广东省清远市华侨中学2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（三）平面向量

清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 2023—2024学年度第二学期高一数学暑假作业（三）平面向量 班别：____________ 姓名：_____________ 座号：__________ 得分：________ A组基础巩固 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 向量就是有向线段 C. 只有零向量的模长等于0 D. 单位向量都相等 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与共线，与共线，则与也共线 B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C. 向量与不共线，则与都是非零向量 D. 有相同起点的两个非零向量不平行 3.如图所示，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 5.已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能构成平面内所有向量的一个基底的一组是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 二、多选题 7.对于非零向量，，下列命题正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C.  若，则 D. 若，则 8.已知向量，，，则下列说法正确的有(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 在上的投影向量为 三、填空题 9.已知平面向量，，若，则________． 10.设，，分别为三个内角，，的对边，已知，，，则           ． 四、解答题 11.已知向量，． 若，求若，求与的夹角． 12.已知向量，且与的夹角为． 求证：； 若与的夹角为，求的值． 13.如图，在中，，，，，分别为边，的中点． （1）求向量的模长 （2）求． B组能力提升 一、单选题 1. 已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 二、多选题 3.若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 三、填空题 4.在边长为的等边三角形中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是________． 四、解答题 5.在直角坐标系中，已知向量，，其中，为坐标平面内一点． 若，，三点共线，求的值 若向量与的夹角为，求的值 若四边形为矩形，求点坐标． 6.如图，在中，为线段上一点，且． 若，求，的值； 若，，，且与的夹角为，求的值． C组知识拓展 1.如图，已知是边长为的正三角形，在边上，且，为线段上一点． 若，求实数的值； 求的最小值； 当的重心在直线上时，求的余弦值． 2023—2024学年度第二学期高一数学暑假作业（三）参考答案 A组基础巩固 1. 【解析】零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模长等于0，故C选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误. 故选：. 2. 【解析】对于A： 可能是零向量，故选项A错误；对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．故选：C. 3.【解析】． 故选：． 4.【解析】，，，所以向量在向量方向上的投影向量为，选A 5.【解析】向量 与 的夹角为，且  ， ，可得      ， 则     ． 6.【解析】因为是平面内所有向量的一个基底，则不共线，对于选项A，若与共线，则，所以，无解，所以与不共线，可以构成平面内所有向量的一个基底，故A错误；对于选项B，因为，所以 和共线，不能构成平面内所有向量的一个基底，故B正确；对于选项C，若与共线，则，所以，无解，所以与不共线，可以构成平面内所有向量的一个基底，故C错误；对于选项D，若与共线，则，可得，无解，所以与不共线，可以构成平面内所有向量的一个基底，故D错误．故选：． 7.【解析】选项，对于非零向量，，若，则，故A错误；选项，     ，故B正确；选项，因为    ，则可得 ，所以 或 或 ，故C错误；选项，若，即有， 故有，故D正确．故选BD． 8.【解析】选项A， ，选项错误；选项B，由于，则，，若， 则，解得 ，选项正确； 选项C， 与 的夹角为钝角，则 ，且两个向量不能反向共线，即 且，选项错误；选项D，，所以在上的投影向量为，选项正确．故选：． 9.【解析】平面向量，，且，，解得，，则． 10.【解析】由余弦定理可得， 则．故答案为：． 11、【解析】，因为， 所以，解得，所以，． 因为，所以，即，即， 解得，所以．， ，， 因为，，所以与的夹角为．  12、【解析】证明：因为，与的夹角为， 所以， 所以， 所以． 由可知，因为， 所以， ， 又， 因为与的夹角为，所以， 即，且， 化简得，解得或舍，所以的值为． 13、【解析】Ⅰ为的中点，， ， 向量的模长为． Ⅱ ．  B组能力提升 1. 【解析】如图，由知O为BC的中点， 又∵O为的外接圆圆心， ， ，为正三角形，， 在上的投影向量为. 故选：A. 2. 【解析】，则点O到的三个顶点距离相等，O是的外心. ，，设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心. ，. 即， 同理由，可得. 所以P是的垂心. 故选：C. 【点睛】关于四心的向量关系式： O是的外心； O是的重心； O是的垂心； O是的内心.(其中 为的三边) 3.【解析】对于，，则，解得 则，，显然不存在实数，使，即，不共线， A错误； 对于，，则解得，即，， ，则与同向的单位向量为， B正确； 对于，当时，，又与的夹角为锐角，则 解得，且，即， C正确； 对于，由，得，即， 则， 当且仅当，即时取等号， D正确．故选：． 4. 【解析】画出图形如图所示，以，分别为，轴建立平面直角坐标系，故设，所以． 5. 根据二次函数的性质可知，当或时，取得最大值， 当时，取得最小值，为， 故的取值范围是 5.【解析】因为向量，，， 所以，，因为，，三点共线， 所以，则，得：． 由知，，又因向量与的夹角为． 所以，解得：． 设点坐标为，因为四边形为矩形，所以即：所以解得： 即点坐标为．  6.【解析】若，则，故． 若，则， ． C组知识拓展 1.【解析】以中点为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立直角坐标系，如图所示，则，由于为线段上一点，设， ，即，可得，即 因此，则，， ，， 由可得 即，解得； 由知，， 则 ，， 故当时，的最小值为； 由可知，， 因为为正三角形，且为其中线，因此， 即，解出， 此时，， 在中，利用余弦定理知 ， 则的余弦值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 1 2023—2024 学年度第二学期高一数学暑假作业（三）平面向量 班别：____________ 姓名：_____________ 座号：__________ 得分：________ A 组基础巩固 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 向量就是有向线段 C. 只有零向量的模长等于 0 D. 单位向量都相等 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量 a  与b  共线，b  与 c  共线，则 a  与 c  也共线 B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C. 向量 a  与b  不共线，则 a  与b  都是非零向量 D. 有相同起点的两个非零向量不平行 3.如图所示，�� = 2��，�� = 4�� ，则�� =( ) A. 34�� + 58�� B. 23�� + 35�� C. 34�� + 78�� D. 34�� + 56�� 4.已知平面向量� = (5,0)，� = (2,− 1)，则向量� − � 在向量� 上的投影向量为( ) A. (2,− 1) B. (5,0) C. ( 45 ,− 2 5 ) D. (4, − 2) 5.已知向量� 与� 的夹角为30∘，|� | = 3，|� | = 2，则|� − � | =( ) A. 1 B. 2− 3 C. 2 + 3 D. 13 6.已知{�1 ､�2 }是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能构成平面内所有向量的一个基 底的一组是( ) A. �1 + �2 和�1 − 2�2 B. �1 − 2�2 和 2�1 − 4�2 C. �1 − 2�2 和�1 + 2�2 D. �1 + �2 和�1 + 2�2 二、多选题 7.对于非零向量� ，� ，下列命题正确的是( ) A. 若� ⋅ � = 0，则� /​ /� B. 若� ⊥ � ，则� ⋅ � = (� ⋅ � )2 C. 若� ⋅ � = � ⋅ �，则� = � D. 若|� − � | = |� + � |，则� ⋅ � = 0 8.已知向量� = (1,2)，� = ( − 4, �)，� = (1,0)，则下列说法正确的有( ) A. 若� /​ /� ，则� = 8 B. 若|� + � | = |� − � |，则� = 2 C. 若� 与� 的夹角为钝角，则� < 2 D. � 在�上的投影向量为� 三、填空题 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 2 9.已知平面向量� = ( − 1, �)，� = (2,1)，若� ⊥ � ，则|� + � | =________． 10.设�，�，�分别为△ ���三个内角�，�，�的对边，已知� = 5，� = 6，� = 7，则�� ·�� = ． 四、解答题 11.已知向量� = (2,3)，� = (1, �)． (1)若� //(� − � )，求|� |; (2)若� ⊥ (� + � )，求� 与� 的夹角． 12.已知向量� 1, � 2，且 � 1 = � 2 = 1, � 1与� 2的夹角为 � 3 ,� = �� 1 + � 2, � = 3� 1 − 2� 2． (1)求证：(2� 1 − � 2 ⊥ � 2； (2)若� 与� 的夹角为 � 3，求�的值． 13.如图，在△ ���中，�� = 10，�� = 4，∠��� = �3，�，�分别为边��，��的中点． （1）求向量�� 的模长; （2）求�� ⋅ �� ． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 3 B 组能力提升 一、单选题 1. 已知 ABC 的外接圆圆心为 O,且 2 ,AO AB AC OA AB        ,则向量BA  在向量BC  上的投影 向量为（ ） A. 1 4 BC  B. 3 4 BC  C. 1 4 BC  D. 3 4 BC  2. 已知点 O、N、P在 ABC 所在平面内，且 | | | | | |OA OB OC     ， 0NA NB NC       ， PAPCPBPBPBPA  ，则点 O、N、P依次是 ABC 的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 二、多选题 3.若平面向量� = �, 2 ，� = 1,�− 1 ，其中�，� ∈ �，则下列说法正确的是( ) A. 若 2� + � = 2,6 ，则� //� B. 若� =− 2� ，则与� 同向的单位向量为( 22 ,− 2 2 ) C. 若� = 1，且� 与� 的夹角为锐角，则实数�的取值范围为( 12 , 3) ∪ (3, +∞) D. 若� → ⊥ � → ，则� = 2� + 4�的最小值为 4 三、填空题 4.在边长为 2的等边三角形���中，�是��的中点，点�是线段��上一动点，则�� ⋅ �� 的取值范围 是________． 四、解答题 5.在直角坐标系���中，已知向量�� = (1, − 1)，�� = (3,1)，�� = (�,3)(其中� ∈ �)，�为坐标 平面内一点． (1)若�，�，�三点共线，求�的值; (2)若向量��与�� 的夹角为�4，求�的值; (3)若四边形����为矩形，求�点坐标． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 4 6.如图，在△���中，�为线段��上一点，且�� = ��� + ���． (1)若�� = ��，求�，�的值； (2)若�� = 3��，|�� | = 4，|�� | = 2，且��与��的夹角为 60°，求�� ·��的值． C 组知识拓展 1.如图，已知△ ���是边长为 2的正三角形，�在边��上，且 3�� = ��，�为线段��上一点． (1)若�� = ��� + 115�� ，求实数�的值； (2)求�� ⋅ ��的最小值； (3)当△ ���的重心在直线��上时，求 的余弦值． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 5 2023—2024 学年度第二学期高一数学暑假作业（三）参考答案 A 组基础巩固 1. 【解析】零向量的方向是任意的，故 A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等 同，故 B选项错误；只有零向量的模长等于 0，故 C选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方 向不同，则不是相等向量，故 D选项错误. 故选：C . 2. 【解析】对于 A： b  可能是零向量，故选项 A错误；对于 B：两个向量可能在同一条直线上， 故选项 B错误；对于 C：因为0  与任何向量都是共线向量，所以选项 C正确；对于 D：平行向量可 能在同一条直线上，故选项 D错误．故选：C. 3.【解析】�� = �� + �� + �� = �� + 12�� + 14�� = �� + 12�� + 14 (�� + �� + �� ) = 34�� + 58�� ． 故选：�． 4.【解析】� − � = (3,1)，(� − � ) ⋅ � = 5，|� | = 22 + ( − 1)2 = 5，所以向量� − � 在向量� 方向上 的投影向量为 (� −� )·� |� |2 � = � = (2,− 1)，选 A 5.【解析】向量 � 与 � 的夹角为 30°，且| � | = 3，| � | = 2，可得 � · � = | � || � |���30° = 3 × 2 × 32 = 3， 则| � − � | = (� − � )2 = � 2 + � 2 − 2� ⋅ � = 3 + 4 − 2 × 3 = 1． 6.【解析】因为{�1 ､�2 }是平面内所有向量的一个基底，则�1 ､�2 不共线，对于选项 A，若�1 + �2 与�1 − 2�2 共线，则�1 + �2 = � �1 − 2�2 = ��1 − 2��2 ，所以 1 = � 1 =− 2�，无解，所以�1 + �2 与�1 − 2�2 不共线， 可以构成平面内所有向量的一个基底，故 A错误；对于选项 B，因为 2�1 − 4�2 = 2 �1 − 2�2 ，所以 �1 − 2�2 和 2�1 − 4�2 共线，不能构成平面内所有向量的一个基底，故 B正确；对于选项 C，若�1 − 2�2 与�1 + 2�2 共线，则�1 − 2�2 = � �1 + 2�2 = ��1 + 2��2 ，所以 1 = � −2 = 2�，无解，所以�1 − 2�2 与�1 + 2�2 不共 线，可以构成平面内所有向量的一个基底，故 C错误；对于选项 D，若�1 + �2 与�1 + 2�2 共线，则�1 + �2 = � �1 + 2�2 = ��1 + 2��2 ，可得 1 = � 1 = 2�，无解，所以�1 + �2 与�1 + 2�2 不共线，可以构成平面内 所有向量的一个基底，故 D错误．故选：�． 7.【解析】�选项，对于非零向量� ，� ，若� ⋅ � = 0，则� ⊥ � ，故 A错误；�选项，� ⊥ � ⇒ � · � = 0 = (� ⋅ � )2 = (0) 2，故 B正确；�选项，因为 � · � = � · �，则可得 (� − � )·� = 0，所以 � = � 或 � = 0 或 (� − � ) ⊥ �，故 C错误；�选项，若|� − � | = |� + � |，即有|� |² + |� |² − 2� ⋅ � = |� |² + |� |² + 2� ⋅ � ， 故有� ⋅ � = 0，故 D正确．故选 BD． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 6 8.【解析】选项 A，� //� ⇔ 1 ⋅ � = 2 × −4 ⇔ � =− 8，�选项错误；选项 B，由于� + � = −3,2 + � , � − � = 5,2− � ，则|� + � | = (� + 2)2 + 9， � − � = 52 + 2− � 2，若|� + � | = |� − � |， 则 (2− �)2 + 25 = (� + 2)2 + 9，解得 � = 2，�选项正确；选项 C，� 与 � 的夹角为钝角，则 � ⋅ � = 2� − 4 < 0， 且 两 个 向 量 不 能 反 向 共 线 ， 即 � < 2 且 � ≠− 8， �选 项 错 误 ； 选 项 D， ，所以� 在�上的投影向量为� ·�� · � � = �，�选项正确．故选：��． 9.【解析】∵平面向量� = ( − 1,�)，� = (2,1)，且� ⊥ � ，∴ � ⋅ � =− 2 + � = 0，解得� = 2，∴ � + � = ( − 1,3)，则|� + � | = (− 1)2 + 32 = 10． 10.【解析】由余弦定理可得���� = � 2+�2−�2 2�� = 25+49−36 2×5×7 = 19 35 ， 则�� ⋅ �� = �·����(� − �) = 5 × 7 × (− 1935 ) =− 19．故答案为：−19． 11、【解析】(1)� − � = (1,3− �)，因为� //(� − � )， 所以 2(3 − �) − 3 × 1 = 0，解得� = 32，所以� = (1, 32 )，|� | = 132 ． (2)因为� ⊥ (� + � )，所以� ·(� + � ) = 0，即� 2 + � ⋅ � = 0，即22 + 32 + 2 × 1 + 3� = 0， 解得� =− 5，所以� = (1,− 5)．� ⋅ � = 2 × 1 + 3 × ( − 5) =− 13， cos < � ，� >= � ⋅� |� ||� | = −13 22+32× 12+ −5 2 =− 22 ， 因为< � ，� → >∈ [0,�]，所以� 与� 的夹角为3�4． 12、【解析】(1)证明：因为|� 1| = |� 2| = 1，� 1与� 2的夹角为 � 3， 所以� 1 ⋅ � 2 = |� 1||� 2|cos  � 1, � 2 = 1 × 1 × cos  � 3 = 1 2， 所以 2� 1 − � 2 ⋅ � 2 = 2� 1 ⋅ � 2 − � 2 2 = 2 × 12 − 1 2 = 0， 所以 2� 1 − � 2 ⊥ � 2． (2)由(1)可知� 1 ⋅ � 2 = 1 2，因为 � 1 = � 2 = 1， 所以|� | = (�� 1 + � 2)2 = �2� 1 2 + 2�� 1 ⋅ � 2 + � 2 2 = �2 × 12 + 2� × 12 + 1 2 = �2 + � + 1， |� | = (3� 1 − 2� 2)2 = 9� 1 2 − 12� 1 ⋅ � 2 + 4� 2 2 = 9 × 12 − 12 × 12 + 4 × 1 2 = 7， 又� ⋅ � = (�� 1 + �2 ) ⋅ (3� 1 − 2�2 ) = 3�� 1 2 + (3 − 2�)� 1 ⋅ � 2 − 2� 2 2 = 2� − 12， 因为� 与� 的夹角为�3，所以 cos � , � = � ⋅� � � = 2�−12 7 �2+�+1 = 12 > 0， 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 7 即(4� − 1)2 = 7 �2 + � + 1 ，且� > 14， 化简得 3�2 − 5� − 2 = 3� + 1 � − 2 = 0，解得� = 2或� =− 13 (舍)，所以�的值为 2． 13、【解析】(Ⅰ) ∵ �为��的中点，∴ �� = �� − �� = 12�� − �� ， ∴ �� 2 = ( 1 2�� − �� )2 = 1 4�� 2 + �� 2 − �� ⋅ �� = 1 4�� 2 + �� 2 − |�� | ⋅ |�� |cos � 3 = 14 × 4 2 + 102 − 4 × 10 × 12 = 84， ∴向量�� 的模长为|�� | = 2 21． (Ⅱ)�� ⋅ �� = ( 12�� − �� ) ⋅ ( 12�� − �� ) = 54�� ⋅ �� − 12�� 2 − 12�� 2 = 54 |�� | ⋅ |�� |cos �3 − 1 2 |�� |2 − 12 |�� |2 = 54 × 4 × 10 × 1 2− 1 2 × 4 2 − 12 × 10 2 =− 33． B 组能力提升 1. 【解析】如图，由 2AO AB AC     知 O为 BC的中点， 又∵O为 ABC 的外接圆圆心， OA OB OC   ， | | | |OA AB    ， AB OB OA OC    ABO 为正三角形， 60ABO   ， BA  在 BC  上的投影向量为 1 1 2 4 BO BC   . 故选：A. 2. 【解析】 | | | | | |OA OB OC      ，则点 O到 ABC 的三个顶点距离相等，O是 ABC 的外心. 0NA NB NC        ， NA NB NC       ，设线段 AB的中点为 M，则 2NM NC    ，由此可知 N为 AB边上中线的三等分点(靠近中点 M)，所以 N是 ABC 的重心. PA PB PB PC        ， ( ) 0PB PA PC PB CA           . 即 PB CA   ， 同理由 PB PC PC PA       ，可得 PC AB   . 所以 P是 ABC 的垂心. 故选：C. 【点睛】关于 ABC 四心的向量关系式： O是 ABC 的外心 | | | | | |OA OB OC      2 2 2 OA OB OC      ； O是 ABC 的重心 0OA OB OC        ； O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA            ； O是 ABC 的内心 0aOA bOB cOC        .(其中 a b c、 、 为 ABC 的三边) 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 8 3.【解析】对于�，2� + � = 2� + 1,3 + � = 2,6 ，则 2� + 1 = 23 + � = 6，解得 � = 3 � = 12 , 则� = ( 12 , 2)，� = 1,2 ，显然不存在实数�，使� = �� ，即� ，� 不共线， A错误； 对于�，� =− 2� ，则 � =− 22 =− 2(�− 1) ,解得 � = 0 � =− 2，即� = −2,2 ，� = 1,− 1 ， � = 12 + −1 2 = 2，则与� 同向的单位向量为 � |� | = ( 22 , − 2 2 )， B正确； 对于�，当� = 1时，� = 1,2 ，又� 与� 的夹角为锐角，则 � ⋅ � = 1 × 1 + 2·(�− 1) > 0 �− 1 ≠ 2 , 解得� > 12，且� ≠ 3，即� ∈ ( 1 2 , 3) ∪ (3, +∞)， C正确； 对于�，由� ⊥ � ，得� ⋅ � = � + 2 �− 1 = 2� + � − 2 = 0，即 2� + � = 2， 则� = 2� + 4� = 2� + 22� ≥ 2 2� ⋅ 22� = 2 22�+� = 2 22 = 4， 当且仅当2� = 22�，即� = 2� = 1时取等号， D正确．故选：���． 4. 【解析】画出图形如图所示，以��，��分别为�，�轴建立平面直角坐标系，故� 0, 3 ,� 1,0 . 设� 0, � � ∈ 0, 3 ，所以�� ⋅ �� = 0, � − 3 ⋅ −1, � = �2 − 3�． 5. 根据二次函数的性质可知，当� = 0或� = 3时，�� ⋅ �� 取得最大值 0， 当� = 32 时，�� ⋅ �� 取得最小值，为 32 2 − 3 × 32 =− 3 4， 故�� ⋅ �� 的取值范围是 − 34 , 0 . 5.【解析】(1)因为向量�� = (1, − 1)，�� = (3,1)，�� = (�, 3)， 所以�� = �� − �� = (2,2)，�� = �� − �� = (�− 1,4)，因为�，�，�三点共线， 所以�� //�� ，则 2 × 4− (�− 1) × 2 = 0，得：� = 5． (2)由(1)知�� = (2,2)，�� = (�− 1,4)，又因向量��与�� 的夹角为�4． 所以 cos �4 = �� ⋅�� |�� |×|�� | = 2×(�−1)+2×4 2 2× (�−1)2+42 = 22 ，解得：� = 1． (3)设�点坐标为(�, �)，因为四边形����为矩形，所以{�� → = �� → , �� → ⊥ �� → , 即： (2,2) = (�− �, 3 − �), (2,2) ⋅ (� − 1,� + 1) = 0,所以 2 = �− �, 2 = 3 − �, 2 × (� − 1) + 2(� + 1) = 0, 解得： � =− 1, � = 1, 即�点坐标为( − 1,1)． 6.【解析】(1)若�� = ��，则�� = 12�� + 12�� ，故� = � = 12． (2)若�� = 3��，则�� = 14�� + 34�� ， 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 9 �� ·�� = 1 4�� + 3 4�� · �� − �� =− 1 4�� 2 − 1 2�� ·�� + 3 4�� 2 =− 14 × 4 2 − 12 × 4 × 2 × cos 60° + 3 4 × 2 2 =− 3． C 组知识拓展 1.【解析】(1)以��中点�为原点，��方向为�轴正方向，��方向为�轴正方向，建立直角坐标系， 如图所示，则�(0, 3),�( − 1,0),�(1,0),�(− 13 , 0)，由于�为线段��上一点，设�(�0,�0)， �� = ���，即( 13 , 3) = �(�0 + 1 3 ,�0)，可得 1 3 = ��0 + 1 3 � 3 = ��0 ，即 � = 13�0+1 �0 = 3 � , 因此�0 = 3 3�0 + 3，则�(�0, 3 3�0 + 3)，�� = (�0, 3 3�0)， �� = ( − 1, − 3)，�� = (2,0)， 由�� = ��� + 115�� 可得 −� + 215 = �0 − 3� = 3 3�0 , 即− 3� = 3 3(− � + 215 )，解得� = 1 5； (2)由(1)知�� = ( − �0,− 3 3�0)，�� = (1 − �0,− 3 3�0 − 3)， 则�� ⋅ �� =− �0(1 − �0)− 3 3�0(− 3 3�0 − 3) = 28�02 + 8�0 = 28 � + 1 7 2 − 47，�0 ∈ [ − 1 3 , 0]， 故当�0 =− 1 7时，�� ⋅ ��的最小值为− 47； (3)由(1)可知�� = (1 − �0,− 3 3�0 − 3)，�� = ( − 1, − 3)， 因为△ ���为正三角形，且��为其中线，因此�� ⋅ �� = 0， 即 10�0 + 2 = 0，解出�0 =− 1 5， 此时|�� | = 4 35 ，|�� | = 4 715 ， 在△ ���中，利用余弦定理知 ， 则 的余弦值为 21 14 ．