广东省清远市华侨中学2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（二）解三角形

清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 1 2023—2024 学年度第二学期高一数学暑假作业（二）解三角形 班别：____________ 姓名：_____________ 座号：__________ 得分：________ A 组基础巩固 一、单选题 1.已知在△ ���中，�� = 6 2，� = �4，则△ ���外接圆的周长为( ) A. 72� B. 24� C. 36� D. 12� 2.在△ ���中，角�，�，�所对的边分别为�，�，�.若�：�：� = 2: 3: 4,则 cos�的值是( ) A. 14 B. 2 5 C. 7 8 D. 11 16 3.在△ ���中，内角�,�, �的对边分别为�, �, �.已知� = 2 2, � = 4,� = �6，则此三角形( ) A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 4.在△ ���中，已知� + ����� = � + �����，则△ ���的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 5．某建筑的主体建筑集球､圆柱､棱柱､棱锥于一体，极具对称之美.如图，某人站在该建筑的正东方 向一座居民楼 PQ的顶端，若在Q处观测到该建筑顶端C的仰角为15，地面上A处的俯角为 45，若 该建筑的高度 50 3mBC  ， 30ACB  ，估计居民楼 PQ的高度大 约为（ ）（人的身高忽略不计，假设 , ,A B P位于同一水平面） A．32m B． 40m C．58m D．66m 6．某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部 O的正东方向 A处，测得旗杆顶端 P的仰角 为60，在 A的南偏西30方向上的 B处，测得 P的仰角为 45（O，A，B在同一水平面内），A，B 两点间的距离为 20m，则旗杆的高度 OP约为（ 2 1.4 ， 3 1.7 ）（ ） A．10m B．14m C．17m D．20m 二、多选题 7.在△ ���中，下列命题正确的是( ) A. 若� > �，则 sin� > sin� B. 若 sin2� = sin2�，则△ ���定为等腰三角形 C. 若�cos� − �cos� = �，则△ ���定为直角三角形 D. 若三角形的三边的比是 3 : 5:  7，则此三角形的最大角为钝角 8.在▵���中，内角�、�、�所对的边分别为�, �, �，则下列说法正确的是( ) 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 2 A. � = �cos� + �cos� B. 若 � + � + � � + � − � = 3��，且 2cos�sin� = sin�，则▵���为等边三角形 C. 若 sin2� = sin2�，则▵���是等腰三角形 D. 在▵���中，� = 1, � = �,� = 30∘，则使▵���有两解的�的范围是(1,2) 三、填空题 9．在 ABC 中， 5AB  ， 6BC  ， 3cos 5 B  ，则 ABC 的面积为 . 10．已知两座灯塔�和�与海洋观察站�的距离都等于 3��，灯塔�在观察站�的北偏东 40°，灯塔�在 观察站�的南偏东 20°，则灯塔�与灯塔�的距离为 ��． 四、解答题 11．设�，�，�分别为△ ���三个内角�，�，�的对边，若� − ����� = 33 �����． (1)求角�； (2)若� = 2，△ ���的周长的为 6，求△ ���的面积． 12．已知△ ���的内角�，�，�所对边分别为�，�，�，� = 2，4 + �2 − �2 =− 2�． (1)求�的值； (2)从①� = 2 3����，②� = �4两个条件中选一个作为已知条件，求����的值． 13．在 ABC 中，内角 , ,A B C的对边分别是 , ,a b c， 2 3a  ，6cos sin 3C a C b  . (1)求角A的大小； (2)设 ABC 的平分线与 AC交于点D，当 ABC 的面积最大时，求 BD的长. 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 3 B 组能力提升 一、单选题 1．在 ABC 中，若 sin 2cos cosA B C ，则 2 2cos cosB C 的取值范围为（ ） A． 61, 5     B． 2 11, 2       C． 6 ,2 5       D． 2 1, 2 2       2．在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，S为 ABC 的面积， 2a  ，且 2 22 ( )S a b c   ， 则 ABC 的周长的取值范围是（ ） A． (2, 2 5] B． (4,2 5 2] C． (6,2 5 2] D． (4, 5 2] 二、多选题 3．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理 与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 M是 ABC 内 一点， BMC△ ， AMC ， AMB 的面积分别为 AS ， BS ， CS ，且 0A B CS MA S MB S MC          ．以 下命题正确的是（ ） A．若 : : 1:1:1A B CS S S  ，则 M为 AMC 的重心 B．若 M为 ABC 的内心，则 0BC MA AC MB AB MC          C．若 45BAC  ， 60ABC  ，M为 ABC 的外心，则 : : 3 : 2 :1A B CS S S  D．若 M为 ABC 的垂心， 2 3 0MA MB MC      ，则 2cos 2 BAC  三、填空题 4．在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 ABC 的面积为 2 2 2 4 a b c  ， 6c  ，则 该三角形的外接圆直径 2R  ． 四、解答题 5． ABC 内角 A、B、C的对边分别是 a、b、c，已知： 2 5cos cos 2 4 A A       . (1)求A； (2)若 3,AB AC 边上的中线 BD长为 13，求 ABC 面积； (3) 3a  ，求 ABC 内切圆半径的取值范围. 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 4 6．在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 S为 ABC 的面积且  2 2 24 3 3 3S b a c   . (1)若 2b  ，求 ABC 外接圆的半径 R； (2)若 ABC 为锐角三角形，求 2 2 2 a b c  的取值范围. C 拓展题 1．若 ABC 内一点 P满足 PAB PBC PCA       ，则称点 P为 ABC 的布洛卡点， 为 ABC 的 布洛卡角．如图，已知 ABC 中， BC a ， AC b ， AB c ，点 P为的布洛卡点， 为 ABC 的布 洛卡角． (1)若b c ，且满足 3PB PA  ，求 ABC 的大小． (2)若 ABC 为锐角三角形． （ⅰ）证明： 1 1 1 1 tan tan tan tanBAC ABC ACB       ． （ⅱ）若 PB平分 ABC ，证明： 2b ac ． 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 5 2023—2024 学年度第二学期高一数学暑假作业（二）参考答案 A 组基础巩固 1．【解析】设△ ���外接圆的半径为�，根据正弦定理可得 2� = ��sin� = 6 2 sin�4 = 12，则� = 6， 故△ ���外接圆的周长为 2� × 6 = 12�．故选：�． 2．【解析】△ ���中，�：�：� = 2：3：4，设�，�，�分别为 2�，3�，4�，� ≠ 0， 由余弦定理可得���� = � 2+�2−�2 2�� = 4�2+16�2−9�2 2×2�×4� = 11 16，故选 D． 3．【解析】由正弦定理 � sin � = � sin � ，得 2 2 1 2 = 4 sin � ，解得 sin � = 22 ．因为� < �，所以� < �．又 因为� ∈ (0,�)，所以� = �4或� = 3� 4，故此三角形有两解．故选：�． 4．【解析】由正弦定理 ����� = � ���� = � ����，及� + ����� = � + �����， 可得：���� − ���� = �������� − ��������，可得：sin(� + �) − sin(� + �) = �������� − ��������， 可得：�������� + �������� − �������� − �������� = �������� − ��������， 可得：�������� − �������� = 0，则����(���� − ����) = 0，则���� = 0或���� − ���� = 0， 所以� = 90°，或� = �，所以△ ���为直角三角形或等腰三角形．故选：�． 5．【解析】在Rt ABC△ 中 30ACB  ， 50 3mBC  ，所以 60BAC  ， 所以 50 3 100 sin 3 2 BAC BCAC     ， 在 AQC 中 515 4 60AQC     ， 418 6 5 750 0QAC        ，所以 45QCA  ， 由正弦定理 sin 45 sin 60 AQ AC   ，即 2100 100 62 33 2 AQ    ， 在Rt APQ△ 中 45QAP  ，所以  100 6 2 100 3sin 45 58 m 3 2 3 PQ AQ     . 故选：C 6．【解析】如图，设OP h 米，则 tan 60 3 h hOA   米， tan 45 hOB h  米. 在 OAB 中，由题意可得， 60OAB  ， 由余弦定理可得 2 2 220 13cos =cos60 22 20 3 h h OAB h            ， 解得 10 3 17h   米.故选：C. 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 6 7．【解析】在△ ���中，若� > �，则� > �，因此 sin� > sin�，故 A正确；若 sin2� = sin2�，则 2� = 2�或 2� + 2� = �，即� = �或� + � = �2，所以△ ���为等腰三角形或直角三角形，故 B错误； 若�cos� − �cos� = �，则 sin � ⋅ cos � − sin ⋅ �cos � = sin � = sin (� + �) = sin � ⋅ cos � + sin ⋅ �cos �，所以 sin�cos� = 0，因为�为三角形内角，故���� > 0，则 cos � = 0， � = �2，所以△ ���定为直角三角形，故 C正确；三角形的三边的比是 3: 5: 7，设三边分别为 3�，5�， 7�，(� > 0)，设最大边所对的角为�，则 cos � = 3� 2+ 5� 2− 7� 2 2×3�×5� =− 1 2，因为 0 < � < �， 所以� = 2�3，故 D正确．故选 ACD． 8．【解析】对�，� = �cos� + �cos�，即 sin� = sin�cos� + sin�cos�，即 sin� = sin � + � ， 因为 sin � + � = sin � − � = sin�，故原式成立，故 A正确；对�， � + � + � � + � − � = 3��， 即�2 + �2 − �2 = ��，故 cos� = � 2+�2−�2 2�� = �� 2�� = 1 2，由� ∈ 0,� 可得� = � 3．又 2cos�sin� = sin�可得 2cos�sin� = sin � + � = sin�cos� + cos�sin�，即 sin�cos� − cos�sin� = 0，故 sin � − � = 0，由 �,� ∈ 0,� 可得� = �．故� = � = � = �3，则▵���为等边三角形，故 B正确；对�，当� = � 3 ,� = � 6 时，满足 sin2� = sin2�，此时三角形为直角三角形，故▵���不一定为等腰三角形，故 C错误； 对�，要使▵���有两解，则需� < � < �sin�，故 1 < � < 2，即 1 < � < 2，故 D正确．故选 ABD. 9．【解析】因为 3cos 5 B  ， (0, π)B ，所以 2 9 4sin 1 cos 1 25 5 B B     ， 所以 ABC 的面积为 1 1 4sin 5 6 12 2 2 5 AB BC B       ，故答案为：12 10．【解析】如图所示，在△ ���中，由题意可知： �� = �� = 3,∠��� = 120∘ ，由余弦定理可 得： = 3 + 3 − 2 × 3 × 3 × (− 12 ) = 9，所以�� = 3 (��)．故答案为：3. 11．【解析】(1)由� − ����� = 33 �����，及正弦定理可得���� − �������� = 3 3 ��������．由���� = sin(� + �) = �������� + ��������带入上式， 整理得 3 3 �������� = ��������．因为���� > 0，所以���� = 3．因为� ∈ (0,�)，所以角� = � 3． (2) ∵△ ���的周长为 6，得� + � = 4，由�2 = �2 + �2 − 2�����.可得 4 = �2 + �2 − ��， 即(� + �)2 − 3�� = 4．解得�� = 4，∴ 12 ��sin� = 3．所以△ ���的面积为 3． 12．【解析】(1)由� = 2，4 + �2 − �2 =− 2�，得 cos� = � 2+�2−�2 2�� 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 7 = 4+� 2−�2 2⋅2� = −2� 4� =− 1 2，又因为 0 < � < �，所以� = 2� 3． (2)选择①作为已知条件．在△ ���中，由� = 2 3����，以及正弦定理 ����� = � ����， 得 2 3���� sin2�3 = 2����，解得sin 2� = 12，由� = 2� 3，得�为锐角，又 sin� = 2 2 ， 所以� = �4，因为在△ ���中，� + � + � = �，所以 sin� = sin(� + �) = sin�cos� + cos�sin� = sin 2�3 cos � 4 + cos 2� 3 sin � 4，所以���� = 6− 2 4 ． 选择②作为已知条件，因为在△ ���中，� + � + � = �， 所以 sin� = sin(� + �) = sin�cos� + cos�sin� = sin 2�3 cos � 4 + cos 2� 3 sin � 4，所以���� = 6− 2 4 ． 13．【解析】（1） 6cos sin 3 , 2 3C a C b a   ，所以 3 cos sin 3a C a C b  ， 由正弦定理得 3 sin cos sin sin 3 sin 3 sin( )A C A C B A C    ， 即 3 sin cos sin sin 3 sin cos 3 sin cosA C A C A C C A   ，得 sin sin 3 sin cosA C C A  ， 又 sin 0C  ，所以 sin 3 cosA A  ，即 tan 3A   ，又0 πA  ，所以 2π 3 A  ； （2）由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   即 2 2 12b c bc   ，而 0, 0b c  ， 2 212 3b c bc bc     ，即 4bc  ， 1 3sin 3 2 4ABC S bc A bc    .当且仅当 2b c  取等号， 此时 π 6 ABC C    ，则 π π, 12 4 ABD ADB   ，在 ABD△ 中，由正弦定理得 sin sin AB BD ADB A  ， 即 2 π 2πsin sin 4 3 BD  ，解得 6BD  . B 组能力提升 1．【解析】由sin 2cos cosA B C 以及    sin sin sin      A B C B C 得 sin cos cos sin 2cos cosB C B C B C  ，又由  0,A  得 sin 2cos cos >0A B C ， 所以 tan tan 2B C  ，且 B，C均为锐角，即 tan 0B  ， tan 0C  ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 1cos cos sin cos sin cos 1 tan 1 tan B CB C B B C C B C              2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 tan tan tan tan 2 tan tan tan tan 11 tan 1 tan B C B C B C B CB C          ， 因为  22 2tan tan tan tan 2 tan tan 4 2 tan tanB C B C B C B C      ， 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 8 所以 2 2cos cosB C  2 2 6 2 tan tan tan tan 2 tan tan 5 B C B C B C    ，设3 tan tanB C m  ， 因为 2tan tantan tan 1 2 B CB C       ≤ ，当且仅当 4 A B   时等号成立， 所以  2,3m ，故由对勾函数性质 8 4 2,6m m    ， 则     2 2 2 2cos cos 3 2 3 5 mB C m m       2 2 2 2 11,84 8 24 m m m m m           . 故选：B. 2．【解析】若 2 22 ( )S a b c   ，则由余弦定理得 2 2 22 2 2 2 cosS a b bc c bc bc A      ， 而由面积公式得 2 sin si 2 n1S A Abc bc   ，故 sin 2 2 cosbc A bc bc A  ， 则 1 sin 1 cos 2 A A  ，则 01c 2 os 1 sinA A   ，则 2sin cos 2sin 2 2 2 A A A  ，则有 cos 2sin 2 2 A A  ，而在 ABC 中， 可得 1tan 2 2 A  ，由二倍角公式得 2 1 4tan 1 3 2 A      ，故 4sin 5 A  ， 3cos 5 A  ， 由正弦定理得 2 5 4 sin sin 2 5 b c B C    ，则 5 5sin , sin 2 2 b B c C  ， 可得 5 5 5 5 5 5 4 3sin sin sin sin( ) sin ( cos sin ) 2 2 2 2 2 2 5 5 b c B C B B A B B B         ， 4sin 2cos 2 5 sin( )B B B     ，而 1tan 2   ，则 2 A  ， 显然当 sin( ) 1B   时，b c 最大，且此时 2 5b c  ，故 2 5b c  ， 而易知 2b c a   ，综上 (4,2 5 2]b c a    ，故选：B 3．【解析】对于 A，取 BC的中点 Q，连接 MQ， 由 : : 1:1:1A B CS S S  ，则 0MA MB MC   uuur uuur uuur r ，所以 2MD MB MC MA        ， 所以 A，M，Q三点共线，且 2 3 A QM A   ， 设 R，T分别为 AB，AC的中点，同理可得 2 3 CM CR   ， 2 3 BM BT   ， 所以 M为 AMC 的重心，故 A项正确；对于 B，由 M为 ABC 的内心，设内切圆半径为 r， 则有 1 2A S BC r  ， 1 2B S AC r  ， 1 2C S AB r  ，所以 1 1 1 0 2 2 2 r BC MA r AC MB r AB MC             ， 即 0BC MA AC MB AB MC          ，故 B项正确； 对于 C，由 M为 ABC 的外心，设 ABC 的外接圆半径为 R，又因为 45BAC  ， 60ABC  ， 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 9 所以 2 90BMC BAC    ， 2 120AMC ABC    ， 2 150AMB ACB    ， 所以 2 2 21 1 1sin sin 90 2 2 2A S R BMC R R       ， 2 2 21 1 3sin sin120 2 2 4B S R AMC R R       ， 2 2 21 1 1sin sin150 2 2 4C S R AMB R R       ， 所以 : : 2 : 3 :1A B CS S S  ，故 C错误； 对于 D，延长 AM交 BC于点 D，延长 BO交 AC于点 F，延长 CO交 AB于点 E， 由 M为 ABC 的垂心， 2 3 0MA MB MC      ，则 : : 1: 2 : 3A B CS S S  ， 又 ABC A B CS S S S   ，则 6 ABC A S S △ ， 3ABC B S S  ，设MD x ，MF y ，则 5AM x ， 2BM y ， 所以 cos cos2 5 x yBMD AMF y x      ，即 2 25 2x y ， 10 5 x y  所以 10cos 10 AMF  ，同理 5cos 5 AME  ， 故 2 10 3 10sin 1 10 10 AMF           ， 2 5 2 5sin 1 5 5 AME           ， ∴ cos cos( )BAC BAM CAM    cos cos sin sinBAM CAM BAM CAM      sin sin cos cosAME AMC AME AMF      2 5 3 10 5 10 2 5 10 5 10 2      ，故 D正确．故选：ABD． 4．【解析】由 2 2 2 1 sin 4 2 a b c ab C   ,所以 2 cos 1 sin 4 2 ab C ab C ,即 tan 1C  , 由  0, πC ,所以 π 4 C  ,所以 6 6 2 3π 2sin 4 2   ,所以 2 2 3R  .故答案为： 2 3 . 5．【解析】（1）由题意可得 2 5sin cos 4 A A  ，即 2 51 cos cos 4 A A   ， 整理可得 24cos 4cos 1 0A A   ，所以 2(2cos 1) 0A  ， 所以 1cos 2 A  ，由 0 A   可得 3 A  ； （2）如图，由 3 A  ， 3,AB  中线 BD长为 13，所以 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD A    ， 可得 213 9 3AD AD   ，即 2 3 4 0AD AD   ，所以 4AD 或 1AD   （舍），所以 8AC  ， 所以 1 sin 6 3 2ABC S AB AC A   ； （3）由 3 A  ， 3a  带入正弦定理可得： 2 sin sin sin b c a B C A    ， 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 10 所以 2sin , 2sinb B c C  ，面积 1 sin 3 sin sin 2 S bc A B C  ，周长 2sin 2sin 3l a b c B C      ， 所以内切圆半径 2 2 3 sin sin 2sin 2sin 3 S B Cr l B C     2 22 3 sin sin( ) 3 sin 3sin cos3 2 3sin 3 cos 32sin 2sin( ) 3 3 B B B B B B BB B           11 cos 2 3 cos(2 )3 sin 2 2 32 2 2 3 sin( ) 3 2sin( ) 1 6 6 B BB B B             2 12sin ( ) 16 2 sin( ) 6 22sin( ) 1 6 B B B            ， 由 20 3 B   得 5 6 6 6 B     ，所以 1 10 sin( ) 6 2 2 B     ，即 ABC 内切圆半径的取值范围 10, 2      . 6．【解析】（1）∵S为 ABC 的面积且  2 2 24 3 3 3S b a c   ， 1 sin 2 S ac B , ∴  2 2 214 3 sin 3 3 2 cos2 ac B c a b ac B      ,即 tan 3B  ，0 πB  ,∴ π 3 B  . ∴ 22 πsin sin 3 bR B   ，解得： 2 3 3 R  . （2）由（1）可知， π 3 B  ，∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 π 3sin sin sin 3 4 sin sin C a b A B c C C         2 2 1 34 sin cos 3 2 2 4sin C C C        2 2 2 4sin 2 3 sin cos 6cos 4sin C C C C C     2 3 1 3 11 2 tan 2 tanC C      ∵ ABC 为锐角三角形， π 3 B  ，∴ π π 6 2 C  ，∴ 3tan 3 C  ，∴ 10 3 tanC   ， 设 1 tan t C  ，则 22 2 2 2 3 3 3 3 71 2 2 2 6 8 a b t t t c            ，∴0 3t  时，   2 2 2 1,7 a b c   C 组知识拓展 1．（1）若b c ，即 AB AC ，得 AABC CB ∠ ，点 P满足 PAB PBC PCA       ，则 PCB PBA   ，在 PCB 和 PBA△ 中， PCB PBA   ， PAB PBC    ，所以 PCB 与 PBA△ 相似，且 3 PB PA  ，所以 3 BC a AB c   ，即 3a c ，由余弦定理得： 2 2 2 cos 2 a a BC cA b c    ，且 3a c ， b c ，得 2 2 2 2 3 3cos 22 3 b bABC b b     ，且0 πB  ，所以 π6 ABC  ； （2）（ⅰ）在 ABC 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： 2 2 2 2 2 21 cos tan sin 2 sin 4 ABC BAC b c a b c a BAC BAC bc BAC S             ， 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题：“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核：高一数学备课组 11 2 2 2 2 2 21 cos tan sin 2 sin 4 ABC ABC a c b a c b ABC ABC ac ABC S             ， 2 2 2 2 2 21 cos tan sin 2 sin 4 ABC ACB a b c a b c ACB ACB ab ACB S             ， 三式相加可得： 2 2 21 1 1 tan tan tan 4 ABC a b c BAC ABC ACB S          ① 在 PAB 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： 2 2 2 2 2 21 cos tan sin 2 sin 4 PAB AP c BP AP c BP AP c S              ， 在 PBC 和 PCAV 内，同理： 2 2 21 tan 4 PBC BP a CP S     ， 2 2 21 tan 4 PCA CP b AP S     ， 三式相等： 2 2 2 2 2 2 2 2 21 tan 4 4 4PAB PBC PCA AP c BP BP a CP CP b AP S S S             ， 因为 ABC PAB PBC PCAS S S S      ，由等比性质得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) tan 4 4 4 4PAB PBC PCA ABC AP c BP BP a CP CP b AP a b c S S S S                  ② 由①②式可证得： 1 1 1 1 tan tan tan tanBAC ABC ACB       ； （ⅱ）因为 1 1 1sin sin sin 2 2 2ABC PAB PBC PAC S S S S c AP a BP b CP              ， 即  1 sin 2ABC S c AP a BP b CP      ，所以 2 sin ABCSc AP a BP b CP         ， 在 , ,PAB PBC PAC   中，分别由余弦定理得： 2 2 2 2 cosBP c AP c AP     ， 2 2 2 2 cosCP a BP a BP     ， 2 2 2 2 cosAP b CP b CP     ， 三式相加整理得   2 2 22cos c AP a BP b CP a b c         ，  2 2 2 2cosa b c c AP a BP b CP        ，将 2 sin ABCSc AP a BP b CP         代入得： 2 2 2 22cos sin ABCSa b c        若 PB平分 ABC ，则 2ABC   ， 1 sin 2 2ABC S ac  ， 所以 2 2 2 22 sin 22cos 2cos 4 cos sin sin ABCS aca b c ac            ③ 又由余弦定理可得：  2 2 2 2 2 22 cos 2 2 cos sina c b ac b ac        ④ 由③-④得：  2 2 2 22 sin cosb b ac      ，所以  2 2 2sin cosb ac    ，所以 2b ac . 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题:“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核:高一数学备课组 2023—2024学年度第二学期高一数学暑假作业(二)解三角形 班别:_ 姓名:_ 座号:_ 得分:_ A组基础巩固 1、 单选题 1.已知在中,,,则外接圆的周长为( ) A. B. C. D. 2.在中,角,,所对的边分别为,,若::则的值是( ) A. B. C. D. 3.在中,内角的对边分别为已知,则此三角形( ) A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 4.在中,已知,则的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 5.某建筑的主体建筑集球､圆柱､棱柱､棱锥于一体,极具对称之美.如图,某人站在该建筑的正东方向一座居民楼的顶端,若在处观测到该建筑顶端的仰角为,地面上处的俯角为,若该建筑的高度,,估计居民楼的高度大约为( )(人的身高忽略不计,假设位于同一水平面) A. B. C. D. 6.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部O的正东方向A处,测得旗杆顶端P的仰角为,在A的南偏西方向上的B处,测得P的仰角为(O,A,B在同一水平面内),A,B两点间的距离为20m,则旗杆的高度OP约为(,)( ) A.10m B.14m C.17m D.20m 二、多选题 7.在中,下列命题正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则定为等腰三角形 C. 若,则定为直角三角形 D. 若三角形的三边的比是,则此三角形的最大角为钝角 8.在中,内角所对的边分别为,则下列说法正确的是( ) A. B. 若,且,则为等边三角形 C. 若,则是等腰三角形 D. 在中,,则使有两解的的范围是 三、填空题 9.在中,,,,则的面积为 . 10.已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于,灯塔在观察站 的北偏东,灯塔 在观察站 的南偏东,则灯塔与灯塔 的距离为 . 四、解答题 11.设,,分别为三个内角,,的对边,若. 求角; 若,的周长的为,求的面积. 12.已知的内角,,所对边分别为,,,,. 求的值; 从,两个条件中选一个作为已知条件,求的值. 13.在中,内角的对边分别是,,. (1)求角的大小; 清远市华侨中学高一数学暑假作业 命题:“双减”背景下高中数学作业优化课题组 审核:高一数学备课组 (2)设的平分线与交于点,当的面积最大时,求的长. 试卷第1页,共3页 1 学科网(北京)股份有限公司 B组能力提升 一、单选题 1.在中,若,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为的面积,,且,则的周长的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题 3.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是:已知M是内一点,,,的面积分别为,,,且.以下命题正确的是( ) A.若,则M为的重心 B.若M为的内心,则 C.若,,M为的外心,则 D.若M为的垂心,,则 三、填空题 4.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若的面积为,,则该三角形的外接圆直径 . 四、解答题 5.内角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知:. (1)求; (2)若边上的中线BD长为,求面积; (3),求内切圆半径的取值范围. 6.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为的面积且. (1)若,求外接圆的半径; (2)若为锐角三角形,求的取值范围. C 拓展题 1.若内一点满足,则称点为的布洛卡点,为的布洛卡角.如图,已知中,,,,点为的布洛卡点,为的布洛卡角. (1)若,且满足,求的大小. (2)若为锐角三角形. ( )证明:. ( )若平分,证明:. 2023—2024学年度第二学期高一数学暑假作业(二)参考答案 A组基础巩固 1.【解析】设外接圆的半径为,根据正弦定理可得,则, 故外接圆的周长为.故选:. 2.【解析】中,::::,设,,分别为,,,, 由余弦定理可得,故选D. 3.【解析】由正弦定理,得,解得.因为,所以.又因为,所以或,故此三角形有两解.故选:. 4.【解析】由正弦定理,及, 可得:,可得:, 可得:, 可得:,则,则或, 所以,或,所以为直角三角形或等腰三角形.故选:. 5.【解析】在中,,所以, 所以, 在中,,所以, 由正弦定理,即, 在中,所以. 故选:C 6.【解析】如图,设米,则米,米. 在中,由题意可得,, 由余弦定理可得, 解得 米.故选:C. 7.【解析】在中,若,则,因此,故A正确;若,则或,即或,所以为等腰三角形或直角三角形,故B错误; 若,则 ,所以,因为为三角形内角,故,则,,所以定为直角三角形,故C正确;三角形的三边的比是,设三边分别为,,,,设最大边所对的角为,则,因为, 所以,故D正确.故选ACD. 8.【解析】对,,即,即, 因为,故原式成立,故 A正确;对,,即,故,由可得.又可得,即,故,由可得.故,则为等边三角形,故 B正确;对,当时,满足,此时三角形为直角三角形,故不一定为等腰三角形,故 C错误; 对,要使有两解,则需,故,即,故 D正确.故选ABD 9.【解析】因为,,所以, 所以的面积为,故答案为:12 10.【解析】如图所示,在中,由题意可知: ,由余弦定理可得: ,所以 .故答案为: 11.【解析】由,及正弦定理可得.由带入上式, 整理得.因为,所以.因为,所以角. 的周长为,得,由可得, 即.解得,.所以的面积为. 12.【解析】由,,得 ,又因为,所以. 选择作为已知条件.在中,由,以及正弦定理, 得,解得,由,得为锐角,又, 所以,因为在中,,所以 ,所以. 选择作为已知条件,因为在中,, 所以 ,所以. 13.【解析】(1),所以, 由正弦定理得, 即,得, 又,所以,即,又,所以; (2)由余弦定理得即,而, ,即,.当且仅当取等号, 此时,则,在中,由正弦定理得, 即,解得. B组能力提升 1.【解析】由以及得 ,又由得, 所以,且B,C均为锐角,即,, 所以 , 因为, 所以,设, 因为,当且仅当时等号成立, 所以,故由对勾函数性质, 则. 故选:B. 2.【解析】若,则由余弦定理得, 而由面积公式得,故, 则,则,则,则有,而在中,可得,由二倍角公式得,故,, 由正弦定理得,则, 可得, ,而,则, 显然当时,最大,且此时,故, 而易知,综上,故选:B 3.【解析】对于A,取BC的中点Q,连接MQ, 由,则,所以, 所以A,M,Q三点共线,且, 设R,T分别为AB,AC的中点,同理可得,, 所以M为的重心,故A项正确;对于B,由M为的内心,设内切圆半径为r, 则有,,,所以, 即,故B项正确; 对于C,由M为的外心,设的外接圆半径为R,又因为,, 所以,,, 所以, , , 所以,故C错误; 对于D,延长AM交BC于点D,延长BO交AC于点F,延长CO交AB于点E, 由M为的垂心,,则, 又,则,,设,,则,, 所以,即, 所以,同理, 故,, ∴ ,故D正确.故选:ABD. 4.【解析】由,所以,即, 由,所以,所以,所以.故答案为:. 5.【解析】(1)由题意可得,即, 整理可得,所以, 所以,由可得; (2)如图,由,中线BD长为,所以, 可得,即,所以或(舍),所以, 所以; (3)由,带入正弦定理可得:, 所以,面积,周长, 所以内切圆半径 , 由得,所以,即内切圆半径的取值范围. 6.【解析】(1)∵S为的面积且,, ∴,即,,∴. ∴,解得:. (2)由(1)可知,,∴ ∵为锐角三角形,,∴,∴,∴, 设,则,∴时, C组知识拓展 1.(1)若,即,得,点满足,则,在和中,,,所以与相似,且,所以,即,由余弦定理得:,且,,得,且,所以; (2)( )在内,应用余弦定理以及三角形的面积公式得: ,, , 三式相加可得:① 在内,应用余弦定理以及三角形的面积公式得: , 在和内,同理:,, 三式相等:, 因为,由等比性质得:② 由①②式可证得:; ( )因为, 即,所以, 在中,分别由余弦定理得:,,, 三式相加整理得, ,将代入得: 若平分,则,, 所以③ 又由余弦定理可得:④ 由③-④得:,所以,所以. 3 学科网(北京)股份有限公司 $$