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 9．（2022•湘西州）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 10．（2022•邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 11．（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 12．（2022•长沙）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 13．（2022•永州）我市江华县有“神州瑶都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（　　） A． B． C． D． 考点02 图形的平移 1．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　） A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7） 2．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•怀化）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．60° C．100° D．120° 4．（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 考点03 图形的对称 1．（2023•湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 2．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3） 3．（2023•益阳）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2022•邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形 7．（2022•湘西州）下列书写的4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2023•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　． 9．（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 　． 10．（2023•湘西州）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CPBP的最小值为 　 　． 11．（2023•娄底）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin∠AFB，则DE＝　 　． 12．（2022•郴州）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 　 　． 13．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 　 　． 14．（2022•永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管； 方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管． （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短； （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）． 满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：1.4，1.7） 考点04 图形的旋转 1．（2024•长沙）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•永州）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•怀化）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•邵阳）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心 C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴 6．（2022•张家界）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A．可回收物 B．其他垃圾 C．有害垃圾 D．厨余垃圾 8．（2022•永州）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（2022•郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 11．（2022•长沙）在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1） 12．（2022•常德）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 13．（2022•娄底）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 14．（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（　　） A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF 15．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　 　． 16．（2023•益阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为 　 　． 17．（2022•永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点．若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为 　 　． 18．（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝　 　． 19．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝　 　． 20．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN． 初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　 　，MN与AC的位置关系是 　 　． 特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF． ①求∠BCF的度数； ②求CD的长． 深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由． 21．（2023•邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F． （1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°． （2）当为何值时，△AQF是直角三角形？ 22．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）． （1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）． 考点05 图形的相似 1．（2024•湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADES△ABC 2．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：1.414，1.732，2.236）（　　） A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 3．（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 4．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　 　． 5．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E． （1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是 　 　（结果保留π）； （2）若，则　 　． 6．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　 　，点A2023的坐标为 　 　． 7．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈　 　DE．（精确到0.001） 8．（2022•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，AB＝8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点（不与点B重合），且OE＝DE． （1）若∠B＝35°，则的长为 　 　（结果保留π）； （2）若AC＝6，则　 　． 9．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　 　，使△ADE∽△ABC． 10．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论： ①△ACD≌△ABD′； ②△ACB∽△ADD′； ③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值． 其中正确的结论有 　 　（填结论对应的应号）． 11．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． （1）证明：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 12．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4． （1）证明：△ABC∽△DEB． （2）求线段BD的长． 13．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB． （1）求证：△ADE≌△A′DG； （2）求证：AF•GB＝AG•FC； （3）若AC＝8，tanA，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长． 14．（2023•湘西州）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F． （1）求证：AE2＝AF•AD； （2）若sin∠ABD，AB＝5，求AD的长． 15．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M． （1）求证：AE2＝EF•EM； （2）若AF＝1，求AE的长； （3）求的值． 16．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长． 17．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F． （1）求证：△AEF∽△DCE； （2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM． ①求AG+GM的最小值； ②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长． 18．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD． （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC． （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明． 19．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD． （1）求证：△AEC∽△DEB； （2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 20．（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E． （1）求证：CE＝CD； （2）若AB＝3，BC，求AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题10 图形的变化 考点01 投影与视图 1．（2024•湖南）如图，该纸杯的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看，可得选项A的图形． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图． 2．（2023•岳阳）下列几何体的主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据球体、正方体、四棱锥、三棱柱的主视图的形状进行判断即可． 【解答】解：球体的主视图是圆，正方体的主视图是正方形，四棱锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是矩形． 故选：A． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力． 3．（2023•张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1． 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图． 4．（2023•衡阳）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 5．（2023•湘西州）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【解答】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C． 【点评】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键． 6．（2023•郴州）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形． 【解答】解：A．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意； B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意； C．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体． 7．（2023•永州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可． 【解答】解：A、主视图和左视图都为矩形，所以A选项不符合题意； B、主视图和左视图都为矩形，所以B选项不符合题意； C、主视图为矩形，左视图也是矩形，所以C选项不符合题意； D、主视图和左视图均为等腰三角形，所以D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图． 8．（2022•湘潭）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图的特点解答即可． 【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意； C、球的主视图是圆，故此选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置． 9．（2022•湘西州）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可． 【解答】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、3、1． 故选：C． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键． 10．（2022•邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图解答． 【解答】解：从圆柱体的上面看到是视图是圆， 则圆柱体的俯视图是圆， 故选：D． 【点评】本题考查的是几何体的三视图，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 11．（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可． 【解答】解：从正面看，可得如图形， 故选：A． 【点评】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形． 12．（2022•长沙）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图是从前往后得到的正投影． 【解答】解：根据主视图的概念，可知选B， 故选：B． 【点评】本题考查三视图的概念，掌握概念是解题的关键． 13．（2022•永州）我市江华县有“神州瑶都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目描述，判断几何体的俯视图即可． 【解答】解：根据长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，可知俯视图中空，两端鼓口为圆形可知俯视图是圆形； 故选：B． 【点评】本题主要考查几何体的三视图中的俯视图，解本题的关键在于需学生具备一定的空间想象能力． 考点02 图形的平移 1．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　） A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7） 【分析】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题． 【解答】解：将点P向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2， 所以点P′的坐标为（3，7）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 2．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的定义逐个判断即可． 【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置， 观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到， A，C，D均不能由图形a通过平移得到， 故选：B． 【点评】本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键． 3．（2023•怀化）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．60° C．100° D．120° 【分析】根据平移直线AB至CD，可得AB∥CD，所以∠BMF＝∠2，根据对顶角相等得∠BMF＝∠1＝60°，所以∠2＝60°． 【解答】解：如图， ∵平移直线AB至CD， ∴AB∥CD， ∴∠BMF＝∠2， ∵∠BMF＝∠1＝60°， ∴∠2＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查了平移的性质和平行线的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和平行线的性质． 4．（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离． 【解答】解：点B平移后对应点是点E． ∴线段BE就是平移距离， ∵已知BC＝5，EC＝2， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3． 故选：C． 【点评】考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点． 考点03 图形的对称 1．（2023•湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 【分析】根据轴对称图形的概念判断． 【解答】解：A、汉字“爱”不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、汉字“我”不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、汉字“中”是轴对称图形，故本选项符合题意； D、汉字“华”不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3） 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键． 3．（2023•益阳）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果． 【解答】解：由轴对称图形定义可知D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 【点评】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形． 4．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5．（2023•长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析． 【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形． 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键． 6．（2022•邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形 【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解． 【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴； B．圆是轴对称图形，有无数条条对称轴； C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴； D．正方形是轴对称图形，有4条对称轴； 故对称轴条数最多的图形是圆． 故选：B． 【点评】此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的意义及对称轴的描述． 7．（2022•湘西州）下列书写的4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 8．（2023•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　． 【分析】根据题意可知点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【解答】解：∵点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称， ∴点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴a＝2，1+b＝0， 解得b＝﹣1， ∴a+b＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查关于x轴对称的两点，属于基础题，明白关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 9．（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 　． 【分析】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD， ∴BC＝AD，AC， 如图所示，当点P在BC上时， ∵AB'＝AB＝2， .∴B'在A为圆心，2为半径的弧上运动， 当A，B'，C三点共线时，CB'最短， 此时CB'＝AC﹣AB'2， 当点P在DC上时，如图所示， 此时CB'2， 当P在AD上时，如图所示，此时CB'2， 综上所述，CB'的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10．（2023•湘西州）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CPBP的最小值为 　 　． 【分析】过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA＝OB＝4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到，进而求出BE＝BO+EO＝6，然后利用CPBP＝CP+PD≥CF代入求解即可． 【解答】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴， ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4， ∴OA＝OB＝4，CF⊥AB， ∴∠OBA＝∠OAB＝30°， ∴， ∵BE⊥AC， ∴， ∴BE＝BO+EO＝6， ∵PD⊥AB，∠ABE＝30°， ∴， ∴CPBP＝CP+PD≥CF ∴的最小值为CF的长度， ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴CF＝BE＝6， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点评】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．（2023•娄底）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin∠AFB，则DE＝　 　． 【分析】由矩形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10，由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE，则sin∠AFB，所以ABAF＝8，BF6，则CD＝AB＝8，CF＝BC﹣BF＝4，由勾股定理得42+（8﹣DE）2＝DE2，求得DE＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝10， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10， 由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE， ∴sin∠AFB， ∴ABAF10＝8， ∴BF6，CD＝AB＝8， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， ∵CF2+CE2＝FE2，且FE＝DE，CE＝8﹣DE， ∴42+（8﹣DE）2＝DE2， 解得DE＝5， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明AF＝AD＝BC＝10并且求出AB的长是解题的关键． 12．（2022•郴州）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 　 　． 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）， 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 13．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 　 　． 【分析】连接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可． 【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ， ∵BQ＝BQ， ∴△ABQ≌△CBQ（SAS）， ∴AQ＝CQ， ∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长， ∵AB＝2，∠ABC＝45°， ∴AH， ∴CQ+PQ的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将CQ+PQ的最小值转化为AH的长是解题的关键． 14．（2022•永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管； 方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管． （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短； （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）． 满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：1.4，1.7） 【分析】（1）分别算出两种方案中铺设水管的总长度，再比较即可得答案； （2）过E作EG⊥AB于G，过F作FH⊥CD于H，由AE＝BE，GE⊥AB，可得AG＝BGAB＝25米＝DH＝CH，∠AEG＝∠BEG∠AEB＝60°＝∠DFH＝∠CFH＝60°，在Rt△AEG中，GE（米），AE（米），故EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50）米，从而可得方案中铺设水管的总长度为5050≈135（米），即知小明的方案中铺设水管的总长度最短． 【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为50×3＝150（米）， 方案二：铺设水管的总长度为2100140（米）， ∵140＜150， ∴方案二铺设水管的总长度更短； （2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下： 如图： ∵AE＝BE，GE⊥AB， ∴AG＝BGAB＝25米，∠AEG＝∠BEG∠AEB＝60°， 同理DH＝CH＝25米，∠DFH＝∠CFH＝60°， 在Rt△AEG中， GE（米），AE（米）， 同理FH米，BE＝CF＝DF＝AE米 ∴EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50）米， ∴方案中铺设水管的总长度为4+505050≈135（米）， ∵135＜140＜150， ∴小明的方案中铺设水管的总长度最短． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系． 考点04 图形的旋转 1．（2024•长沙）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；． 故选：B． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 2．（2023•永州）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3．（2023•怀化）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 4．（2023•邵阳）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由中心对称图形的定义可得出结论． 【解答】解：由中心对称图形可知：A、该图形旋转180°可与原图形重合，故本选项正确； B、C、D中图形旋转180°均未与原图形重合； 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的知识，掌握中心对称图形的概念是关键． 5．（2023•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心 C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴 【分析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意； 线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意； 矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意； 过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查中心对称、矩形的性质、轴对称的性质，熟记矩形即是中心对称图形也是轴对称图形是解答本题的关键． 6．（2022•张家界）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 7．（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A．可回收物 B．其他垃圾 C．有害垃圾 D．厨余垃圾 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 8．（2022•永州）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：①、是中心对称图形，故本选项符合题意； ②、是中心对称图形，故本选项符合题意； ③、是中心对称图形，故本选项符合题意； ④、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 9．（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【解答】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′， ∴BC＝B′C′．故①正确； ②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°， ∴∠BAB′＝50°． ∵∠CAB＝20°， ∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°． ∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°， ∴∠AB′C′＝∠B′AC． ∴AC∥C′B′．故②正确； ③在△BAB′中， AB＝AB′，∠BAB′＝50°， ∴∠AB′B＝∠ABB′（180°﹣50°）＝65°． ∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°． ∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确； ④在△ACC′中， AC＝AC′，∠CAC′＝50°， ∴∠ACC′（180°﹣50°）＝65°． ∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确． ∴①②④这三个结论正确． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小． 10．（2022•郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 11．（2022•长沙）在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可． 【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点（5，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣5，﹣1）． 故选：D． 【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形． 12．（2022•常德）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：∵将图形绕着一点旋转180°后能和它本身重合的图形是中心对称图形， ∴选项B符合上述特征， 故选：B． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，数学常识，准确利用中心对称图形的定义是解题的关键． 13．（2022•娄底）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 14．（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（　　） A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF 【分析】根据等边三角形的判定定理得到△BCE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BE＝BC，判断A选项；证明△ABC≌△CFD，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解直角三角形，用CF分别表示出GF、DF，判断D选项． 【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°， ∴△BCE为等边三角形， ∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意； B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点， ∴ABAC＝CF＝BF， 由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°， ∴∠A＝∠ACD， 在△ABC和△CFD中， ， ∴△ABC≌△CFD（SAS）， ∴DF＝BC＝BE， ∵DE＝AB＝BF， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意； C、∵△ABC≌△CFD， ∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意； D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°， ∴GFCF， 同理可得，DFCF， ∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，正确理解旋转变换的概念是解题的关键． 15．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　 　． 【分析】依据AO为∠BAC的平分线可知，∠BAO＝∠CAO∠BAC＝25°，依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′，∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′代入数据即可得解． 【解答】解：∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAO＝∠CAO∠BAC＝25°， 依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′， ∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 16．（2023•益阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为 　 　． 【分析】先根据正方形的性质得到AD＝AB＝4，∠A＝90°，AE＝2，则利用勾股定理可计算出DE＝2，再根据旋转的性质得到DE＝DF＝2，∠EDF＝90°，然后利用△DEF为等腰直角三角形得到EFDE． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝4，∠A＝90°， ∵E为AB的中点， ∴AE＝2， ∴DE2， ∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF， ∴DE＝DF＝2，∠EDF＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴EFDE22． 故答案为：2． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 17．（2022•永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点．若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为 　 　． 【分析】根据旋转的性质找到旋转后的A点的对应点的位置，即可求解． 【解答】解：线段OA绕原点O顺时针旋转90°如图所示，则A'（2，﹣2）， 则旋转后A点坐标变为：（2，﹣2）， 故答案为：（2，﹣2）． 【点评】本题主要考查旋转中的坐标变化，先画出旋转后的图形是解题的关键． 18．（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝　 　． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案． 【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴a﹣b＝2+3＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键． 19．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝　 　． 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数． 【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数， 得m﹣2＝﹣5， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中． 20．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN． 初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　 　，MN与AC的位置关系是 　 　． 特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF． ①求∠BCF的度数； ②求CD的长． 深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，则MN是△ABC的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：①连接EM，MN，NF，证明△BME是等边三角形，△BNF是等边三角形，得出∠FCB＝30°； ②连接AN，证明△ADN∽△BDE，则 ，设DE＝x，则，在Rt△ABE中，BE＝2，，则，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，勾股定理求得，则； （3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，得出∠BEC+∠BAC＝180°，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，表示∠BAE与∠ABF，即可求解；当F在EC上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°，表示∠BAE 与∠ABF，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴，MN∥AC； 故答案为：MNAC，MN∥AC； （2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF， ∵MN是△BAC的中位线， ∴MN∥AC， ∴∠BMN＝∠BAC＝90°， ∵将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF， ∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°， ∵点A，E，F在同一直线上， ∴∠AEB＝∠BEF＝90°， 在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点， ∴， ∴BM＝ME＝BE， ∴△BME是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°， ∴∠NBF＝60°，BN＝BF， ∴△BNF是等边三角形， 又∵BN＝NC，BN＝NF， ∴NF＝NC， ∴∠NCF＝∠NFC， ∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°， ∴∠FCB＝30°； （2）如图所示，连接AN， ∵AB＝AC，∠BAC＝90° ， ∴，∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°， ∴△ADN∽△BDE， ∴， 设DE＝x，则， 在Rt△ABE中，，则， 在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2， ∴， 解得： 或 （舍去）， ∴； （3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ， ∵MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC， ∴∠MNB＝∠MBN＝θ， ∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF， ∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α， ∴∠EBF＝∠EFB＝θ， ∴∠BEF＝180°﹣2θ， ∵点C，E，F在同一直线上， ∴∠BEC＝2θ， ∴∠BEC+∠BAC＝180°， ∴A，B，E，C在同一个圆上， ∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ， ∵∠ABF＝α+θ， ∴∠BAE+∠ABF＝180°， 如图所示，当F在EC上时， ∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC， ∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ， 将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°， ∴∠ABF＝θ﹣β， ∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB， ∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β， ∵， ∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β， ∴∠BAE＝∠ABF， 综上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位 线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌 以上知识是解题的关键． 21．（2023•邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F． （1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°． （2）当为何值时，△AQF是直角三角形？ 【分析】（1）由旋转的性质可得PA＝QA，∠PAQ＝60°，通过证明点A，点P，点E，点Q四点共圆，可得∠PAQ+∠PEQ＝180°，即可得结论； （2）由旋转的性质可得∠PAQ＝60°，AP＝AQ，由角的数量关系可求∠DAP＝30°，∠APD＝90°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°， ∴PA＝QA，∠PAQ＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠AQP＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝60°， ∴∠AQP＝∠AED， ∴点A，点P，点E，点Q四点共圆， ∴∠PAQ+∠PEQ＝180°， ∴∠PEQ＝120°； （2）解：如图， 根据题意：只有当∠AFQ＝90°时，成立， ∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ， ∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠PAQ＝60°， ∵∠AFQ＝90°， ∴∠PAF＝∠QAF＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADP＝∠ABC＝60°， ∴∠DAP＝30°，∠APD＝90°， ∴tan∠ADP＝tan60°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）． （1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，O，B的对应点A1，O1，B1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，O，B的对应点A2，O2，B2即可； （3）利用弧长公式求解． 【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求； （2）如图，△A2O2B2即为所求； （3）在Rt△AOB中，， ∴． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 考点05 图形的相似 1．（2024•湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADES△ABC 【分析】根据题中所给条件可得出△ADE与△ABC相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE． 故A、C选项不符合题意． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． 故B选项不符合题意． ∵△ADE∽△ABC， ∴， 则． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：1.414，1.732，2.236）（　　） A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【解答】解：设下部的高度为x m，则上部高度是（2﹣x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴， 解得x1或x1（舍去）， 经检验，x1是原方程的解， ∴x1≈1.24， 故选：B． 【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 3．（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC． 故选：D． 【点评】本题主要考查的相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． 4．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　 　． 【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，由旋转的性质得到 ∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC10． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． ∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 5．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E． （1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是 　 　（结果保留π）； （2）若，则　 　． 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出的长； （2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，连接OC， ∵∠A＝30°，AB＝6， ∴∠BOC＝60°，OB＝3， ∴的长π； 故答案为：π； （2）如图，连接OC， ∵点C为的中点， ∴， ∴OC⊥BD， 又∵EC是⊙O的切线， ∴OC⊥EC， ∴EC∥BD， ∵， ∴， 设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OCx，EOx，AE＝4x， ∴EC2x， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键． 6．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　 　，点A2023的坐标为 　 　． 【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题． 【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n， ∴△A2023OB2023的边长为22023， ∵2023÷6＝337…1， ∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022）． 故答案为：22023，（22022，﹣22022）． 【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型—点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 7．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈　 　DE．（精确到0.001） 【分析】根据黄金分割的定义可得0.618，再根据题意可得EG＝AE，即可解答． 【解答】解：∵点E是AD的黄金分割点，且DE≈0.618AD， ∴0.618， 由题意得： EG＝AE， ∴0.618， ∴EG≈0.618DE， 故答案为：0.618． 【点评】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 8．（2022•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，AB＝8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点（不与点B重合），且OE＝DE． （1）若∠B＝35°，则的长为 　 　（结果保留π）； （2）若AC＝6，则　 　． 【分析】（1）利用弧长公式求解； （2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论． 【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠ABD＝70°， ∴的长， 故答案为：． （2）连接AD． ∵AC是切线，AB是直径， ∴AB⊥AC， ∴BC10， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥CB， ∴•AB•AC•BC•AD， ∴AD， ∴BD， ∵OB＝OD，EO＝ED， ∴∠EDO＝∠EOD＝∠B， ∴△DOE∽△DBO， ∴， ∴， ∴DE， ∴BE＝BD﹣DE， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　 　，使△ADE∽△ABC． 【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可． 【解答】解：∵∠A＝∠A， ∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或时，△ADE∽△ABC， 故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或（答案不唯一）． 【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键． 10．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论： ①△ACD≌△ABD′； ②△ACB∽△ADD′； ③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值． 其中正确的结论有 　 　（填结论对应的应号）． 【分析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，即可根据SAS判断△ACD≌△ABD′；根据∠BAC＝∠D′AD＝θ，，即可判断△ACB∽△ADD′；由△ACB∽△ADD′，得出（）2，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD＝CD，则AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值． 【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′， ∴△ACD≌△ABD′，故①正确； ∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ， ∴， ∴△ACB∽△ADD′，故②正确； ∵△ACB∽△ADD′， ∴（）2， ∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值． 而AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短以及等腰三角形三线合一的性质，三角形掌握这些性质是解题的关键． 11．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． （1）证明：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA； （2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长． 【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠BDA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC， 又∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA； （2）解：由（1）知△ABD∽△CBA， ∴， ∴， ∴BD＝3.6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 12．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4． （1）证明：△ABC∽△DEB． （2）求线段BD的长． 【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论； （2）根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°， ∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°， ∴∠C＝∠DBE， ∴△ABC∽△DEB； （2）解：∵△ABC∽△DEB， ∴， ∴， ∴BD＝3． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键． 13．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB． （1）求证：△ADE≌△A′DG； （2）求证：AF•GB＝AG•FC； （3）若AC＝8，tanA，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长． 【分析】（1）利用ASA证明； （2）要证AF•GB＝AG•FC，也就是证明△FAC∽△GAB，但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明△AFG∽△ACB即可． （3）设DE＝DG＝x，利用S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE建立方程求解． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠AGA'＝90°，∠A'+∠AGA'＝90°， ∴∠A＝∠A'， ∵AD＝A'D，∠ADE＝∠A'DG＝90°， ∴△ADE≌△A′DG（ASA）； （2）证明：∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠FAG＝∠CAB， ∴△AFG∽△ACB， ∴， ∴， ∵∠FAC＝∠GAB， ∴△FAC∽△GAB， ∴， ∴AF•GB＝AG•FC； （3）解：∵tanA，AC＝8， ∴BC＝4， ∴S△ACB＝16， 设DE＝DG＝x，则AD＝A'D＝2x，AE＝A'Gx， ∴A'E＝A'D﹣DE＝2x﹣x＝x， ∴S△ADE＝S△A′DG＝x2， ∵△A'FE∽△A'DG， ∴， ∴S△A'FE：S△A'DG＝1：5， ∴S四边形DGFES△A'DGx2， ∵S△ACB＝S△ADE+S四边形DCBE，A′G平分四边形DCBE的面积， ∴S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE， ∴16＝x2x2， x2 ∴x1，x2（舍）， ∴AD． 【点评】本题考查了三角形全等和相似，对应（3），设DE＝DG＝x，利用什么等量关系建立方程是关键． 14．（2023•湘西州）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F． （1）求证：AE2＝AF•AD； （2）若sin∠ABD，AB＝5，求AD的长． 【分析】（1）由EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径，得∠AHE＝∠AEC＝90°，而∠HAE＝∠EAC，所以△HAE∽△EAC，则，于是得AE2＝AH•AC，再证明△AHF∽△ADC，得，则AH•AC＝AF•AD，所以AE2＝AF•AD； （2）连接BC，因为∠ADB＝∠CDB，所以，则AB＝BC＝5，由勾股定理得AC5，而∠ACD＝∠ABD，则sin∠ACD＝sin∠ABD，所以ADAC＝2． 【解答】（1）证明：∵EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径， ∴∠AHE＝∠AEC＝90°， ∵∠HAE＝∠EAC， ∴△HAE∽△EAC， ∴， ∴AE2＝AH•AC， ∵∠HAF＝∠DAC，∠AHF＝∠ADC＝90°， ∴△AHF∽△ADC， ∴， ∴AH•AC＝AF•AD， ∴AE2＝AF•AD． （2）解：连接BC， ∵∠ADC的平分线交⊙O于点B， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴， ∴AB＝BC＝5， ∵∠ABC＝90°， ∴AC5， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴sin∠ACD＝sin∠ABD， ∴ADAC52， ∴AD的长是2． 【点评】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M． （1）求证：AE2＝EF•EM； （2）若AF＝1，求AE的长； （3）求的值． 【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x， 最后利用（1）的结论可得：AE2＝EF•EM，从而可得x2＝1•（1﹣x），进行计算即可解答； （3）连接BE，CE，根据正五边形的性质可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，从而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，从而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，从而可证利用ASA可证△FAE≌△EBC，再利用（2）的结论可得：，从而可得，进而可得，最后设△ABE的面积为（1）k，则△AEF的面积为2k，从而可得△ABE的面积＝△DEC的面积＝（1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，进而可求出五边形ABCDE的面积＝2k，再进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝∠AED＝108°， ∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°， ∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°， ∵AM平分∠FAE， ∴∠FAM＝∠MAE∠FAE＝36°， ∴∠F＝∠MAE， ∵∠AEM＝∠AEF， ∴△AEM∽△FEA， ∴， ∴AE2＝EF•EM； （2）解：设AE＝x， 由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°， ∴FM＝AM， 由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°， ∴FA＝FE＝1， ∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°， ∴∠AME＝∠AEF＝72°， ∴AM＝AE， ∴AM＝AE＝FM＝x， ∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x， 由（1）可得：AE2＝EF•EM， ∴x2＝1•（1﹣x）， 解得：x或x（舍去）， ∴AE， ∴AE的长为； （3）连接BE，CE， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°， ∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°， 由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°， ∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB， ∴△FAE≌△EBC（ASA）， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴设△ABE的面积为（1）k，则△AEF的面积为2k， ∴△ABE的面积＝△DEC的面积＝（1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k， ∴五边形ABCDE的面积＝△ABE的面积+△DCE的面积+△BCE的面积＝2k， ∴， ∴的值为． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长． 【分析】（1）连接OD，证明△BOC≌△DOC根据全等三角形的性质得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）过点D作DH⊥BC于H，根据勾股定理求出ED，根据矩形的性质、勾股定理求出BC，再根据相似三角形的性质求出EF． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AD∥OC， ∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠BOC＝∠DOC， 在△BOC和△DOC中， ， ∴△BOC≌△DOC（SAS）， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过点D作DH⊥BC于H， ∵ED∥BC， ∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°， 则四边形EBHD为矩形， ∴BH＝ED，DH＝BE＝7， ∵AB＝8，AE＝1， ∴OE＝3， ∴ED， ∵CB、CD是⊙O的切线 ∴CB＝CD， 设CB＝CD＝x，则CH＝x， 在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即72+（x）2＝x2， 解得：x＝4，即BC＝4， ∵ED∥BC， ∴，即， 解得：EF． 【点评】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 17．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F． （1）求证：△AEF∽△DCE； （2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM． ①求AG+GM的最小值； ②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长． 【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出∠DCE＝∠AEF，根据相似三角形的判定可得出结论； （2）①连接AM，由直角三角形的性质得出MB＝CM＝GM，则点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，由勾股定理求出AM＝5，则可得出答案； ②方法一：过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，由相似三角形的性质得出，设AF＝x，则BF＝4﹣x，得出MNBF（4+x），证明△AFG∽△MNG，得出比例线段，列出方程，解得x＝1，求出AF＝1，由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，得出方程，解得y＝3或y＝3，则可得出答案． 方法二：过点G作GH∥AB交BC于点H，证明△MHG∽△MBA，由相似三角形的性质得出，求出GH，MH，证明△CHG∽△CBF，得出，求出FB＝3，则可得出AF＝1，后同方法一可求出DE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠CED+∠DCE＝90°， ∵EF⊥CE， ∴∠CED+∠AEF＝90°， ∴∠DCE＝∠AEF， ∴△AEF∽△DCE； （2）解：①连接AM，如图2， ∵BG⊥CF， ∴△BGC是直角三角形， ∵点M是BC的中点， ∴MB＝CM＝GM， ∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上， 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM， 当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM， 此时，AG+GM取得最小值， 在Rt△ABM中，AM5， ∴AG+GM的最小值为5． ②方法一： 如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N， ∴△CMN∽△CBF， ∴， 设AF＝x，则BF＝4﹣x， ∴MNBF（4﹣x）， ∵MN∥AB， ∴△AFG∽△MNG， ∴， 由（2）可知AG+GM的最小值为5， 即AM＝5， 又∵GM＝3， ∴AG＝2， ∴， 解得x＝1， 即AF＝1， 由（1）得， 设DE＝y，则AE＝6﹣y， ∴， 解得：y＝3或y＝3， ∵06，0＜36， ∴DE＝3或DE＝3． 方法二： 如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H， ∴△MHG∽△MBA， ∴， 由（2）可知AG+MG的最小值为5， 即AM＝5， 又∵GM＝3， ∴， ∴GH，MH， 由GH∥AB得△CHG∽△CBF， ∴， 即， 解得FB＝3， ∴AF＝AB﹣FB＝1． 由（1）得， 设DE＝y，则AE＝6﹣y， ∴， 解得：y＝3或y＝3， ∵06，0＜36， ∴DE＝3或DE＝3． 【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD． （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC． （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明． 【分析】（1）连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．证明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出，可得结论； （2）过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．证明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出，可得结论． 【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝45°， ∴∠AFB＝∠BAF＝45°， ∴BA＝BF， ∵BE＝CF， ∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD， ∵AG＝AG， ∴△EAG≌△DAG（SAS）， ∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG， ∵AD∥FC，AG＝GF， ∴DJ＝JC， ∵GJ⊥CD， ∴GD＝GC， ∴∠GDC＝∠GCD， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠ADG＝∠GCO， ∴∠OEB＝∠OCG， ∵∠BOE＝∠GOC， ∴△OBE∽△OGC， ∴， ∵GC＝GD，BE＝CF， ∴BO•GD＝GO•FC； （2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AFB， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAG＝∠BAF， ∴BAF＝∠AFB， ∴AB＝BF， ∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD， ∵AG＝AG， ∴△EAG≌△DAG（SAS）， ∴∠AEG＝∠ADG， ∵AD∥FT，AG＝GF， ∴DJ＝JT， ∵GJ⊥DT， ∴GD＝GT， ∴∠GDT＝∠GTD， ∵∠ADT＝∠BTD＝90°， ∴∠ADG＝∠GTO， ∴∠OEB＝∠OTG， ∵∠BOE＝∠GOT， ∴△OBE∽△OGT， ∴， ∵GT＝GD，BE＝CF， ∴BO•GD＝GO•FC． 解法二：延长EG交AD于点M，在DM上取一点N，使得GN＝GM． 证明△OGF≌△MGA，推出GM＝OG＝GN，∠AMG＝∠GOF， 再证明△BOE∽△GDN，可得结论． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 19．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD． （1）求证：△AEC∽△DEB； （2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立； （2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB， ∴△AEC∽△DEB； （2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°， ∴∠B＝30°， ∵AB是⊙O的直径，AD＝3， ∴∠ADB＝90°， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3． 【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E． （1）求证：CE＝CD； （2）若AB＝3，BC，求AD的长． 【分析】（1）连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理； （2）通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠ACE＝90°， 又∵点C是的中点 ∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB， 又∵AC＝AC ∴△ACE≌△ACB（ASA）， ∴CE＝CB， ∴CE＝CD； （2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3， ∴AE＝AB＝3， 又∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE， 又∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴， 即：， 解得：DE＝2， ∴AD＝AE﹣DE＝1． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$