专题05 函数（吉林专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题05 函数 题型01 反比例函数综合及应用 1．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 4．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C． D．4 5．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 7．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 8．（2022·吉林·中考真题）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 9．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 10．（2023·吉林·中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 题型02 一次函数实际应用 11．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 12．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 13．（2023·吉林长春·中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．    (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 14．（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 15．（2022·吉林长春·中考真题）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．    (1)_______，_______； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 16．（2022·吉林·中考真题）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温（℃）与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： (1)加热前水温是 ℃； (2)求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式； (3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 ℃． 17．（2021·吉林·中考真题）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数（万人）与各自接种时间（天）之间的关系如图所示．    （1）直接写出乙地每天接种的人数及的值； （2）当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数． 18．（2021·吉林长春·中考真题）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： (3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ (4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 19．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 20．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 题型03 二次函数综合 21．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    22．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 23．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 24．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 25．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结． ①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积； ②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 26．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 27．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． (1)直接写出k，a，b的值． (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）． Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 28．（2021·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． （1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ． （2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围． （3）当时，若函数的最小值为3，求m的值． （4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 29．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 30．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 31．（2023·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 32．（2022·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标； (3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 33．（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（2025·吉林·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 35．（2025·吉林·二模）已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 36．（2025·吉林·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（单位：），的阻值随呼气酒精浓度（单位：）的变化而变化如图1，血液酒精浓度（单位：）与呼气酒精浓度的关系见图2．下列说法错误的是（    ） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为醉驾状态 D．当时，该驾驶员为非酒驾状态 37．（2025·吉林·模拟预测）某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，其图象如图所示； (1)求压强p关于面积S的函数解析式； (2)当木板的压强为时，求木板的面积． 38．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． 信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为． 图③ (1)该容器内氧气的质量为________． (2)求容器内氧气的密度关于体积V的函数解析式． (3)若该容器的体积V为，求氧气的密度． 39．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 40．（2025·吉林白山·模拟预测）古希腊科学家阿基米德生活在公元前3世纪，他提出了杠杆平衡，现在我们称之为“杠杆原理”，用公式表示为：“动力动力臂阻力阻力臂”．园园想用撬棍去撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和． (1)求动力（单位：）关于动力臂（单位：m）的函数关系式． (2)若，求此时需要的动力的大小． 41．（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示． (1)乙队每天完成土方量多少万立方； (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 42．（2025·吉林白城·模拟预测）国产芯片经过多年的发展，已经逐渐走出了一条属于自己的道路，近年来，国产芯片制造商已经推出了7纳米和5纳米的芯片，可以说，在制程技术的发展上，中国芯片制造商已经取得了非常显著的进展．甲、乙两个工厂同时加工一批芯片，两厂每天加工的速度保持不变，合作一段时间后，乙厂因设备维修停工，甲厂单独完成了剩下的任务，甲、乙两厂加工芯片的总数量（万片）与甲厂加工的时间（天）的关系如图所示． (1)甲比乙多加工了________天； (2)求乙停工后与之间的函数关系式； (3)第5天完成任务之后，通过计算说明甲、乙两个工厂谁生产的芯片多？ 43．（2025·吉林长春·三模）千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据． x（厘米） 4 12 20 24 28 36 y（斤） 0 1 2 2.5 3 4 【问题解决】 (1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来． (2)根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． (3)已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：， 则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式） 根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？ 44．（2025·吉林松原·三模）放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间（分）之间的函数图象． (1)小明的速度是___________米/分； (2)求段的函数解析式； (3)当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离． 45．（2025·吉林长春·二模）一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度x（） 2 8 14 20 单层部分长度y（） 148 136 124 112 (1)试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式； (3)按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 46．（2025·吉林延边·模拟预测）延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． (2)求当时，y关于x的函数解析式； (3)当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 47．（2025·吉林松原·二模）某实验基地装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点的距离为，记；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时（含停顿时间），关于的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题： (1)轨道的长度为______，的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 ． (2)滑块从点A到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，请直接写出的值． 48．（24-25八年级下·上海·阶段练习）小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 49．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时， 的面积为____________． 求的面积的最大值． (3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）． 若，则新抛物线的解析式为____________． 在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值． 50．（2025·吉林延边·模拟预测）某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： (1)直接写出，，的值． (2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 51．（2025·吉林·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点两点，抛物线的顶点为点C．点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)当时，抛物线上最高点的纵坐标为，求n的值； (4)点Q在抛物线上，横坐标为，平面内有一点，作P，Q关于点R的对称点M，N，顺次连接P，Q，M，N，得到．当轴，直接写出此时点C到直线QN的距离d． 52．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）经过点和，点P和点Q均在该抛物线上，其横坐标分别为m、，点M的坐标为，连结、，以、为边作． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当轴时，求点Q的坐标； (3)当的边与x轴平行时，求抛物线在点P和点A之间的部分（包括点P、点A）的最高点与最低点的纵坐标的差； (4)当时．设的边与x轴的交点为C，连接，当直线将该平行四边形的面积分成两部分时，直接写出m的值． 53．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，抛物线过点，抛物线上有一点，其横坐标为轴上有一点，点关于点的对称点为点．过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线交于点，直线交抛物线于． (1)_______． (2)当时，在给定的平面直角坐标系里画出满足题意的图形，此时_______． (3)若，求的值． (4)若有且只有一个顶点落在抛物线与-轴所围成的封闭区域内（不包含边界），直接写出的范围． 54．（2025·吉林·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线，点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和，其中．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接MN． (1)求该拋物线对应的函数表达式； (2)证明：点与点始终关于轴对称； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为E、F（点在点左侧）． ①当点E、F在线段MN上时，求的取值范围； ②当时，直接写出的值． 55．（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，与轴交于点.点A、B是该拋物线上不重合的两点，横坐标分别为，作点关于点的对称点. (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)试说明点与点的横坐标之差为2； (3)当点在第一象限时，连结，以为邻边作. ①当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②当点落在的边上时，直接写出的值. 56．（2025·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当点、到轴的距离相等时，求的值； (3)当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； (4)矩形的顶点分别为、、，若矩形的边与抛物线恰好有三个交点时，直接写出的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数 题型01 反比例函数综合及应用 1．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设， ∴， 则， 又∵，， ∴ ∴（负值已舍去） 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果． 【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示， ∵P点纵坐标为：2， ∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2， 由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°， ∴∠MQN=30°， ∴MN=，QN=， ∴， 即：， 解得：k=， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键． 5．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出CE的长度，过点B作BF垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标． 【详解】设点A的坐标为，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，如图： ∵点C在函数的图象上，且AC⊥x轴， ∴C的坐标为， ∴EC=k， ∵BF⊥x轴，CE⊥x轴， ∴ , ∴ , 又∵， ∴ , ∴， 即, ∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式： 当时，， ∴B点的横坐标是2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标． 6．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 7．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 8．（2022·吉林·中考真题）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度． 【详解】（1）设密度关于体积的函数解析式为， 把点A的坐标代入上式中得：， 解得：k=10， ∴． （2）当时，（）． 即此时该气体的密度为1． 【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键． 9．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式； （2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点， ∴点坐标满足一次函数解析式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵轴， ∴，轴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段． 10．（2023·吉林·中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）解：当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 题型02 一次函数实际应用 11．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】(1)， (2) (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 12．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 13．（2023·吉林长春·中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．    (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解． 【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 将点代入得， 解得：， ∴； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 14．（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)30 (2) (3)10天 【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ∴ （3）解：甲组每天挖（米） 甲乙合作每天挖（米） ∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组己停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． 15．（2022·吉林长春·中考真题）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．    (1)_______，_______； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1)2.6 (2)甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） (3)300千米 【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值； （2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【详解】（1）根据题意得，（时） （时） 故答案为：2.6； （2）由（1）得（2，200）和（6，440）， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） （3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米， ∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． 16．（2022·吉林·中考真题）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温（℃）与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： (1)加热前水温是 ℃； (2)求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式； (3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 ℃． 【答案】(1)20 (2) (3)65 【分析】（1）根据时，即可得； （2）先判断出乙壶对应的函数图象经过点，再利用待定系数法即可得； （3）先利用待定系数法求出甲壶中与的函数解析式，再求出时，的值，然后将的值代入乙壶中与的函数解析式即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 故答案为：20． （2）解：因为甲壶比乙壶加热速度快， 所以乙壶对应的函数图象经过点， 设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 自变量x的取值范围是0≤x≤160． （3）解：设甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 当时，，解得， 将代入得：， 即当甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温是， 故答案为：65． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象，并熟练掌握待定系数法是解题关键． 17．（2021·吉林·中考真题）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数（万人）与各自接种时间（天）之间的关系如图所示．    （1）直接写出乙地每天接种的人数及的值； （2）当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数． 【答案】（1）每天0.5万人，；（2）；（3）5万人 【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解． （2）利用待定系数法求解． （3）将代入（2）问中解析式得出，然后由． 【详解】解：（1）乙地接种速度为（万人/天）， ， 解得． （2）设，将，代入解析式得： ， 解得， ∴． （3）把代入得， （万人）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．（2021·吉林长春·中考真题）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： (3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ (4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为；(3)；(4)当天晚上的22:00． 【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可； (2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为，再代入两个点坐标即可求解； (3)当时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数； (4)当时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解． 【详解】解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示： (2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上， 设直线解析式为，代入点(0，6)和点(2，18)， 得到，解得， ∴直线的表达式为：； (3)当供水时间达到12小时时，即时，代入中， 解得cm， ∴此时箭尺的读数为； (4)当箭尺读数为90厘米时，即时，代入中， 解得(小时)， ∴经过14小时后箭尺读数为90厘米， ∵实验记录的开始时间是上午8:00， ∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键． 19．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 20．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 题型03 二次函数综合 21．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    【答案】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 22．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 【答案】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 23．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解． 【详解】（1）将点代入中得： 解得：， ∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作 ∴ ∴ ∴ 当点在上时， ∴ ∴ 解得， 当点在上时 ∴， ∴， ∴， 解得，． 其中，，时，如图，经检验符合， 综上，． 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)面积比保持不变为，理由见详解 (3)或 (4)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； （3）解：如图所示，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或； （4）解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，解得， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， ∴当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 25．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结． ①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积； ②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②或或 【分析】（1）将代入，解方程即可； （2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此； （3）①记交于点M， ，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此； ②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）解：过点B作于点H，则， 由题意得：， ∴，， ∴在中，； （3）解：①如图，记交于点M， 由题意得，， 由， 得：对称轴为直线： ∵四边形是菱形， ∴点A、C关于对称，， ∵与此抛物线的对称轴重合， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，则， ∴； ②记抛物线顶点为点F，把代入，得：， ∴， ∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线， 当时，如图，符合题意， 当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图： 过点F作于点Q， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意； 当时，如图，符合题意： 当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图： ∴； 当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图： 过点F作于点Q，同上可得， ， ∴， 解得：或（舍）， 当m继续变小时，仍符合题意，如图： ∴， 综上所述，m的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键． 26．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵， ∴顶点坐标为， （2）解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； （3）①如图所示，当，即时，    抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时，    ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； （4）解：如图所示，    ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ①当是的中点，如图所示    则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，    ∴， 解得：， ③如图所示，    设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． (1)直接写出k，a，b的值． (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）． Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键． （1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可； （2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大； Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解； Ⅲ： 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故①当，由题意得：，则；②当，由题意得：，则，综上：或． 【详解】（1）解：∵， ∴将，代入， 得：， 解得：， ∵， ∴将，代入 得：， 解得：； （2）解：Ⅰ，∵， ∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为： 当时，，对称为直线，开口向上， ∴时，y随着x的增大而增大； 当时，，， ∴时，y随着x的增大而增大， 综上，x的取值范围：或； Ⅱ，∵， ∴，在时无解， ∴问题转化为抛物线与直线在时无交点， ∵对于，当时， ∴顶点为，如图： ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点； 当，， ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点， ∴当或时，抛物线与直线在时没有交点， 即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解； Ⅲ：∵， ∴， ∴点P、Q关于直线对称， 当，，当时，， ∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，， ∴①当，如图： 由题意得：， ∴； ②当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 28．（2021·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． （1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ． （2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围． （3）当时，若函数的最小值为3，求m的值． （4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 【答案】(1)，抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；(2)，；(3) m的值为或；(4) ，或 【分析】(1)将时代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标； (2)顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解； (3)分m≥0和m＜0时讨论：当m≥0且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得； (4)先算出P、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两边交点，求出B、C坐标，由“B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等”即可求解． 【详解】解：(1)由题意可知，二次函数顶点坐标， 当时，顶点坐标为， 此时抛物线解析式为：，令， ∴， ∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，)； (2)顶点坐标， ∴， 又已知， ∴，且A点在第一象限， ∴，此时抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为， 由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小时的取值范围为：， 故答案为：，； (3)函数的对称轴为，且开口向上， 当，且时，时，函数有最小值为， 由已知：函数的最小值为3， ∴，解得， 当，且时，时，函数有最小值为， 由已知：函数的最小值为3， ∴，解得或(正值舍去)， 故m的值为或； (4)由题意可知，、、、， ①如图所示，当m>0时，当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上、点C在MN边上， ∴令y=2，则， ∴或（舍去）， ∴，C（m，2m）， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， 如图所示，若点B在PM边上、点C在NQ边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， ∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标， ∴不符合题意，舍去， ∴， 如图所示，若点B在PQ边上、点C在NQ边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴4=2-2m， 解得：m=-1<0，不符合题意，舍去， ②如图所示，当m<0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， 或， 解得：， 综上，m的值为或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，涉及到分类讨论思想，情况不定时需要分类讨论，难度较大，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 29．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）最大值为；最小值为－2；（3）①；②或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点． 【分析】（1）利用待定系数法求解． （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由求出取值范围， ②通过数形结合求解． 【详解】解：（1）将，点代入得： ， 解得， ∴． （2）∵， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，取最小值为－2， ∵， ∴当时，取最大值． （3）①， 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， ∴满足题意， 解得． ②∵， ∴， 解得， 如图，当时，点在最低点，与图象有1交点， 增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点， 直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为， ∴时，与图象有2个交点， 当时，与图象有1个交点， 综上所述，或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． 30．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①或3；②或或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则此抛物线的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，，解得或， 则此抛物线与轴的另一个交点坐标为， 画出函数图象如下： 则当点在轴上方时，的取值范围为或． （3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 即， （Ⅰ）如图，当时， 当时，随的增大而减小， 则此时点即为最低点， 所以， 解得或（不符题设，舍去）； （Ⅱ）如图，当时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则此时抛物线的顶点即为最低点， 所以， 解得，符合题设， 综上，的值为或3； ②设点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点， 则在等腰中，只能是， 垂直平分，且， （等腰三角形的三线合一）， ， 解得， 则此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时， 由（3）①可知，此时， 则点， ， ， ， 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 31．（2023·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点与点的纵坐标的差为或 (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解； （3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解； （4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点． ∴ ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， 顶点坐标为， ∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为 ∴， 解得：； （3）①轴时，点关于对称轴对称， ， ∴，则，， ∴， ∴点与点的纵坐标的差为； ②当轴时，则关于直线对称， ∴， 则 ∴，； ∴点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为或； （4）①如图所示，当都在对称轴的左侧时，    则 ∴ ∵，即 ∴； ∵ ∴ 解得：或（舍去）； ②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，    则，即， 则， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点在的右侧且在直线上方时，即，   ， ∴ 解得：或（舍去）； ④当在直线上或下方时，即，   ，， ， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 32．（2022·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标； (3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或． 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据对称性可得，根据，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形点在轴上时，此时与点重合，当经过抛物线的对称轴时，进而观察图像即可求解； （4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（b是常数）经过点 ∴ 解得 （2）如图， 由 则对称轴为直线， 设，则 解得 （3）点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴 ，且在轴上，如图， ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合， 的解析式为 ，将代入 即 解得 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； ②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时， 解得， 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 综上所述，m的取值范围为或 （4）①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则 是正方形的中心， 即 ②如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时， 交点的纵坐标之差为， 的纵坐标为 的横坐标为 在抛物线上， 解得 ③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图， 则 即 设直线解析式为 则 解得 直线解析式为 联立 解得（舍去） 即的横坐标为，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 33．（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据半径为1的与轴相切，得到点A的横坐标为1，设，点， 根据点关于点的对称点也在此函数图象上，得到，得到点C的坐标，再代入反比例函数的解析式解答即可． 【详解】解：由半径为1的与轴相切， 故点A的横坐标为1， 又点在函数的图象上， 设， 设点，根据点关于点的对称点也在此函数图象上， 故， 解得， 故点， 故， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，反比例函数的性质，中点坐标公式，待定系数法求解析式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 34．（2025·吉林·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 将代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：设，将代入可得， ∴，故①正确； 当，，故②错误； 当，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴时，，故③正确，且④正确， 综上所述，说法正确的是①②④； 故选：C． 35．（2025·吉林·二模）已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，分类讨论是解答的关键． 先根据反比例函数性质得反比例函数图象位于第二、四象限，并在每个象限内，y随x的增大而增大，分当点和点都位于第二象限内时，当点在第二象限，点在第四象限内时，当点和点都位于第四象限内时三种情况，分别利用反比例函数性质求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第二、四象限，并在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点和点均在反比例函数是常数，的图象上，且， ∴当点和点都位于第二象限内时，，，满足，， ∴，则； 当点在第二象限，点在第四象限内时，，， 点关于原点的对称点为，在第二象限内， ∴若即，则，且， ∴； 当点和点都位于第四象限内时，，，不满足， 综上，满足条件的的取值范围是或， 故选：B． 36．（2025·吉林·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（单位：），的阻值随呼气酒精浓度（单位：）的变化而变化如图1，血液酒精浓度（单位：）与呼气酒精浓度的关系见图2．下列说法错误的是（    ） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为醉驾状态 D．当时，该驾驶员为非酒驾状态 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是通过图象准确获取信息． 通过函数图象获取信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项说法正确，故不符合题意； B. 该选项说法正确，故不符合题意； C. 当时，，,所以该驾驶员为醉驾状态，该选项说法正确，故不符合题意； D. 当时，,所以该驾驶员为酒驾状态，该选项说法错误，故符合题意； 故选：D． 37．（2025·吉林·模拟预测）某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，其图象如图所示； (1)求压强p关于面积S的函数解析式； (2)当木板的压强为时，求木板的面积． 【答案】(1) (2)当木板的压强为时，木板的面积为 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法即可求出压强p关于面积S的函数解析式； （2）结合（1）中压强p关于面积S的函数解析式，当时，求得木板的面积． 【详解】（1）解：（1）设木板对地面的压强p与木板面积S之间的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 木板对地面的压强p与木板面积S之间的函数解析式为； （2）当时，有，解得：， 当木板的压强为时，木板的面积为． 38．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． 信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为． 图③ (1)该容器内氧气的质量为________． (2)求容器内氧气的密度关于体积V的函数解析式． (3)若该容器的体积V为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3）解：该容器的体积V为， ． 答：氧气的密度为． 39．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入一次函数解析式，即可求出的值． （2）将点坐标代入反比例函数的解析式即可解决问题． （3）分别求出点和点的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入得，， 故答案为：1． （2）解：由（1）知，点的坐标为． 将点坐标代入得，， 则反比例函数的解析式为． （3）解：将代入得，， 所以点的坐标为． 将代入得，， 所以点的坐标为， 所以的面积为：． 40．（2025·吉林白山·模拟预测）古希腊科学家阿基米德生活在公元前3世纪，他提出了杠杆平衡，现在我们称之为“杠杆原理”，用公式表示为：“动力动力臂阻力阻力臂”．园园想用撬棍去撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和． (1)求动力（单位：）关于动力臂（单位：m）的函数关系式． (2)若，求此时需要的动力的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键： （1）根据杠杆原理，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意得，即． ∴关于的函数关系式为． （2）当时，． ∴此时需要的动力为． 41．（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示． (1)乙队每天完成土方量多少万立方； (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 【答案】(1)0.6万立方 (2)能按期完成，见解析 (3) (4)甲多，多10（万立方） 【分析】本题考查了函数图象的应用，涉及函数图象，求一次函数解析式，求函数值等知识，理解题意，正确求解是关键； （1）由函数图象知，乙队20天完成了12万立方，即可求得乙每天完成的土方量； （2）甲队单独完成剩余部分为12万立方，根据两队60天共完成108万立方土方量，即可求得甲队每天完成的土方量，完成剩余部分所需的时间，从而可判断剩余部分可否如期完成； （3）当时，函数过点，利用待定系数法即可求得线段的函数解析式； （4）求出当（3）中的函数值为100时的自变量的值，则可分别计算出两队完成的土方量，从而可求解． 【详解】（1）解：由图象知：乙队20天完成了12万立方，则乙队每天完成：（万方）； 答：乙队每天完成土方量万立方； （2）解：能按期完成；理由如下： 甲队单独完成剩余部分为（万立方）； 两队60天完成了（万立方）， 则甲队每天完成的土方量为：（万立方）， 甲完成剩余土方的时间为（天），而（天）（天）； 所以能按期完成剩余部分； （3）解：当时，函数图象为线段， 设函数解析式为； ∵函数过点， ∴，解得：， ∴函数解析式为； （4）解：对于，当时，解得； 甲完成土方量为：（万立方），乙完成土方量为：（万立方），（万立方）； 答：甲比乙完成的土方量多，多10万立方． 42．（2025·吉林白城·模拟预测）国产芯片经过多年的发展，已经逐渐走出了一条属于自己的道路，近年来，国产芯片制造商已经推出了7纳米和5纳米的芯片，可以说，在制程技术的发展上，中国芯片制造商已经取得了非常显著的进展．甲、乙两个工厂同时加工一批芯片，两厂每天加工的速度保持不变，合作一段时间后，乙厂因设备维修停工，甲厂单独完成了剩下的任务，甲、乙两厂加工芯片的总数量（万片）与甲厂加工的时间（天）的关系如图所示． (1)甲比乙多加工了________天； (2)求乙停工后与之间的函数关系式； (3)第5天完成任务之后，通过计算说明甲、乙两个工厂谁生产的芯片多？ 【答案】(1)2 (2) (3)甲生产的芯片多 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象直接可得答案； （2）用待定系数法可得答案； （3）分别求出两个工厂生产的芯片数量，即可得到答案． 【详解】（1）∵（天）， ∴甲比乙多加工了2天； 故答案为：2； （2）设， 把，代入得：， 解得， ∴乙停工后y与x的函数关系式为； （3）甲每天加工（万片），合作每天加工（万片）， 乙每天加工（万片）， 甲一共加工芯片（万片），乙一共加工芯片（万片）， 甲生产的芯片多． 43．（2025·吉林长春·三模）千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据． x（厘米） 4 12 20 24 28 36 y（斤） 0 1 2 2.5 3 4 【问题解决】 (1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来． (2)根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． (3)已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：， 则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式） 根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？ 【答案】(1)见解析 (2)在同一条直线上，这条直线所对应的函数解析式为 (3)；秤钩到称纽距离应该为8厘米 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质知识点，解题的关键是根据给定的数据判断点是否共线，并能利用待定系数法求一次函数解析式，再根据函数解析式进行求值计算． （1）根据坐标描点连线； （2）判断点共线后，用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式求解； （3）把物重代入函数解析式求解秤砣到秤纽水平距离． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上， 设y关于x的函数解析式为， 将点和代入，得， 解得， ∴这条直线所对应的函数解析式为． （3）解：∵， ∴； 代入，得 ∴； 当时，， 解得：， 即秤钩到称纽距离应该为8厘米； 故答案为：． 44．（2025·吉林松原·三模）放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间（分）之间的函数图象． (1)小明的速度是___________米/分； (2)求段的函数解析式； (3)当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离． 【答案】(1)80 (2) (3)800米 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数解析式，从函数图中获取相关信息是解题的关键． （1）从函数图中获取路程与时间信息解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用小明离到家剩余时间速度即可． 【详解】（1）解：由题意可得：米/分， 故答案为：． （2）解：由图象可得：函数过，这两点， 设段一次函数的解析式为：， 把，代入可得： ， 解得：， ∴段一次函数的解析式为：； （3）解：由图可得：当小亮回到家时，小明回家还需要分钟， 由（1）可得：小明的速度为每分钟米， ∴小明与家的距离为：米． 45．（2025·吉林长春·二模）一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度x（） 2 8 14 20 单层部分长度y（） 148 136 124 112 (1)试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式； (3)按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)此时单层部分的长度为 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确掌握待定系数法求一次函数的解析式， （1）利用描点法画出图形即可； （2）观察表格可知，是的一次函数，再用待定系数法可得与的函数关系式为； （3）根据背带的长度调为得，即可解得答案． 【详解】（1）解：只要描点正确，连线和不连线都给分； （2）解：在同一条直线上； 设函数关系式为，（）由题意得： 解得 ∴y与x的函数关系式 （3）解： 解得 答：此时单层部分的长度为 46．（2025·吉林延边·模拟预测）延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． (2)求当时，y关于x的函数解析式； (3)当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①5  ②  ③， (2)当时，y关于x的函数解析式为 (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①②③根据图象即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后，则设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合时，列方程即可解答． 【详解】（1）解：①根据图象可得从宾馆打车到网红墙所用时间为； ②李明从宾馆出发时距离宾馆； ③网红墙距离公园；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为， 故答案为：5；；，； （2）解：设当时，y关于x的函数解析式为， 根据图象，把，代入可得， ， 解得， 所以当时，y关于x的函数解析式为； （3）解：当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后， 由（2）中值可得当时，李明的速度为， 设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合，根据题意， 可得方程， 解得， 把代入， 可得， 答：当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆． 47．（2025·吉林松原·二模）某实验基地装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点的距离为，记；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时（含停顿时间），关于的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题： (1)轨道的长度为______，的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 ． (2)滑块从点A到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，请直接写出的值． 【答案】(1)91，19.5，6 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解函数图象； （1）结合图2所给数据分析即可得解； （2）设解析式，代入点坐标即可得解； （3）先求出滑块从点到点A的滑动过程中，和的关系式，再结合（2）中关系式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，,， ； 根据图2可知：当时，是滑块右端与重合后，再次从右向左滑动，距离的时候， 可知返回时间为， 一半的时间为， 此时； 滑块从右向左匀速滑动的速度为； 故答案为：91，19.5，6； （2）解：当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 综上，； （3）解：同（2）方法可得滑块从点到点A的滑动过程中， 与的函数关系式为， ①当时，令，解得； ②当时，令，解得； ③当时，令，解得； ④当时，令，解得； 综上，或或或． 48．（24-25八年级下·上海·阶段练习）小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】（1）见解析；（2）它们在同一条直线上；；（3）22厘米；（4）一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画一次函数图象，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中数据描点即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，求出y的值即可； （4）把代入函数解析式，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：（1）描点如图所示： （2）这些点在一条直线上． 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为． （3）把代入得：， 当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米． （4）把代入得：， 解得：， ∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里． 49．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时， 的面积为____________． 求的面积的最大值． (3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）． 若，则新抛物线的解析式为____________． 在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值． 【答案】(1)； (2)；当时，的面积的最大值为； (3)；． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （）由题意可知，解得，即可求函数的解析式； （）过点作轴交于点，求出直线的解析式为，分别求出，，再求的面积即可； 过点作轴交于点，设，则，的面积 ，当时，的面积的最大值为； （）点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，平移后的函数解析式为，可求 ，则新抛物线的解析式为； 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的函数解析式为 ，当时，，根据根与系数的关系可得，，则． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点作轴交于点， ∵点横坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：； 过点作轴交于点， 设，则， ∴的面积， 当时，的面积的最大值为； （3）解：∵， ∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的函数解析式为，将点代入， 可得， 解得（舍）或， ∴新抛物线的解析式为， 故答案为：； 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的函数解析式为， 当时，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， ∴． 50．（2025·吉林延边·模拟预测）某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： (1)直接写出，，的值． (2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②当的值为，，，时，矩形为正方形；③当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个 【分析】（1）将，；；，，，代入当时，；当时，，求解即可； （2）①由题意知：当时，点，都在二次函数图象上，且轴，推出，求解即可； ②由题意知：点的横坐标为，点的横坐标为，轴，得，推出，点的纵坐标为或，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ③根据线段的长度随的增大而增大，推出，根据二次函数图象的对称性得点关于对称轴的对称点的横坐标为；继而推出当时，线段与图象的交点个数为个；然后再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， 又∵当时，；当时；，当时，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， （2）解：①∵当时，， 又∵当时，点，都在二次函数图象上，且点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 解得：； ②∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， ∵矩形为正方形，轴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时， ，解得：（不符合题意，舍去）或； ，解得：或； 当时，，解得： 综上所述，当的值为，，或时，矩形为正方形； ③∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 又∵线段的长度随的增大而增大， ∴，即， ∴， 此时二次函数图象上点关于对称轴的对称点的横坐标为； ∵， ∴当时，线段与图象的交点个数为个； 当时，，此时线段与图象的交点个数为个； ∵当时，， 当时，， ∴， 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：， ∴； 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：（不符合题意，舍去）或， 综上所述，当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，一元二次方程与不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 51．（2025·吉林·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点两点，抛物线的顶点为点C．点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)当时，抛物线上最高点的纵坐标为，求n的值； (4)点Q在抛物线上，横坐标为，平面内有一点，作P，Q关于点R的对称点M，N，顺次连接P，Q，M，N，得到．当轴，直接写出此时点C到直线QN的距离d． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合应用，中心对称的性质，平行四边形的性质等知识点， （1）将，两点代入中即可得解； （2）先确定抛物线的顶点坐标为，再求得当和时，函数的值，然后根据函数图象即可得解； （3）先确定，然后在抛物线对称轴两侧分类讨论即可得解； （4）先用含m的代数式表示出Q，N点的坐标，再由轴得出Q，N点的纵坐标相等，列方程求解即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即最高点的纵坐标为4， ∵当时，抛物线上最高点的纵坐标为， ∴它必在对称轴的左侧或右侧， ∵， ∴， 当时，由增减性质得，当时，有最高点， ∴， ∴与矛盾， ∴它不可能在对称轴的左侧， 当它在对称轴右侧时，由增减性质得，当时，有最高点， ∴， 解方程得：，（舍去）， ∴n的值为2； （4）解：∵点Q在抛物线上，横坐标为， ∴点Q的纵坐标为， ∵点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m， ∴点P的纵坐标为， ∵平面内有一点，P、Q关于点R的对称点M、N， ∴,, 即,， ∵轴， ∴， ∴，， 当时，，，如图，此时与x轴重合， ∴此时点C到直线的距离， 当时，，，如图， 此时点C到直线的距离， ∴当轴，此时点C到直线的距离或； 52．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）经过点和，点P和点Q均在该抛物线上，其横坐标分别为m、，点M的坐标为，连结、，以、为边作． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当轴时，求点Q的坐标； (3)当的边与x轴平行时，求抛物线在点P和点A之间的部分（包括点P、点A）的最高点与最低点的纵坐标的差； (4)当时．设的边与x轴的交点为C，连接，当直线将该平行四边形的面积分成两部分时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)1或4 (4)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可知Q点在y轴上，则，求出m的值即可求Q点坐标； （3）由题意可知当轴时，，求出，再结合函数图象求解即可； （4）根据平行四边形的性质求出，当C点在边上时，C是的中点，即；当C在边上时，C是的中点，即，分别求出m即可． 【详解】（1）解：将点和代入中， ∴， 解得， ∴； （2）解：由题意得，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴Q点在y轴上， ∴， 解得， ∴； （3）解：当轴时，， 解得或， ∴或， 当点的坐标为时， ∵， ∴顶点为， ∴抛物线在点P和点A之间的部分的最高点为5，最低点为1， ∴最高点与最低点的纵坐标的差为； 当点的坐标为时， ∵ ∴抛物线在点P和点A之间的部分的最高点为2，最低点为1， ∴最高点与最低点的纵坐标的差为； 综上，最高点与最低点的纵坐标的差为1或4； （4）解：设点为中点，且，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴H是的中点， ∵， ∴， 当C点在边上时，且直线将该平行四边形的面积分成两部分，如图， ∴C是的中点， ∴， 解得或（舍）； 当C在边上时，C是的中点， ∴， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为或． 53．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，抛物线过点，抛物线上有一点，其横坐标为轴上有一点，点关于点的对称点为点．过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线交于点，直线交抛物线于． (1)_______． (2)当时，在给定的平面直角坐标系里画出满足题意的图形，此时_______． (3)若，求的值． (4)若有且只有一个顶点落在抛物线与-轴所围成的封闭区域内（不包含边界），直接写出的范围． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3)或 (4) 【分析】（1）将点代入抛物线，即可求解； （2）由（1）知抛物线解析式为，求出，进而求出，根据题意可得，令，求出，如图，连接，即可求出的值； （3）同理（2）画出示意图，求解即可； （4）如图，连接，当点N在抛物线与轴所围成的封闭区域内（不包含边界）时，则，由图象可得，且，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 则， 解得：， 故答案为：； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵点，点关于点的对称点为点， ∴， ∵过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线交于点，直线交抛物线于， ∴ 令， 解得：， ∴， 如图，连接， 则， 故答案为：； （3）解：由（1）知抛物线解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， 设， ∵点，点关于点的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∵过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线交于点，直线交抛物线于， ∴ ∵， ∴抛物线的图象关于对称， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在点左侧，且点在x轴上方时，连接， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 如图，当点在点左侧，且点在x轴下方时，当两点重合时，最大，最大值为（舍去）， 如图，当点在点右侧，且点在x轴上方时， 同理得：∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上，的值为或； （4）解：如图，连接，当点N在抛物线与轴所围成的封闭区域内（不包含边界）时，则， 同理（3）得， 则，且， 即，且， 解， ∴或， ∴或（舍去）， ∴； 令，解得：或， ∴时，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 54．（2025·吉林·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线，点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和，其中．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接MN． (1)求该拋物线对应的函数表达式； (2)证明：点与点始终关于轴对称； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为E、F（点在点左侧）． ①当点E、F在线段MN上时，求的取值范围； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求出a的值即可求解； （2）先求出，，然后根据对称性求出，，即可得证； （3）①由（2）知：直线为，根据直线与抛物线（是常数）有两个公共点，可得方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可求出；根据点E、F在线段MN上，抛物线的开口向上，得出当时，，求出或，然后结合即可求解； ②联立方程组求出E、F的横坐标，然后根据，列出关于m的方程，然后分，两种情况分别解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∵点关于点的对称点，作点关于点的对称点， ∴，， ∴点与点始终关于轴对称； （3）解：①由（2）知：直线为， ∵直线与抛物线（是常数）有两个公共点， ∴方程，即有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵点E、F在线段MN上，抛物线的开口向上， ∴当时，， 解得或， 又， ∴； ②联立方程组， 化简得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， 又，，， ∴， ∴或， 当时，原方程化简为， ∴， ∴， 解得，， 又， ∴； 当时，原方程化简为， ∴， ∴， 解得，， 又， ∴ 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的对称轴公式，中心对称和轴对称，二次函数与一元二次方程的关系，解不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质以及运用分类讨论思想求解是解题的关键． 55．（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，与轴交于点.点A、B是该拋物线上不重合的两点，横坐标分别为，作点关于点的对称点. (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)试说明点与点的横坐标之差为2； (3)当点在第一象限时，连结，以为邻边作. ①当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②当点落在的边上时，直接写出的值. 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【分析】（1）运用待定系数法进行求解，即可作答． （2）因为点是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，得点，点的坐标为．结合点关于点的对称点，故 的坐标为，再列式化简得．即可作答． （3）①当点在第一象限时，连结、，以、为邻边作，且，得．则，即点的坐标为，列式．解得（舍去），当经过抛物线顶点时，即．解得（舍去），即可作答． ②当点在上时，因为，证明，即，整理得，解得，当点在上时， 因为，证明，故，整理得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：把代入， 得． 解得 ∴该抛物线对应的函数表达式是． （2）解：∵点是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，且 ∴点，点的坐标为． ∵点关于点的对称点． ∴ ∴的坐标为． 故． ∴点与点的横坐标之差为2． （3）解：①当点在第一象限时，连结、，以、为邻边作， 则，， ∵， ∴ ∵与轴交于点． ∴， ∴． 则 即 ∴ ∴点的坐标为． ∵ ∴． 解得（舍去） 当经过抛物线顶点时， ∴． 即． ∴． 解得（舍去） 综上，的取值范围是：． ②由（2）得点，的坐标为．由①得点的坐标为． 当点在上时， 如图所示：过点E作轴， 过点C作轴，两直线交于一点，过点作与点M， ∵ ∴， ∴， 即， 故， 整理得， ∴， 故， 解得，或（舍去）， 当点在上时，过点E作轴， 过点D作轴，两直线交于一点，过点作与点M，如图所示： ∵ ∴ ∴， 即， 故， 整理得， ∴， 故， 解得或（舍去） 综上： 或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求解析式、平行四边形的性质，公式法解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 56．（2025·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当点、到轴的距离相等时，求的值； (3)当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； (4)矩形的顶点分别为、、，若矩形的边与抛物线恰好有三个交点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或 (4)或 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为即可得到； （2）根据题意得到，，然后 分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）根据二次函数图象的性质可得图象的最低点的纵坐标为，然后分两种情况：当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时；当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，即可求解； （4）根据题意画出图形，然后分两种情况讨论，分别将代入抛物线解析式求出（舍去）或，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的坐标为， ∴抛物线； （2）解：∵点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∵点、到轴的距离相等 ∴当点P和点Q在x轴两侧时， ∴ 解得或； 当点P和点Q在x轴同侧时， 解得； 综上所述，或或； （3）解：抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 顶点在图象上， 图象的最低点的纵坐标为， 当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即， ， 图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ； 当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即， ， 图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ； 综上所述，与之间的函数关系式为； （4）解：如图所示，当点C在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点 ∴将代入得， 解得（舍去）或 ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点D在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点 ∴将代入得， 解得（舍去）或 ∵ ∴ ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数和几何的综合题，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$