专题07 圆（吉林专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 圆 1．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 2．（2023·吉林·中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2021·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴，只有D满足题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补． 4．（2021·吉林长春·中考真题）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵AB是的直径，BC是的切线， ∴AB⊥BC，即∠ABC=90°， ∵， ∴=90°-35°=55°， 故选C． 【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键． 5．（2022·吉林长春·中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）    A．138° B．121° C．118° D．112° 【答案】C 【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键 6．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 7．（2023·吉林·中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】利用弧长公式直接计算即可． 【详解】∵半径，圆心角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键． 8．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 9．（2022·吉林长春·中考真题）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为 厘米．（结果保留） 【答案】/ 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（2022·吉林·中考真题）如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 ．（结果保留）．    【答案】/ 【分析】由圆周角定理得，根据弧长公式分别计算出与的长度，相减即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 又的半径为1， 的长度= 又， ∴的长度= ∴与的长度之和=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键． 11．（2021·吉林长春·中考真题）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π） 【答案】 【分析】铁轨AB的长度为劣弧AB的长度，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，铁轨的长度为劣弧AB的长度， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的弧长公式，属于基础题，熟练掌握圆的弧长公式是解决本题的关键． 12．（2021·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】连接，由扇形面积﹣三角形面积求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算． 13．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 14．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理以及勾股定理求解边长，得到切点为边的中点是解决本题的关键． 首先利用勾股定理可求解边的长度，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用圆的切线的性质可得切点为边的中点，利用中位线的性质可得圆的半径，由求解即可． 【详解】解：因为在中，， 所以， 因为在中，点O为的中点， 所以， 记切点为点E，连接，如图， 所以可知， 所以， 因为点O为的中点， 所以点E为的中点， 所以， 所以圆的半径为3，即， 所以， 即的长为2 ． 故选：D ． 15．（2025·吉林长春·二模）如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，即， ∴． 故选：C． 16．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质得到为等边三角形，得到， ，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：D． 17．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，E为上的任意一点，A、B、C、D是上的四个点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形，掌握圆内角四边形对角互补是解题的关键； 根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 18．（2025·吉林延边·模拟预测）如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，连接，求解，，进一步可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：A 19．（2025·吉林松原·三模）如图，、是的切线，切点分别为、，点、在上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，即可求出，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：连接，则， 又∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 20．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可知，所以可得，根据圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 点为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故选：C． 三、填空题 21．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在扇形中，，C为上一点，且，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，若，则阴影部分的面积为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了不规则图形的面积，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，连接，过点作于点H，先证明都是等边三角形，得到，易证四边形是菱形，根据即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点H， ∵， ∴， 根据题意， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，是的半径，是的切线，，交于点D．若，，则阴影部分图形的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质得，因为，则，所以，则，求得，则，由，，则和都是等边三角形，所以，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．（2025·吉林·二模）如图，正六边形的边长为，边，与相切于点C，F，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 连接，取的中点，连接，点是正六边形的中心，进而证明是等边三角形，求出圆的半径，利用切线求出，进而可得，，再由扇形面积公式即可求出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接， ∵六边形是正六边形， ∴点是正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 的长为. 故答案为：． 24．（2025·吉林四平·模拟预测）玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现在从一块直径为8cm的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩（点A、B、C均在圆上，且），则这个扇形玉佩的面积是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，关键是圆周角定理的应用．如图，连接，取的中点O，根据等腰直角三角形的性质得，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 在圆上，且， 是的直径． ， ， ， ． 故答案为：． 25．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，点是边的中点，分别以点、为圆心，长为半径作圆弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、三角形内角和定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据题意得到，利用三角形内角和定理得到，最后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， ， ， 阴影部分图形的面积和为． 故答案为：． 26．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积计算，勾股定理的逆定理，解直角三角形，先由勾股定理的逆定理得到，再解直角三角形得到，由直角三角形的性质得到，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2025·吉林·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为6，，则的长度为 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理．连接，根据圆内接四边形的性质以及，求出．根据圆周角定理得出，那么，然后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接． 四边形内接于， ， ， ，． ， ， 的半径为6， 的长度为． 故答案为：． 28．（2025·吉林长春·二模）已知的半径为2，四边形内接于，平分．则下列结论正确的是 ． ①； ②若为直径，则； ③若，则四边形是轴对称图形； ④若，则． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆内接四边形，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，理解相关知识是解答关键．根据题意，无法证明，结论①不正确；根据题意可得，即可证明，结合为直径可知，然后利用勾股定理计算的值，可判断结论②；设交于点，首先证明为直径，进而可知，均为等腰三角形，即可判定结论③；连接，设交于点，证明，进而可得，再证明，，在中，利用三角函数解得的值，进一步确定，可判断结论④． 【详解】解：根据题意，无法证明，结论①不正确； 若为直径，如下图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为直径，且的半径为2， ∴，， ∴，即， 解得（负值舍去），故结论②正确； 如下图，设交于点， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴为直径， ∵， ∴， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴，均为等腰三角形， ∴四边形是轴对称图形，故结论③正确； 若，如下图，连接，设交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴， 在中，可有， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有②③④． 故答案为：②③④． 29．（2025·吉林长春·三模）如图，在中，已知，的垂直平分线分别交，于点D，E，，为的外接圆，过点E作的切线交于点F．给出下面五个结论：①；②；③若，则；④；⑤若，则的长为．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】由线段垂直平分线的性质即可判断①；由圆内接四边形的性质即可判断②；证明得出，设，则，，再由勾股定理计算即可判断③；证明即可判断④；由弧长公式计算即可判断⑤． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴， ∵在中，已知， ∴， ∴，故①错误； ②由题意可得，四边形是的内接四边形， ∴，故②正确； ③在中，，， ∴， 由①可得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得， ∴，故③正确； ④∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤连接， ， 若，则， ∴的长为，故⑤错误； 综上所述，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 30．（2025·吉林·二模）如图，是的直径，且是的一条弦．射线与相切于点．作，并与交于点，延长交于，交于点，连接、．给出下面五个结论： ①；②；③；④若点与圆心重合，阴影部分的面积为；⑤，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③⑤ 【分析】先利用切线的性质可得，再根据直角的意义与直角三角形两个锐角互余可得，，再根据等边对等角可得，从而可得，再根据等角边等边可得，由此可判断①；结合①可证明，不能得出，由此可判断②；利用三角形的外角性质可推得，由此可判断③；先证明是等边三角形，从而可利用求解，由此可判断④；连接，先利用勾股定理求得，再求得，然后证明，列出比例式，求得，再证明，从而可得，由此可判断⑤． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 连接， ，，， ， ，不能得出，故②错误； ，，， ， 故③正确； 当点与圆心重合时， ，， 是等边三角形， ， ， 故④错误； ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， 即，解得：， ∵， ∴， ∴，故⑤正确， 上述结论中，正确结论的序号有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，扇形面积等知识，解题关键是找准相似三角形列出比例式求解． 31．（2025·吉林长春·二模）如图，是的外接圆，是的直径，弦，垂足为点，的平分线交于点、交于点、交于点，连结、．给出下面五个结论： ①； ②； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】由，可得，可得①符合题意；证明，可得，可得②符合题意；若，为等边三角形，可得与题干条件不相符，可得③不符合题意；由，可得，如图，连接，可得，，进一步可得阴影部分图形的面积为，可得④符合题意；由，可得，，，设，再进一步可得⑤不符合题意． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵为直径， ∴， ∴， ∵弦， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 若， ∴为等边三角形， ∴，，与题干条件不相符，故③不符合题意； ∵， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴阴影部分图形的面积为，故④符合题意； ∵， ∴，，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴与的面积比为；故⑤不符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，等腰三角形的判定与现在，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 1．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林·中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 3．（2021·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·吉林长春·中考真题）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·吉林长春·中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）    A．138° B．121° C．118° D．112° 6．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2023·吉林·中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）    8．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 9．（2022·吉林长春·中考真题）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为 厘米．（结果保留） 10．（2022·吉林·中考真题）如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 ．（结果保留）．    11．（2021·吉林长春·中考真题）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π） 12．（2021·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 13．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 14．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 15．（2025·吉林长春·二模）如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 17．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，E为上的任意一点，A、B、C、D是上的四个点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·吉林延边·模拟预测）如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·吉林松原·三模）如图，、是的切线，切点分别为、，点、在上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 20．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在扇形中，，C为上一点，且，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，若，则阴影部分的面积为 （结果保留根号）． 22．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，是的半径，是的切线，，交于点D．若，，则阴影部分图形的面积为 （结果保留）． 23．（2025·吉林·二模）如图，正六边形的边长为，边，与相切于点C，F，连接，则的长为 ． 24．（2025·吉林四平·模拟预测）玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现在从一块直径为8cm的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩（点A、B、C均在圆上，且），则这个扇形玉佩的面积是 （结果保留π）． 25．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，点是边的中点，分别以点、为圆心，长为半径作圆弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 26．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 27．（2025·吉林·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为6，，则的长度为 （结果保留）． 28．（2025·吉林长春·二模）已知的半径为2，四边形内接于，平分．则下列结论正确的是 ． ①； ②若为直径，则； ③若，则四边形是轴对称图形； ④若，则． 29．（2025·吉林长春·三模）如图，在中，已知，的垂直平分线分别交，于点D，E，，为的外接圆，过点E作的切线交于点F．给出下面五个结论：①；②；③若，则；④；⑤若，则的长为．上述结论中，正确结论的序号有 ． 30．（2025·吉林·二模）如图，是的直径，且是的一条弦．射线与相切于点．作，并与交于点，延长交于，交于点，连接、．给出下面五个结论： ①；②；③；④若点与圆心重合，阴影部分的面积为；⑤，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 31．（2025·吉林长春·二模）如图，是的外接圆，是的直径，弦，垂足为点，的平分线交于点、交于点、交于点，连结、．给出下面五个结论： ①； ②； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$